2022年四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题 .pdf
四川省绵阳市绵阳中学2013 年自主招生数学试题一 .选择题：（本大题共12 个小题，每个4 分，共 48 分，将所选答案填涂在机读卡上）1、下列因式分解中，结果正确的是（）A.2322()x yyy xyB424(2)(2)(2)xxxxC.211(1)xxx xx2、“ 已知二次函数2yaxbxc 的图像如图所示，试判断 abc 与 0 的大小 . ”一同学是这样回答的：“ 由图像可知：当1x时0y，所以0abc. ”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法3、已知实数x 满足22114xxxx，则1xx-的值是（）A.2 B.1 C.1 或 2 D.2 或 1 4、若直线y=2x-1 与反比例函数y=kx的图像交于点(2,)Pa ，则反比例函数y=kx的图像还必过点（）A. ( 1,6) B.(1, 6) C.(2,3) D.(2,12) 5、现规定一种新的运算：“ * ”：*()m nm nmn，那么51*22（）A.54B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOBCOD （）A.180 B.150 C.160 D.170 7、某中学对2005 年、2006 年、2007 年该校住校人数统计时发现，2006 年比 2005 年增加 20%，2007 年比 2006年减少 20%，那么 2007 年比 2005 年（）A.不增不减B.增加 4C.减少 4D.减少 28、一半径为8 的圆中，圆心角 为锐角，且32，则角 所对的弦长等于（）A.8 B.10 C. 8 2D.16 9、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子。A.13cm B. 4 10 cm C.12cm D.153 cm 10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点 A 的位置变化为12AAA ，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ，则A翻滚到2A 位置时共走过的路程为（）A. 8 2 cm B.8cm C. 2 29 cm D. 4cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车行驶路程S(千米 )关于时间t(小时 )的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图像是（）A B C D 12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳罗江 黄许 德阳 广汉 清白江新都 成都 .那么要为这次列车制作的车票一共有（）A.7 种B.8 种C.56 种D.28 种二 . 填空题（共6 个小题，每个小题4 分，共 24 分。将你所得答案填在答卷上）13、根据图中的抛物线可以判断：当x _时，y随 x 的增大而减小；当x _时，y有最小值。14、函数222xyxx中，自变量x 的取值范围是_. 15、如图，在圆O中，直径10ABCD，是上半圆?AB 上的两个动点。弦AC与BD交于点E，则AE ACBE BD _. 16、下图是用火柴棍摆放的1 个、 2个、 3 个 六边形，那么摆100 个六边形，需要火柴棍_根。17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（2，5） ， （3，1） ， （1，1） ，若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是_. 18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表。某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000 元，那么此人的汽修理费是_元. 汽车修理费x 元赔偿率0 x500 60500 x1000 701000 x3000 80三 .解答题（共7 个小题，满分78 分，将解题过程写在答卷上）19、 （10 分）先化简，再求值：32221052422xxxxxxxx，其中20122(tan45cos30 )21x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页20、（10 分）在ABC 中，190 ,2CACBC .以BC为底作等腰直角BCD ，E是CD的中点， 求证：AEEB. 21、(10 分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍每平方米需 80 元，建造新校舍每平方米需要800 元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000 平方米， 在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90而拆除旧校舍则超过了计划的10，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需要200 元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？22、 （10 分）已知直线yxa 与y轴的负半轴交于点A，直线28yx与 x 轴交于点B，与y轴交于点C，:7 :8AO CO（O是坐标原点） ，两条直线交于点P. （1）求 a 的值及点P的坐标；（2）求四边形AOBP 的面积S. 23、 （12 分）如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页交BC于点,.H DCDH （1）求证：DC是圆O的切线；（2）请你再添加一个条件，可使结论2BHBG BO 成立 ,说明理由。