2022年苏教版-初二数学动点问题练习 .pdf

1 动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题 . 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想 转化思想1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P 从 A 开始沿AD 边以 1cm/秒的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CB向点 B以 2 cm/秒的速度移动，如果 P，Q 分别从A，C 同时出发，设移动时间为 t秒。当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为5 3、如图，在RtABC中，9060ACBB ，2BC点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为1当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；2当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解： 130，1；60，1.5；2当=900时，四边形 EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC是平行四边形在 RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=23. AO=12AC=3 . 在 RtAOD中，A=300，AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC是平行四边形，四边形 EDBC是菱形4、在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E. O E C B D A l O C B A 备用图C B A E D 图 1N M A B C D E M N 图 2A C B E D N M 图 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明 . 解： 1ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转到图 3的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE，BE=AD+DE 等) ADC=CEB=ACB=90ACD=CBE， 又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD. 5、 数学课上， 张老师出示了问题： 如图1， 四边形ABCD是正方形， 点E是边BC的中点90AEF， 且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路： 取AB的中点M， 连接ME， 则AM=EC， 易证AMEECF， 所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：1小颖提出：如图 2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上除B，C外的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；2小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上除C点外的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解： 1正确证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接MEBMBE45BME ，135AME CF是外角平分线，45DCF ，135ECF AMEECF90AEBBAE ，90AEBCEF ，BAECEFAMEBCFASA AEEF2正确证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NEBNBE45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADBEDAEBEANAECEFANEECFASA AEEF6、如图, 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为 t. 求1 PAB为等腰三角形的 t 值； 2 PAB为直角三角形的 t 值；3 假设 AB=5 且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的 t值A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 7、 如图 1， 在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点， 过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B.求： 1求点E到BC的距离；2点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx. 当点N在线段AD上时如图 2 ，PMN的形状是否发生改变？假设不变，求出PMN的周长；假设改变，请说明理由；当点N在线段DC上时如图 3 ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的x的值；假设不存在，请说明理由解1如图 1，过点E作EGBC于点GE为AB的中点，122BEAB在RtEBG中，60B，30BEG22112132BGBEEG，即点E到BC的距离为32当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PMEFEGEF，PMEGEFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB，6030NMCBPMH，1322PHPM图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H A D E B F C 图 4 备用A D E B F C 图 5备用A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M 第 25 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 3cos302MHPM则35422NHMNMH在RtPNH中，222253722PNNHPHPMN的周长=374PMPNMN当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形当PMPN时，如图 3，作PRMN于R，则MRNR类似，32MR23MNMRMNC是等边三角形，3MCMN此时，6132xEPGMBCBGMC当MPMN时，如图 4，这时3MCMNMP此时，6 1353xEPGM当NPNM时，如图 5，30NPMPMN则120PMN，又60MNC，180PNMMNC因此点P与F重合，PMC为直角三角形tan301MCPM此时，6 114xEPGM综上所述，当2x或 4 或53时，PMN为等腰三角形8、如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点(1如果点 P在线段 BC上以 3cm/s的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动假设点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；假设点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？2假设点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解： 11t秒， 3 13BPCQ厘米，10AB厘米，点D为AB的中点， 5BD厘米A Q C D B P 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B FPC M N G G R G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 又8PCBCBPBC，厘米， 835PC厘米， PCBD又ABAC， BC， BPDCQPPQvv， BPCQ， 又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt秒， 515443QCQvt厘米/秒。2设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得1532 104xx，解得803x秒点P共运动了803803厘米 8022824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇9、如下列图，在菱形 ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点 E、F分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F不与 BCD 重合1证明不管 E、F 在 BCCD上如何滑动，总有 BE=CF；2当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大或最小值【答案】解： 1证明：如图，连接 AC四边形 ABCD为菱形，BAD=120 ，BAE+EAC=60 ，FAC +EAC=60 ，BAE=FAC 。BAD=120 ，ABF=60 。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60 ，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF 中，BAE=FAC ，AB=AC，ABE=AFC，ABEACFASA 。BE=CF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 2四边形 AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由1得ABEACF，则 SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AHBC于 H 点，则 BH=2，22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“ 垂线段最短” 可知：当正三角形 AEF的边 AE与 BC垂直时，边 AE最短故AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF2214 32 32 3332。CEF的面积的最大值是3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】1先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得 BE=CF。2由ABEACF 可得 SABE=SACF，故根据 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形 AECF的面积是定值。当正三角形 AEF的边 AE与 BC 垂直时，边 AE最短AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，根据 SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF 的面积就会最大。10、如图，在AOB 中，AOB=90 ，OA=OB=6，C 为 OB 上一点，射线 CDOB交 AB 于点 D，OC=2点 P从点 A 出发以每秒个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到到达点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止过点 P作 PEOA 于点 E，PFOB于点 F，得到矩形 PEOF 以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN，斜边 MNOB，且 MN=QC设运动时间为 t单位：秒 1求 t=1时 FC 的长度2求 MN=PF时 t 的值3当QMN 和矩形 PEOF有重叠部分时，求重叠阴影部分图形面积 S与 t的函数关系式4直接写出QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t 的值考点： 相似形综合题分析： 1根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再将 t=1代入求出 FC的长度；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 2根据 MN=PF，可得关于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解；3分三种情况：求出当 1 t 2时；当 2t 时；当t 3 时；求出重叠阴影部分图形面积 S与 t 的函数关系式；4分 M 在 OE上；N 在 PF上两种情况讨论求得QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t 的值解答： 解： 1根据题意，AOB、AEP都是等腰直角三角形，OF=EP=t ，当 t=1时，FC=1 ；2AP=t，AE=t，PF=OE=6 t MN=QC=2t 6t=2t 解得 t=2故当 t=2时，MN=PF；3当 1 t 2时，S=2t24t+2；当 2t 时，S=t2+30t32；当t 3时，S=2t2+6t；4QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t=2 或点评： 考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页