2022年初中数学竞赛试题精选 .pdf

优秀学习资料欢迎下载1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc，则abcabca105 b 104 c 103a102 b10c a 102（ 103 1）b 10（ 1031） c（1031）（ a103 b10 c） （ 1031） 1001（ a 103b10 c） ，而 a 103 b10 c 是整数，所以能被1001 整除。故选C 方法二：代入法2、若2001119811198011S，则 S 的整数部分是_ 解：因1981、1982 2001 均大于 1980，所以9022198019801221S，又 1980、1981 2000 均小于 2001，所以22219022200120011221S，从而知S 的整数部分为90。3、设有编号为1、 2、3 100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100 个学生，第1 个学生进来时，凡号码是1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2 的倍数的开关拉一下，第n 个（ n 100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、 22、32、42、 52、 62、72、 82、 92、102共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a% ，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b% 出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. m a%(1-b%) 元C. m(1+a%)b% 元D. m(1+a%b%) 元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（ 1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（ 1 a%）b%元。应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数，且a+b+c=0 ，那么|abcabcccbbaa的所有可能的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载A. 0 B. 1 或-1 C. 2 或-2 D. 0 或-2 解：由已知，a， b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，；当 a， b， c 为两负一正时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知|abcabcccbbaa所有可能的值为0。应选 A 6、在 ABC 中， a、b、c 分别为角A、 B 、C 的对边，若B60，则bcabac的值为（）A. 21B. 22C. 1 D. 2解：过 A 点作 AD CD 于 D，在 RtBDA 中，则于 B 60，所以DB2C，ADC23。在 RtADC 中， DC2AC2AD2，所以有（a2C）2b243C2，整理得a2c2=b2ac，从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选 C 7、设 ab 0， a2+b2=4ab，则baba的值为（）A. 3B. 6C. 2 D. 3 c A B C a b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载解：因为 (a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得abbaabba26，故3baba。应选 A 8.已知 a 1999x2000，b1999x 2001， c1999x 2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 32)1()1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0，且 a+b+c 0，则代数式abccabbca222的值是（）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则 d 可用 p 表示为解：设该商品的成本为a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a ，解得p100p100d11、已知实数z、 y、 z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9 ，则 x+2y+3z=_ 解：由已知条件知（x+1 ） y=6 ，(x 1)y=z2 9，所以x1，y 是 t2 6tz2 9=0 的两个实根，方程有实数解，则（6）24（ z2 9） 4z20，从而知z=0，解方程得x+1=3 ，y=3 。所以 x+2y+3z 8 12.气象爱好者孔宗明同学在x（ x 为正整数）天中观察到：有7 个是雨天；有5 个下午是晴天；有6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则x 等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 选 C。设全天下雨a 天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c 天，全天晴d 天。由题可得关系式a=0， b+d=6 ， c+d=5 ， a+b+c=7 ，得2d-a=4，即 d2，故 b=4， c=3，于 xa+b+c+d=9 。13、有编号为、 、 的四条赛艇，其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米， 且满足1v2v3v4v 0，其中，水v为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河流中进行追逐赛规则如下：（ 1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （ 2）经过1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？解：出发1 小时后，、号艇与号艇的距离分别为441)(vvvvvvSiii水水（）各艇追上号艇的时间为44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水对1v2v3v4v有321ttt，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12 台水泵需5 小时，用 10 台水泵需7 小时，若要在2 小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z，2 小时抽干满池水需n 台水泵，则 nzyxzyxzyx2210771255由得zyzx535，代入得：nzzz210352122n，故 n 的最小整数值为23。答：要在2 小时内抽干满池水，至少需要水泵23 台15.