2022年南京市2021-2021学年度高二第一学期期末调研测试卷 .pdf

高二数学期末调研（理科）第 1 页 共 10 页南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理科）2018.01注意事项：1本试卷共3页，包括填空题 （第 1 题 第 14 题） 、解答题 （第 15 题第 20 题）两部分 本试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：圆锥的体积公式：V13 r2h，侧面积公式：S rl ，其中r，h 和 l 分别为圆锥的底面半径，高和母线长一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1命题“若ab0，则 b0”的逆否命题是2已知复数z 满足z(1i)i，其中 i 是虚数单位，则| z| 为 3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y24x 的焦点坐标是 4 “x23x20”是“ 1x2”成立的 条件（在“充分不必要” ，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）5已知实数x，y 满足条件x0，y1，2xy 50，则 z3xy 的最大值是 6函数f(x)xex 的单调减区间是 7如图，直线l 经过点 (0， 1)，且与曲线yf(x) 相切于点 (a，3)若 f (a)23，则实数a 的值是 8在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (xa)2(ya)22 与圆x2(y6)2 8相外切， 则实数a 的值为 xyO a3 1 yf(x) l（第 7 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 2 页 共 10 页9如图，在三棱锥P ABC中，M 是侧棱PC的中点，且BM xAB yAC zAP，则 xyz 的值为 10在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x23y21 的渐近线与抛物线 x243y 的准线相交于A，B 两点，则三角形OAB 的面积为 11在平面直角坐标系xOy 中，若点 A 到原点的距离为2，到直线3xy 20 的距离为1，则满足条件的点A 的个数为 12若函数f(x) x3 3x2mx 在区间(0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C若 AF2 2F2C，则该椭圆的离心率为 14已知函数f(x)x| x23| 若存在实数m，m(0，5，使得当 x0，m 时， f(x)的取值范围是 0，am，则实数a 的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分14 分）已知复数z24mi1i，（ mR，i 是虚数单位）（ 1）若 z 是纯虚数，求m 的值；（ 2）设z 是 z 的共轭复数，复数z 2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围（第 9 题图）A B C P M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 3 页 共 10 页16 （本题满分14 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 E，F，G 分别是棱 BC，A1B1， B1C1的中点（ 1）求异面直线EF 与 DG 所成角的余弦值；（ 2）设二面角ABD G 的大小为 ，求 | cos | 的值17 （本题满分14 分）如图，圆锥OO1的体积为6 设它的底面半径为x，侧面积为S（ 1）试写出S关于 x 的函数关系式；（ 2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？18 （本题满分16 分）在平 面直角坐标 系 xOy中 ，已知圆 C 经 过点A( 1， 3)， B ( 4， 2) ，且 圆心在直线 l：xy10 上（1）求圆 C 的方程；（2）设 P 是圆 M：x2y28x2y 160 上任意一点，过点P 作圆 C 的两条切线PM，PN，M，N 为切点，试求四边形PMCN 面积 S的最小值及对应的点P 坐标BB1（第 16 题图）ADCA1C1D1EFGO O1 （第 17 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 4 页 共 10 页19 （本题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x2a2y2b21(a b0)的一条准线方程为x433，离心率为32（ 1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设 A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM，AN，分别与椭圆C 相交于 M，N 两点，且直线MN 垂直于 x 轴 设直线 AM，AN 的斜率分别是k1， k2，求 k1k2的值； 过 M 作直线 l1AM，过 N 作直线 l2AN，l1与 l2相交于点Q试问：点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由20 （本题满分16 分）设函数 f(x)12ax21lnx，其中 aR（1）若 a0，求过点 (0， 1)且与曲线 yf(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2， 求 a 的取值范围； 求证： f (x1)f (x2)0O N M A l1x l2y Q （第 19 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 5 页 共 10 页南京市 20172018学年度第一学期期末检测卷高二数学（理科）参考答案201801说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分）1 “若 b0，则 ab0”2223 (1，0) 4充分不必要57 6(， 1)或( ， 1 7 3 8 3 90 1033 113 12(9，3) 135514 1，3) 二、解答题（本大题共6 小题，共90 分）15 （本题满分14 分）解（1）z24mi1i(24mi)(1i)(1i)(1i)12m(2m1)i3 分因为 z是纯虚数，所以12m0 且 2m10，解得 m126 分（2）因为z是 z 的共轭复数，所以z1 2m(2m1)i8 分所以z2z12m(2m 1)i212m(2m1)i 36m (2m1)i10 分因为复数z 2z 在复平面上对应的点在第一象限，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 6 页 共 10 页所以3 6m0，2m10，12 分解得12m12，即实数m 的取值范围为(12，12)14 