2022年北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案 .pdf

学习必备欢迎下载第二章因式分解 2.1 分解因式学习重点 ：1理解因式分解的意义. 2识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点： 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习： 【填空】公式类：()()ab ab= 2()ab= 2()ab= （1）单单： 3a 4ab= （2） 单多：(35 )aab= （3） 多多：(3 )(2)xyxy（4） 混合乘： x（x-1） （x+1） = 二、独立探究问题：分解因式的概念1自主学习教材p43-p44，其中 p44 做一做的前 （1）（5）是什么运算？做一做的后（1）（ 5）与前（ 1） （5）的关系是什么？2分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式3掌握分解因式概念应注意：（1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个的形式 . （3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止 . 4及时反馈：完成书p45 随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系1议一议（1）由(1)(1)a aa=3aa的变形是运算 . （2）由3aa=(1)(1)a aa的变形与（ 1）有什么不同？2想一想分解因式与整式乘法有什么关系？mambmcm abc因式分解整式乘法.因式分解与整式乘法是的变形 . 四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1） x+1=x（ 1+x1）（2）222424abacabc（3）24814 (2)1xxx x（4）222 ()axaya xy（5）2224(2 )aabbab（6）2(3)(3)9xxx五、课堂小结1分解因式的概念：2分解因式应注意：3分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关1下列从左到右的变形，是分解因式的为（）Ax2x=x（x1）B a（ab）=a2abC （a+3） （a3）=a29 Dx22x+1=x（x2） +1 2下列各式分解因式正确的是（）A. 223633 (2 )a xbxxx abB. 22xyx yxy xyC. 2()aabaca abcD. 22963(32)abca babcab3.（1）22()()ab abab的运算是（2）3222(2)xxxx的运算是4计算下列各式：（1） （a+b） （ab）=_. （2） （a+b）2=_. （3） 8y（y+1）=_. （4） a（x+y+1）=_. 根据上面的算式填空：（5） ax+ay+a=（） （）（6）a2 b2=（） （）（7） a2+2ab+b2=（） （）（8）8y2+8y=（） （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载 2.2.1 提公因式法（一）学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 学习难点： 让学生识别多项式的公因式 . 一、自主回顾：1、分解因式的概念. 2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系二、自主学习1公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法 . 2独立将下列各式分解因式（1）3ab23a2b; （2）2x3+2x26x; （3） 12a2b+24ab2; （4）xyx2y2x3y3; 三、小组合作探究：（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？答：、（2）提公因式要注意些什么？答：、（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能P4849 五、课堂小结1提公因式 法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c） . 2提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的；（2）取相同的，的指数取的；4特别注意：不要漏项要防止出现符号问题六、课堂过关：将下列各式分解因式1321510aa；2224x yxy；364x yx z；4222261530m nmnm n；5432163256xxx；6322462a ba bab；73174mmmxxx（ m 是自然数）；8112416mnmnu vuv（ m ， n 是自然数） . 2.2.2 提公因式法（二）教 学重点 ：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行 分解因式 . 学习难点 ：准确找出公因式，并能正确进行分解因式一、自主回顾：1怎么样确定一个多项式的公因式？2提公因式要注意些什么？二、自主学习：1请在下列各式等号右边的括号前填入“ ” 或“”，使等式成立：（1）_abba；（ 2）22_mnnm；（3）33_yxxy；（4）_bcbc；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载（5）2222_stst；（6）22_pqpq. （7）mnp= （n m p） ；（8） （1x） （x2）= （ x1） （x2）（9）4yx4xy（10）5yx5xy2根据 1 题情况进行归纳总结：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ ” 或“”号） ：_nnnxynyxxyn为偶数为奇数. 3指出下列各式中的公因式：（1）23a bcbc（2）23279a xyb xy（3）235m abn ba4自主学习教材p47，特别注意例2、3 中用数学的什么思想？例3 提公因式前做了什么样的变化？5及时反馈：完成教材第51 的随堂练习题把下列各式分解因式（1）5（xy）3+10（yx）（2） （ba）2+a（ ab）+b（ba）（3）222ab aba baac ab（4）m（mn） （pq） n（nm） （pq）三、合作探究将22331218yxxyyyx分解因式，总结用提公因式法分解因式应注意什么？四、过关训练题1把下列各式分解因式：（ 1）x2y3xy2+y3; （2）a（xy） b（ yx）+c（x y）; （ 3）2（xy）2+3（yx）; （4）23515mnnm. （ 5） （a+bc） （a b+c）+（ba+c） （bac）（ 6）222kkxyyx；（7）2121kkxyyx. 2不解方程组23431mnmn求235222nmnnm的值 . 2.3.1 运用公式法（一）学习重 点：让学生掌握运用平方差公式分解因式. 学习难点 ：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. 一、自主回顾：独立回顾，整式乘法中的平方差公式是_；其特点是. 二、新课合作探究学习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载1先独立自主学习教材p54，例 1、例 2 用了怎样的方法分解因式？