2022年初中平面几何中的定值问题 .pdf
学习必备欢迎下载平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角边 AB=AC=1 ，P 是斜边 BC 上的一动点，过P作 PEAB 于 E，PFAC 于 F，则PE+PF= 。方法 1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或 C 点或 BC 中点。此种方法只适合小题。方法 2：等量转化法： 这是绝大部分同学能够想到的方法， PF=AE,PE=BE, 所以 PE+PF=BE+AE 。方法 3：等面积法：连接AP，ABCABPAPCSSSAB ACAB PEAC PFABPEPF总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2 抓住了边长AB 的不变性和PE,PF 与 BE,AE 的不变关系； 方法 3 抓住了面积的不变性） ， 使得问题迎刃而解。设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）过渡： 这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式 1】若把问题1 中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5 ，底边 BC=6，过 P 作 PE AB 于 E，PFAC 于 F，则PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么? 方法 1：三角形相似进行量的转化ABMPBEPCF,AMPEPFAMPBAM PCPEPFABPBPCABAB()4 62455AM PBPCAM BCPEPFABAB（板书）（M 为 BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度 是不变量这个特点，建立PE,PF 与 AM 之间的联系，化动为静）方法 2：等面积法：ABCABPAPCSSSBC AMAB PEAC PF6 42455BC AMPEPFAB（ M 为 BC 中点）（板书）（解题要点： 抓住 三角形面积 是个不变量， 用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。 ）FECABPFEABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1 的同学先站起来回答，然后再叫用方法2 的同学。以达到过渡到下一题的目的。）问：我把题中的5 改为 a，6 改为 b，PE+PF 还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=bha(a 为腰长 ,b 为底边长,h 为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题， 你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被 动、变迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】已知 P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点，P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,则 P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）ABCABPACPBCPSSSSBC AMAB PEAC PFBC PDPEPFPDAM为定值（M 为 BC 中点）（板书）可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）过渡：研究完了P 在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去， 情况又会有何变化？【变式 3】 已知 P为边长为a的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,则 P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图 1 图 2 图 3 FDECABPFDECABPDEFCABPDEFCABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载在几何画板中操作，发现当点P 移出三角形时，h1h2h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？PAB，PBC，PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC 的面积有何关系？（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）图 1：ABCABPACPBCPSSSSBC AMAB PEAC PFBC PDPEPFPDAM为定值（板书）图 2：ABCACPBCPABPSSSSBC AMAC PFBC PDAB PEPFPDPEAM为定值（只把结论板书）图 3：ABCABPBCPACPSSSSBC AMAB PEBC PDAC PFPEPDPFAM为定值（只把结论板书）图 1 图 2 图 3 图 1：ABCACPABPBCPSSSSBCAMAC PEAB PFBC PDPFPEPDAM为定值（板书）图 2：ABCABPBCPACPSSSSBCAMAB PEBC PDAC PFPEPDPFAM为定值（只把结论板书）图 3：ABCBCPABPACPSSSSBCAMBC PDAB PEAC PFPDPEPFAM为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）（教师行为： 在几何画板中作出个三角形，填充内部， 让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。DEFCABPEDFCABPEFDCABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载CEFDBAM【问题 2】已知：已知弧AB 为 120 度，在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点M( 不包括 A、B 两点 )，以 M 为圆心作圆M 和 AB 相切，分别过A，B 作 M 的切线，两条切线相交于点 C. 求证： ACB 有定值，并求出这个定值. 分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答： 此题中的 不变量是弧AB， 因此 AMB 也是不变量；不变关系是相切。问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法 1：问：要证 ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证 ACB 有定值，只需证CAB+ CBA 是定值，只需证MAB+ MBA 是定值，只要AMB 是定值即可。证明：在 ABC 中， MAB+ MBA=180 AMB ，M 是 ABC 的内心， CAB+ CBA=2(180 AMB). ACB=180（ CAB+ CBA ）=1802(180 AMB)= 2 AMB 180 60. ACB 有定值 60. 方法 2：问：要证 ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证 ACB 有定值，只需证EMF 是定值，只需证EMD+ FMD 是定值，只要 AMD+ BMD 即 AMB 是定值即可。证明：在四边形CEMF 中， C+EMF=180，M 是 ABC 的内心， DMA= EMA, FMB= DMB EMD+ FMD=2 AMB =240 EMF=120 C =180-EMF=60总结： 若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）过渡： 上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载【问题 3】已知： O 是如图同心圆的圆心,AB 是大圆的直径 ?点 P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R 与 r?问:PA2PB2是否有定值 ,若有 ,求出定值 ;若没有 ,说明理由 . 分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。点 P 放在直径AB 上. 得 PA2PB2（ Rr）2（ . Rr）22（R2r2）. 点 P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上也可得 PA2PB2 R2r2R2 r22（R2r2）. 说明 PA2PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2r2）证明：（直角三角形计算法）PA2PB2HA2PH2+PH2HB2 2PH2(OH+R)2+(R-OH)2 2PH2 2OH2+2R2=2(PH2OH2) +2R2=2r22R2 解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值 .它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立. 探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明. 结束语： 数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。【小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？答：动态几何中的定值问题特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动类型：（1）点动（2）线动（3）旋转、平移（4）形变解题思路：不要被动、变迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。OPAPOOBABAPBHBAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