分16 （本题满分14 分）解如图，以 DA，DC，DD1 为正交基底建立坐标系Dxyz设正方体的边长为2，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2， 0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2， 2)（1）因为 EF(2，1， 2)(1，2，0) (1， 1，2)，DG (1，2，2)，2 分所以 EFDG11(1)2223，| EF| 1( 1)2226，| DG| 34 分从而 cos EF， DGEFDG| EF| DG|36 366，即向量 EF与DG的夹角的余弦为66，从而异面直线EF 与 DG 所成角的余弦值为667 分（2） DB(2， 2，0)，DG (1，2，2)设平面 DBG 的一个法向量为n1(x，y， z )由题意，得DBn1 2x2y0，DGn1 x2y 2z0，取 x2，可得 y 2，z 1所以 n1(2， 2，1)11 分又平面 ABD 的一个法向量n2 DD1(0，0， 2)，BB1（第 16 题图）ADCA1C1D1EFGy x z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 7 页 共 10 页所以 cosn1， n2n1n2| n1| n2|23213因此 | cos | 1314 分17 （本题满分14 分）解（1）设圆锥OO1的高为 h，母线长为l因为圆锥的体积为6 ，即13 x2h6 ，所以 h36x22 分因此lx2h2x2(36x2)2，从而 Sxl xx2(36x2)2x454x2， (x 0)6 分（2）令 f(x)x454x2，则 f (x)4x3108x3，(x0)8 分由 f (x)0，解得 x310 分当 0 x3时， f (x)0，即函数f(x)在区间 (0，3)上单调递减；当 x3时， f (x)0，即函数f(x)在区间 (3， )上单调递增12 分所以当 x3时， f(x)取得极小值也是最小值答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小14 分18 （本题满分16 分）解（1）设圆 C 的方程为x2y2DxEyF0，其圆心为 (D2，E2)因为圆 C 经过点 A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l： xy1 0 上，所以1 9D3EF 0，1644D2EF0，D2E21 0，4 分解得D 4，E 2，F0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 8 页 共 10 页所求圆 C 的方程为x2y24x2y07 分（2）由（ 1）知，圆C 的方程为 (x2)2 (y 1)25依题意， S2SPMCPMMC PC255所以当 PC 最小时， S最小10 分因为圆 M：x2y28x2y160，所以 M( 4，1)，半径为1因为 C(2， 1)，所以两个圆的圆心距MC6因为点 P M，且圆 M 的半径为 1，所以 PCmin615所以 Smin52 551014 分此时直线MC：y1，从而 P(3，1)16 分19 （本题满分16 分）解（1）设椭圆C：x2a2y2b2 1 的半焦距为c由题意，得a2c4 33，ca32，解得a 2，c3，从而 b1所以椭圆C 的方程为x24 y2 14 分（2）根据椭圆的性质，M，N 两点关于x 轴对称，故可设 M(x0，y0)， N(x0， y0)( x00，y00)，从而k1k2y01x0y01x01y02x027 分因为点 M 在椭圆 C 上，所以x024y021，所以 1y02x024，所以 k1k21y02x021410 分设 Q(x1，y1)，依题意A(0，1)因为 l1AM，所以y01x0y1y0 x1x0 1，即 (y01)(y1y0) x0 (x1x0)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 9 页 共 10 页因为 l2AN，所以 y0 1x0y1y0 x1x0 1，即 (y01)(y1y0) x0 (x1x0)，故 (y01)(y1 y0)(y0 1)(y1y0)0，化得 (y11) y0014 分从而必有y110，即 y1 1即点 Q 在一条定直线y 1 上16 分20 （本题满分16 分）解（1）当 a0 时， f(x) 1lnx，f (x)1x设切点为T(x0， 1lnx0)，则切线方程为：y1lnx01x0( xx0)2 分因为切线过点 (0， 1)，所以11ln x01x0(0 x0)，解得 x0e所以所求切线方程为y1ex14分（2） f (x)ax1xax21x， x0(i) 若 a0，则 f (x)0，所以函数f(x)在(0， ) 上单调递减，从而函数f(x)在(0， ) 上至多有1 个零点，不合题意5 分(ii) 若 a0，由 f (x)0，解得 x1a当 0 x1a时，f (x)0，函数 f(x)单调递减；当x1a时， f (x) 0，f(x)单调递增，所以 f(x)min f(1a)12ln1a112ln1a要使函数f(x)有两个零点，首先12ln1a 0，解得 0 ae 7 分当 0ae 时，1a1e1e因为 f(1e)a2e20，故 f(1e)f(1a)0又函数 f(x)在 (0，1a)上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页高二数学期末调研（理科）第 10 页 共 10 页所以函数f(x)在区间 (0，1a)内恰有 1 个零点9 分考察函数g(x)x 1lnx，则 g (x)11xx 1x当 x(0，1)时， g(x)0，函数 g(x)在(0，1)上单调递减；当 x(1， )时， g (x)0，函数 g(x)在(1， )上单调递增，所以 g(x) g(1)0，故 f(2a)2a1ln2a0因为2a1a2aa0，故2a1a因为 f(1a)f(2a)0，且 f(x)在(1a， ) 上单调递增，其图像在(1a， ) 上不间断，所以函数f(x)在区间 (1a，2a 上恰有 1 个零点，即在(1a， ) 上恰有 1 个零点综上所述， a 的取值范围是(0， e)11 分由 x1，x2是函数 f(x)的两个零点 (不妨设 x1x2)，得12ax121lnx10，12ax221lnx20，两式相减，得12a(x12x22)lnx1x20，即12a(x1 x2) (x1x2)lnx1x20，所以 a(x1 x2)2lnx1x2x1x213 分f (x1)f (x2)0 等价于 ax11x1 ax21x20，即 a(x1x2)1x11x20，即2lnx1x2x1x21x11x20，即 2lnx1x2x2x1x1x20设 h(x) 2lnx1xx，x(0，1)则 h (x)2x1x212x1x2x2(x1)2x2 0，所以函数h(x)在(0，1)单调递减，所以h(x)h(1)0因为x1x2(0，1)，所以 2lnx1x2x2x1x1x20，即 f (x1)f (x2)0 成立16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页