（3）在满足以上所有的条件下，10,8.ABEF求 sinA 的值。24、 （12 分）如图，菱形ABCD 的边长为12cm，A60，点P从点A出发沿线路ABBD 做匀速运动，点Q 从点D同时出发沿线路DCCBBA 做匀速运动 . （1）已知点,P Q 运动的速度分别为2cm/秒和 2.5cm/秒，经过12 秒后， PQ、分别到达 MN、两点，试判断AMN 的形状，并说明理由；（2）如果 （1）中的点 PQ、有分别从 MN、同时沿原路返回，点P的速度不变， 点 Q 的速度改为v cm/秒，经过 3 秒后， PQ、分别到达 EF、两点，若BEF与题（ 1）中的AMN 相似，试求v 的值 . 25、 （14 分）在ABC 中，90 ,CAC BC 的长分别是,b a，且 cotcosBABA . （1）求证：2ba ；（2）若b2，抛物线2()ym xba 与直线4yx交于点11(,)M xy和点22(,)N xy，且MON 的面积为 6（O是坐标原点）.求 m 的值；（3）若224,30anpqb，抛物线2(3 )yn xpxq 与 x 轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由. 综合素质测试数学科目参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页一 .选择题（本大题共12 个小题，每个4 分，共 48 分，将所选答案填涂在机读卡上）1.B2.C3.D4.C5.D6.A7.C8.A9.C10.D11.C 12.D二 .填空题（共6 个小题，每个小题4 分，共 24 分。将你所得答案填在答卷上）13.2 且 x1 ；15. 100 ；16. 501 ；17.（6，5） ；18.2687.25 三 .解答题（共7 个大题，共78 分）19、 （10 分）（ 1）化简原式2102(1)2(2)(2)5(2)(1)xxxxxxxxx22(2)(1)1222xxxxxxxx求值：421221x原式122x20、 （10 分）过E作/EFBC 交BD于F135ACEACBBCE45135DFEDBCEFB又11/22EFBCACBCEFACCEFB90CEADBEEFBACEDBEDEB又90DEBCEA故90AEBAEEB21、 （10 分）解： （1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则900045001.10.990004500 xyxxyy答：原计划拆建各4500 平方米。（ 2）计划资金145008045008003960000y元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页实用资金21.14500800.945008004950804050 800y39600032400003636000节余资金： 39600003636000 324000 可建绿化面积3240001620200平方米答：可绿化面积1620 平方米22、 （10 分）解： （1）因直线yxa 与y轴负半轴交于点A，故0a又由题知(4,0)(0,8)BC而:7 :8AO CO故7a由728yxyx得52xy即(5, 2)P故：7a,点P的坐标为（ 5，2）（ 2）过P作PDy轴于点D，依题知：4255OBODPDAD111143()(45)25522222ADPOBPDSSSOBPDODADPD四边形 AOBP梯形23、 （12 分）解： （1）连接 ODOC、相交于M，由题可知90ACB,90COAOACOCAOCAOB90BBHGCAOBHGDCDH又DCHDHCDCHACO90DCHHCOACOOCHOCPC，即 DC 为切线（ 2）加条件：H为BC的中点，OHHBBHGBOH2BHBGBHBO BGBOBH（ 3）由题已知2108416ABEFEGAG BGEG、()16ABBG BE即2101602BGBGBG或 8（舍）又2251010BHBG BOBH2 10102 10sin105BCBCAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页24、 （12 分）解： （1）601212AADABBD又2/21224ppPVcm sSvtcmP点到达D点，即M与D重合2.5/2.5 1230QQQvcm sSvtcmN点在AB之中点，即ANBNAMN为直角三角形（ 2）2/36ppvm stsScmE为BD的中点，又BEF与AMN相似BEF为直角三角形Q到达1F处：Qv33 1/cm sQ到达2F处：QS9，93/3Qvcm sQ到达3F处：QS6+1218，186/3Qvcm s25、 （14 分）（ 1）证明：cot,cos,cotcosabBABABAbAB2abABabbAB（ 2）2b且2ab故4a2(2)4ym x由2(2)44ym xyx，得2(41)40mxmxm 要使抛物线与直线有交点，则方程中0得18m过O作 ODMN 于D，设 EF、为直线4yx与坐标轴的交点，则( 4,0),(0,4)EF2 2DO又162MONSOD MN63 22MN过 MN、分别作x轴、y轴的平行线交于点P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页则2121MPxxNPyy又221144yxyx即21NPxx故212MNxx213xx即221()9xx由方程得1212414mxxmx x241()449mm得1m或19m（ 3）224anb且2ba242nn又30pq，即93p，即2(93)39(3)(9)yn xxn xx抛物线与x轴的两个交点中有一个在原点右侧，故0q而抛物线与y轴交点为(0,3)nq当2n时，30nq，交y轴于负半轴当2n时，30nq，交y轴于正半轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