某宾馆一层客房比二层客房少5 间，某旅游团48 人，若全安排在第一层，每间4 人，房间不够，每间5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3 人，房间不够，每间住4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房x间，则第二层有)5(x间，由题可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载 )5(448)5(35484xxxx由得：xx548484，即12539x由得：)5(44848)5(3xx，即117x原不等式组的解集为11539x整数x的值为10 x。答：一层有客房10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10 个零件，这样8 个人一天做的零件超过200 个，后来改进技术，每人一天又多做27 个零件，这样他们4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715xx是整数x 16 （ 16 37） 16 3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3 倍。初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1 小时后他们分别到达各自的终点A 与 B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后 35 分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A. 3 5 B. 4 3 C. 4 5 D. 3 4 2、某种产品按质量分为10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60 件，提高一个档次将减少3 件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么 R 等于（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润售价 进价进价） ，若这种商品的进价提高25% ，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（）A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载4、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c（ cb，若两个三角形的最小内角相等，则ba的值等于（）A. 213B. 215C. 223D. 2257、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(kkxy与函数xy1的图象相交于A ，C 两点， AB 垂直 x 轴于 B，则 ABC 的面积为（）A. 1 B. 2 C. k D. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则 d 与2ba的大小关系是2、如图 8-5，AA 、BB 分别是EAB 、DBC 的平分线， 若 AA BB AB ，则 BAC的度数为3、已知五条线段长度分别是3、 5、7、9、 11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、 5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6， P 是矩形ABCD 内一点，若PA3，PB 4，PC5，则 PD5、如图 8-7，甲楼楼高16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹角为30，此时求如果两楼相距20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图 8-8，在 ABC 中， ABC 60，点P 是 ABC 内的一点，使得APBBPC CPA，且 PA 8， PC 6，则 PB图 8-6 A B D C P 16 米20 米A B C D 甲乙图 8-7 图 8-8 B A C P A B BD C 图 8-5 E A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载三、解答题1、如图 8-9， AD 是 ABC 中 BC 边上的中线，求证： AD 21（ AB+AC ）2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、 如图 8-10，在 RtABC 中， ACB 90，CD 是角平分线， DE BC 交 AC 于点 E，DF AC 交 BC 于点 F。求证：四边形CEDF 是正方形。CD2 2AE BF 4、从 1、 2、 3、4、 2004 中任选 k 个数，使所选的k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k 的最小值是多少？数学竞赛专项训练（8）参考答案一、选择题1、如图过C 作 CE AD 于 E，过 D 作 DF PB 于 F，过 D 作 DG CE 于 G。显然 DG EF21AB 5，CD DG，当 P 为 AB 中点时，有CD DG5，所以 CD 长度的最小值是 5。2、如图延长AB 、DC 相交于E，在 Rt ADE 中，可求得 AE 16，DE 83，于是 BE AE AB 9，在 RtBEC 中，可求得 BC33， CE63， 于是 CD DE CE 23BCCD 53。3、由已知AD+AE+EF+FD EF+EB+BC+CF AD+AE+FD EB+BC+CF 11)(21CDBCABAD EFBC， EFAD，FCDFEBAE设kFCDFEBAE，141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD 3+13131416kkkkkk111313kk解得 k 4 作 AH CD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，则 GFHC AD 3，BH BCCH 9-3 6 A B D C 图 8-9 A C F B D E 图 8-10 A B C D P E F G 60A B C D E A D C B E F H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载54ABAEBHEG，52454BHEG5393524GFEGEF4、假设 、三个角都是锐角，即 90，90， 90，也就是 A+B 90，B+C 90，C+A 90。 2 （ A+B+C ）270 ，A BC 135与 A B C 180矛盾。故 、 、 不可能都是锐角，假设 、 、 中有两个锐角，不妨设、 是锐角，那么有A B90， C A90， A (A B C)b，故 A 是 ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与ABC 全等，所以DC b， ACD Q，因有公共底角B，所以有等腰 ADC 等腰 CBD ，从而得BCBDABBC，即bbaab，令bax，即得方程012xx，解得215bax。