2合作探究回答以下问题：例 2 中解第 1 题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2 题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？公式 a2b2=（a+b） （ab）特点：等号左边：（1）是一个 _ ；（2）每项都可以化成数（或式）的_ ；（3）这两项的符号_ 等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积. （2）被减数是左边平方项为_ 的那个数（或式）3独立完成教材第55 页的练习题 . 三、理论知识运用例 1 判断下列分解因式是否正确 . （1）222222abcaabbc（2）242221111aaaa例 2 分解因式（1）223649xyxy； （2）211xbx（x1） +b2（1x） ; （3） （x2+x+1）21. （4）44ab（5）23228x xx；（6）2244xxx. 四、课时小结1 分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. 分解时一定要分解完整彻底 . 2运用平方差公式应注意：五、课堂过关1、把下列各式分解因式：（ 1） 49x2121y2; （2） 25a2+16b2; （3）144a2b20.8 1c2; （ 4） 36x2+6449y2; （5） （ab）2 1; （6） 9x2（ 2y+z）2; （ 7） （2mn）2（ m2n）2; （ 8）49（2a3b）2 9（a+b）2. 2、利用分解因式说明257512能被 120 整除 . 2.3.2 运用公式法（二）学习重点： 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. 学习难点： 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式一、自主回顾：1整式乘法中的完全平方公式是_；2乘法中的完全平方公式的特点二、新课合作探究学习1、先独立自主学习教材p57，例 3、例 4 用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？2、合作探究回答以下问题：例 4 中解第 1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载公式a2+2ab+b2=（a+b）2; a22ab+b2=（ab）2特点左边 的特点有（1） 多项式是；（2） 其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式）. 右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；形如的式子称为完全平方式3独立完成教材第58 页的练习题 . 三、理论知识运用例 1、将下列各式分解因式（1）a2b2+8abc+1 6c2; （ 2）4（2a+b）212（2a+b）+9; （3）1442m6mn+n2; （4）51x2yx41002y（5）422422412xx yyx y；（6）2222221mnmn例 2、 （1）若21yky是完全平方式，则k=_. （2）若23xxk是完全平方式，则k=_. （3）若2930aam是完全平方式，则m =_. 例 3、在 ABC 中，已知三边a、b、c满足4224332220aa bba bab，试判断 ABC 的形状 . 四、课时 小结1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（ 1）要求多项式有_. （ 2）其中两项 _ ，且都可以写成某数（或某式）的_ _，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负. 2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底）五、课堂过关1、把下列各式分解因式（ 1）4xy4x2y2; （2）3ab2+6a2b+3a3; （3） （s+t）210（s+t）+25; （ 4）0.25a2b2abc+c2;（5）x2y6xy+9y; （6）2x3y216x2y+32x; （ 7） 16x5+8x3y2+xy4 （8）22241xx（9）()()xx22216192、 （1）若2210049xkxyy是完全平方式，则k=_. （ 2）若292416xax是完全平方式，则a =_. （ 3）已知1xy，则221122xxyy的值为 2.4 因式分解（二）分组分解法一、分组分解法1、将多项式采用“ 先部分，后整体” 的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解. 2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性 . 也就是说， 分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式 . 注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子. 3、分组分解法一般有两种情况（1）等项分组 . 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式. 如223322(33)(22)xxyxzyzxxyxzyz3 ()2 ()x xyz xy()(32 )xyxz（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解. 如222221(2)1aabbaabb2()1(1)(1)ababab4、分组分解应注意以下几个问题（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解 . （2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组. （3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的. 二、典型例题例 1、分解因式：（ 1）2abbcacb（2）393ambmba（ 3）22234334x yaxzy zax（4）24144914mmxnxmn例 2、分解因式：（ 1）2222abab（2）22241299xxyzy（ 3）224484xxyy（4）2244241mmnnmn三 、课堂练习把下列各式分解因式：1.2323axyaxax yay2. 222444xxyyz3. 322333xx yxyy4. 2222224b cbca（）四、课后作业1.选择题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载c2c1a2a1（1）下列分解因式，结果正确的是（）A55()(5)mnmynymnyB. 22()(1)mnmnmn mnC. 2233()(3)aabbababD. 2221(2)(1)(1)xxyx xyy（2）分解因式后 ,结果等于(2)(3)ab的多项式是（）A. 236ababB. 623baabC. 326abbaD. 623baab（3）把多项式233xxyyx分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（）A2(3 )(3)xxyxyB. 2(3 )3xxyC. 2()(33 )xxyyxD. 2(3 )( 3)xxyxy2.