选 B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10 边形。8、 A。设点 A 的坐标为（yx，） ，则1xy，故 ABO 的面积为2121xy，又因为 ABO 与 CBO 同底等高，因此ABC的面积 2 ABO 的面积 1。二、填空题1、如图设四边形ABCD 的一组对边AB 和 CD 的中点分别为M、 N，MN d，另一组对边是AD和 BC，其长度分别为a、b，连结 BD ，设 P 是 BD 的中点，连结MP、 PN，则 MP2a，NP2b，显然恒有2bad，当 AD BC，由平行线等分线段定理知M、 N、P 三点共线，此时有2bad，所以d与2ba的大小关系是)2(2dbabad或。2、 12。设 BAC 的度数为x， AB BB BBD 2x， CBD 4x Q A B C D A B D C P M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载 AB AA AA B AB A CBD 4x A AB )180(21x18044)180(21xxx，于是可解出x 12。3、以 3，5， 7， 9， 11 构成的三数组不难列举出共有10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （ 3， 5，11） 、 （3，7， 9） 、 （3，7，11） 、 （3， 9，11） 、 （ 5，7， 9） 、 （ 5，7， 11） 、 （ 5， 9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59， 3+5 11， 3+7 11 可以判定（ 3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3， 7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、过 P 作 AB 的平行线分别交DA 、 BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交AB 、 CD 于 G、 H。设 AG DH a，BG CH b， AE BF c， DE CFd ，则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE AB 于点 E，那么在 AEC 中， AEC 90， ACE 30， EC 20 米。所以 AE EC6 .11332030tan20tan ACE（米）。CD EB AB-AE 16-11.6 4.4（米）设点 A 的影子落到地面上某一点C，则在 ABC 中， ACB 30， AB 16 米，所以7.27316cotACBABBC（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7 米。6、提示：由题意APB BPC CPA120，设 PBC ， ABC 60则 ABP 60 ， BAP PBC， ABP BPC ，PCBPBPAP， BP2 APPC 3448PCAPBP三、解答题1、证明：如图延长AD 至 E，使 AD DE，连结 BE。 BDDC， AD DE， ADC EDB ACD EBD AC BE 在 ABE 中， AE AB BE，即 2AD AB ACAD 21（ AB AC ）2、答案提示：A B D C P E F G H a a b b c d 16 米20A B C D 甲乙E A B D C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载在 ABC 中，不妨设a b c a+bca+b+c2c即 p2cc2p，另一方面ca 且 cb2c a+b3c3pcpcba。因此23pcp3、证明：ACB 90， DE BC， DF AC， DEAC ，DE BC，从而 ECF DEC DFC 90。 CD 是角平分线 DEDF，即知四边形CEDF 是正方形。在 Rt AED 和 Rt DFB 中，DE BC ADE B Rt AED Rt DFB BFDEDFAE，即 DE DF AE BFCD 2DE2DF ，BFAEDFDEDFDECD222224、解：这一问题等价于在1， 2，3， 2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k 4 时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1， 2，3，5，8，13， 21，34， 55， 89， 144，233， 377， 610， 987，1597共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1， a2 an显然总有ai大于等于中的第i 个数，所以n 16k1，从而知k 的最小值为17。初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图 9-1，在梯形ABCD 中， AB CD ，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且BPCD，则图形中面积相等的三角形有（）A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形ABCD的边 AB 、BC 的中点，连AF、CE，设 AF、CE 交于点 G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于（）A. 65B. 54C. 43D. 323、设 ABC 的面积为1，D 是边 AB 上一点，且ABAD31，若在边AC 上取一点E，使四边形DECB 的面积为43，则EACE的值为（）P A D C B O 图 9-1 A B C D E F G 图 9-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载A. 21B. 31C. 41D. 514、 如图 9-3， 在 ABC 中，ACB 90，分别以 AC、 AB 为边，在 ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ，作 CK AB ，分别交 AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD的面积 S2的大小关系是（）A. S1 S2B. S1S2C. S1S2D. 不能确定，与ABAC的大小有关5、如图9-4，四边形ABCD中， A 60， B D 90，AD 8，AB 7，则BC+CD等于（）A. 36B. 53C. 43D. 336、如图9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a 1，则正方形的面积为（）A. 2537B. 253C. 215D. 2)21(7、如图 9-6，矩形ABCD 中， AB a， BC b， M 是 BC 的中点， DEAM ， E 为垂足，则DE（）A. 2242baabB. 224baabC. 2242baabD. 