填空题：（1）分解因式：axbybxay= ；（2）分解因式：22xyaxay= ；（3）分解因式：2221aabb= ；（4）分解因式：2244(4)aabb= ；（5）若2ab，则222aabbab= ；3.解答题：（ 1）若0ab，求332222aba bab的值（ 2）若2222()(10)250 xyxy，求22xy的值（ 3）计算：22621769473148（ 4）分解因式(1)(2)6x xx（5）分解因式22()()axbybxay 2.5 因式分解（二）十字相乘法一、十字相乘法1、使用十字相乘法把二次三项x2+px+q 因式分解， 如果常数项q 分解成 a、b 两个因数的积，并且a+b 等于一次项系数p，那么二次三项式2x+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a） （x+b）2、使用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+ c 分解因式，如果二次项系数a分解成 a1、a2;常数项 c 分解成 c1、c2；并且 a1 c2+ a2 c1等于一次项系数b,那么二次三项式a x2+bx+c=a1a2x2+（ a1 c2+ a2 c1）x+ c1c2= （a1x+ c1） （ a2x+c2）借助于画十字交叉线排列如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载二、典型例题例 1、把下列各式分解因式：（1）256xx（2）26xx（ 3）256xx例 2、把下列各式分解因式：（1）26136xx（2）2384aa（ 3）22584yxyx例 3、把2()3()2xyxy分解因式例 4、把2222(2 )5(2 )3xxxx分解因式三、课堂练习：将下列各式分解因式：1. 2568xx2. 2221012xxyy3. 222430 xxyy4. 25398xx5. 262xx6. 23415xx7. 4223xx8. 2222248xxyyxy9. 222(2)(3)13xxx四、课后作业1.选择题：（ 1）把多项式2151263xx分解因式的结果是（）A1(2)(31)6xxB. 1(1)(32)6xxC. 1(2)(31)6xxD. 1(1)(32)6xx（ 2）把多项式432235xxx分解因式的结果是（）A22(5 )(7 )xxxxB. 22(235)xxxC. 2(5)(7)xxxD. 2(5)(7)xxx（ 3）在多项式276xx；243xx；268xx；2710 xx21544xx中，有相同因式的是（）AB. C. D.以上都不正确. （ 4）若二次三项式212(4)(3)xmxxx分解成，则实数 m 的值为（）A 1 B2 C1D22.填空题：（ 1）分解因式：2121115xx= ；（2）分解因式：22910a bab= ；（3）分解因式：282221xx= ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载（4）分解因式：222(5 )16xxx= ；3.把下列各式因式分解（1）225-6+73xxyy（2）217366xx（3）222(2 )7(2 )8xxxx4.已知222314xxyy，且7xy；求2xy的值 . 5.若二次三项式23235(0)kxxk有一个因式是27x；求k的值及另一因式. 第二章分解因式（单元归纳）学习重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程：一、自主复习：【回顾】1分解因式的定义：把一个多项式化成，这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2分解因式与整式乘法是变形 . 3 分解因式的主要方法是，. 4 （1）平方差公式：a2-b2=（2）完全平方公式a2 2ab+b2=二、例题精讲（一） 利用提公因式法分解因式例 1 用提公因式法将下列各式因式分解. （1）34x zx y；（2） 3x（a-b） +2y（b-a） ；（3） （2a+b） （2a-3b）+（2a+5b） （ 2a+b） ；（4）324121pqq. （二） 利用公式法分解因式例 2 把下列各式分解因式. （1） （a+b）2-4a2；（2）1-10 x+25x2；（3） （m+n）2-6（m+n）+9. （4） （x2+4）2-2（x2+4）+1；（5） （x+y）2-4（x+y-1 ）. （三） 利用分组分解法分解因式例 3 把下列各式分解因式. （1）bcacaba2（ 2）bxbyayax5102（3）22144aabb（ 4） a2b2a b （四） 利用十字相乘法分解因式例 4 把下列各式分解因式. （1）22421xxyy；（ 2）2295xx（3）267abab；（ 4）22524xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载（五）综合运用例 5 ： 用适当的方法把下列各式分解因式. （ 1）x3-2x2+x；（2） x2（ x-y）+y2（y-x ） ；（ 3） （x22x）24（ x22x） 5 （4） a22abb2acbc 例 6（1）试用简便方法计算：1982-396202+2022 （2）若（ 1012+25）2（ 101225）2=10n，求 n（3）若 9m212mn+8n24np+2p24p+4=0，求 m+n+p 的值（4）若 x2+kx+20 能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个（六）课后作业：1下列因式分解正确的是（）Ax2+y2=（x+y ） （x y）Bx2y2=（ x+y） （xy）Cx2+y2=（x+y）2 Dx2y2=（xy）22下列各式不是完全平方式的是（）Ax2+4x+1 Bx22xy+y2Cx2y2+2xy+1 Dm2mn+14n23下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）Am2mn+n2B （a+b）24ab Cx22x+14Dx2+2x1 4某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4=（x2+4） （x+2） （x）?中的两个数字弄污了，则式子中的 ，对应的一组数字可以是（）A8，1 B16，2 C24，3 D64， 8 5若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2 B.4 C.2y2 D.4y26.若 x2+2（m-3）x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（）A.-5 B.3 C.7 D.7 或-1 7.若 n 为正整数，（n+11）2-n2的值总可以被k 整除，则k 等于（）A.11 B.22 C.11 或 22 D.11的倍数 . 8多项式4x2+1 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是 _ （填上一个你认为正确的即可）9. 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）（ x23）2（ x23） 2（2）a42a2b28b4（3）.x46x39x216 （4）1-x2+2xy-y2分解因式（5）22241xx（6）（x4+x2-4） （x4+x2+3）+10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页