224baab8、O 为 ABC 内一点， AO 、 BO、 CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图9-7 所示，则SABC（）A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 二、填空题1、如图 9-8，梯形ABCD 的中位线EF 的长为 a，高为h，则图中阴影部分的面积为2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等于15cm ，则这个等腰三角形的面积等于3、如图 9-10，在 ABC 中， CEEB 1 2，DE AC，若 ABC 的面积为S，则 ADE 的面积为A B C D H G K F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 a b a a b b 图 9-5 a b A B C D E M 图 9-6 A B C D E F O 84 x y403035图 9-7 图 9-8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图 9-10 A B Q R D C E P 图 9-11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载4、如图 9-11 ，已知 D、 E 分别是 ABC 的边 BC、CA 上的点，且BD 4， DC 1， AE 5，EC2。连结 AD 和 BE ，它们相交于点P，过点P 分别作 PQ CA， PRCB，它们分别与边AB 交于点Q、 R，则 PQR 的面积与ABC 的面积之比为5、如图 9-12 ，梯形ABCD 中， AD BC， AD BC2 5， AF FD 1 1， BE EC 2 3，EF、 CD 延长线交于G，用最简单的整数比来表示，SGFD SFED SDEC6、如图 9-13 ，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3， PB4，PC 5，则 PD三、解答题1、如图 9-14 ，在矩形ABCD 中， E 是 BC 上的点， F 是 CD 上的点， SABE SADF31S矩形ABCD。求：CEFAEFSS的值。2、一条直线截ABC 的边 BC、 CA、 AB （或它们的延长线）于点D、 E、 F。求证：1FBAFEACEDCBDA B C D G F E 图 9-12 A B C D P 图 9-13 A D F C E B 图 9-14 A B C D E F 图 9-15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载3、如图 9-16 ，在ABCD 中， P1、 P2、P3 Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结AP2，并延长交BC 于点 E，连结 APn-2并延长交CD 于点 F。求证： EF BD 设ABCD 的面积是S，若 SAEF83S，求 n 的值。4、如图 9-17 ， ABC 是等腰三角形，C90， O 是 ABC 内一点，点O 到 ABC 各边的距离等于1，将 ABC 绕点 O 顺时针旋转45得到 A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ 。证明：AKL ， BMN ， CPQ 都是等腰直角三角形。求证：ABC 与 A1B1C1公共部分的面积。D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16图 9-17ABCC1 A1 B1 LMKNQPO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载数学竞赛专项训练（9）参考答案一、选择题：1、 C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS，2、 D。连结AC，有3:1:ABCAGCSS，则ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四边形SSSSS。3、 B。如图联结BE，ADES41431，设xACCE，则xABE1S414131SxxA D E，31EACE4、 A。解：AGADSACS221，因为ACBRtADCRt，所以ABACACAD，即ABADAC2，又因为AB AG ，所以221SAGADACS，所以应选A。5、 B 。 解：如图延长AD ， BC 相交于E，在 RtABE 中，可求得 AE 14， 于是 DEAE ，AD=6 ，又 BE 3，在 RtCDE 中，可求得CD23，CE 43，于是BCBE CE3， BC+CD 53。6、 A 。解：由右图与左图的面积相等，得2)()(bababb，已知1a，所以 有2) 1()12(bbb，即012bb，解 得251b，从而 正 方形 的面 积为2537)253()1(22b。7、A。解：由ADE ABM ，得 DE222242)21(baabbaabAMABADA E D B C A B C D E 60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载8、B。CDOACOBDOABOSSDOAOSS，即30354084xy又CEOBCOBDEABOSSOEBOSS，即357084xy84211234yxyx，解之得5670yxSABC84+40+30+35+70+56 315。二、填空题1、ahS21阴影。解：延长AF 交 DC 的延长线于M，则 ABF MCF ， AFFM ， SABFSCMF。 S阴影 SDFM， AF FM SADF SMDFABCDS21梯形阴影SahSABCD梯形，ahS21阴影。2、144。解：作MN BC 于 N， AM MC ， MN AD ， DN NC 。921ADMN，在 RtBMN 中， BM 15， MN 9。 BN 12，而 BD DC 2DN， 3DN 12，DN 4， BC 16， SABC=21AD BC21 18 16144。3、SADE92S。解： CE EB 1 2，设 CEk，则 EB 2k， DE AC，而 BE BC2k 3k23，2)32(sSBDE，SBDE94S DE AC21BECEBDAD，21BDADSSBDEADE，则 SADE21SBDE92S 4、1089400。解：过点E 作 EF AD ，且交 BC 于点 F，则52EACEFDCF，所以75255CDFD。因为 PQCA，所以33287544BFBDBEBPEAPQ于是33140PQ。因为 PQCA ，PRCB，所以 QPR ACB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载因为 PQR CAB 故1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR。5、 1 26。解：设AD 2，则 BC 5， FD1，EC 3 GF GE FD EC 13， GF FE12，SGFD SFED GF FE 12 显然有 SEFDSCEDFD EC 1 3， SGFDSFEDSCED1 2 6。6、 32。解：过点P 作 AB 的平行线分别交DA、BC 于 E、 F，过 P 作 BC 的平行线分别交AB 、CD 于 G、H。设 AG DH a， BG CHb，AEBFc，DECFd，则222222222222CPadDPcbBPdbcaAP，于 是2222DPBPCPAP， 故184532222222BPCPAPDP， DP 32。三、解答题1、设 BCa，CD b，由ABCD31矩形SSABE，得ab31BEb21。 BE32a，则 EC31a。同理FC31b，abba181313121SCEF。abCDADECSAECD32)(21梯形，ababaabSSAEF1853118132SSADFCEFAECD梯形15181185ababSSCEFAEF。2、答案提示：连结BE 、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、解：因AD BC， AB DC，所以DAPBEPABPFDPnn2222，从而有22AP2222222222nBPDPEPnDPBPFPAPnnnn，即FPAPFPAPnn2222所以 EF BD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载由可知22nABDF，所以SnSAFD21，同理可证SnSABE21显然22nDCDF，所以241nnDCDFDCDFDCDCFC，从而知SnnSECF2)24(21，已知,83SSAEF所以有SnnSnSS2)24(2121283，即83)2(2)4(22122nnn解方程得n6。4、证明：连结OC、 OC1，分别交PQ、 NP 于点 D、 E，根据题意得COC145。点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于1， OC 是 ACB 的平分线。 ACB 90 OCE OCQ 45同理 OC1D OC1N 45 OEC ODC190 CQP CPQ C1PN C1NP45 CPQ 和 C1NP 都是等腰直角三角形。 BNM C1NP 45A1QK CQP 45 B 45 A1 45 BMN 和 A1KQ 都是等腰直角三角形。 B1ML BMN 90， AKL A1KQ 90 B1 45A 45 B1ML 和 AKL 也都是等腰直角三角形。在 Rt ODC1和 RtOEC 中，OD OE1， COC1 45OC OC12 CD C1E2-1 PQ NP 2（2-1） 22-2，CQCP C1PC1N2（2-1 ） 22223)22(212CPQS延长 CO 交 AB 于 H CO 平分 ACB ，且 ACBC CH AB ， CH COOH 2+1 AC BC A1C1 B1C12（21） 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载223)22(212ABCSA1QBN （ 2+2）（ 22-2）（ 22） 2 KQ MN 2221)2(212BMNSAK （ 2+2）（ 22）221)2(212AKLS22411)223)223(S-S-S-SAKLBMNCPQABCKLMNPQ（多边形S初中数学竞赛专项训练（10）（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）一、填空题：1、 G 是 ABC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于 D，若 ABC 的面积为6cm2，则 BGD 的面积为（）A. 2cm2B. 3 cm2C. 1 cm2D. 23cm22、如图 10-1 ，在 Rt ABC 中， C90， A 30， C 的平分线与B 的外角的平分线交于E 点，则AEB 是（）A. 50 B. 45 C. 40D. 35 3、在 ABC 中， ACB 90， A 20，如图10-2，将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角到A C B 的位置，其中A 、B 分别是 A 、B 的对应点，B 在 A B 上， CA 交 AB 于 D，则 BDC 的度数为（）A. 40 B. 45 C. 50D. 604、设 G 是 ABC 的垂心，且AG 6，BG 8，CG10，则三角形的面积为（）A. 58 B. 66 C. 72 D. 84 5、如图 10-3，有一块矩形纸片ABCD ， AB 8，AD 6，将纸片折叠，使AD 边落在 AB 边上，折痕为AE ，再将 AED 沿 DE 向右翻折，AE与 BC 的交点为F， CEF 的面积为（）A C B E 图 10-1 A B C D AB图 10-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、在 ABC 中， A 45， BC a，高 BE 、CF 交于点H，则 AH （）A. a21B. a22C. a D. a27、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心， A1、B1、C1分别是点I 关于 BC、 CA、AB 的对称点，若点B 在 A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（）A. 30 B. 45 C. 60D. 90 8、已知 AD 、 BE、 CF 是锐角 ABC 三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题1、如图 10-4 ，I 是 ABC 的内心， A 40，则 CIB 2、在凸四边形ABCD中，已知 AB BC CD DA 2231，且 ABC 90，则 DAB 的度数是3、如图 10-5 ，在矩形ABCD 中，AB 5，BC12，将矩形ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针， OB 表示分针（ O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为36，则底与腰的比值等于6、已知 AM 是 ABC 中 BC 边上的中线，P 是 ABC 的重心，过P 作 EF（EF BC） ，分别交AB 、AC 于 E、 F，则AFCFAEBE三、解答题1、如图 10-6 ，在正方形ABCD 的对角线OB 上任取一点E，过 D 作 AE 的垂线与OA 交于 F。求证： OE OF A B C D D A E B C A D E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10-4 A B C D E D图 10-5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载2、在 ABC 中， D 为 AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点 E、F，使 DE DF，过 E、F 分别作CA、CB 的垂线相交于P，设线段PA、 PB 的中点分别为M、 N。求证：DEM DFN PAE PBF 3、如图 10-8 ，在 ABC 中， AB AC，底角B 的三等分线交高线AD 于 M、 N，边 CN 并延长交AB 于 E。求证： EM BN A E C B F D P M N 图 10-7 A B C N M E D 图 10-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页优秀学习资料欢迎下载4、如图 10-9 ，半径不等的两圆相交于A、 B 两点，线段CD