2022年四年级等差数列求和 .pdf
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算: 1234, 99100?老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:1100299398 , 49525051。1100 正好可以分成这样的50 对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为 (1+100) 10025050。小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了, 简单快捷, 并且广泛地适用于 “等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列,数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和,可以用以下关系式:等差数列的和(首项末项)项数2末项首项公差(项数1)项数(末项首项)公差1例 1:计算下列数列的和(1)1,2,3,4,5,, , 100;(2)8,15, 22,29,36,, , 71。其中( 1)是首项为1,末项为100,公差为1 的等差数列;(2)是首项为8,末项为71,公差为7 的等差数列。由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项 +末项)项数2随堂小练:计算等差数列1,3,5,7,9,, , 99 的和例 2:计算下面数列的和123 , 1999分析:这串加数1,2, 3,, , 1999 是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得解:原式 =(11999) 199921999000注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 3: 计算下面数列的和111213 , 31分析:这串加数11,12, 13,, , 31 是等差数列,首项是11,末项是31,共有 31-11121(项) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页解:原式 =(11+31) 212=441在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数 =(末项 -首项)公差+1, 末项 =首项 +公差(项数 -1) 。例 4:计算下面数列的和3711 , 99分析: 3,7, 11,, , 99 是公差为4 的等差数列,项数 =(993) 41 25解:原式 =(399) 2521275例 5 :求首项是25,公差是3 的等差数列的前40 项的和。解:末项 =253( 40-1) 142, 和=(25 142) 4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。随堂小练:(1)求等差数列:1、3、5、7、9它的第21 项是多少 ?(2)求等差数列:2、6、10、14、18它的第60 项是多少 ?例 6:已知数列2、5、8、11、14 35,这个数列共有多少项?分析: 第 2项比首项多1个公差,第 3项比首项多2个公差,第 4项比首项多3个公差,那第 n 项比首项多 (n-1)个公差。 可根据, 项数= (末项首项) 公差 + 1 进行计算, (35-2)3+1=12。所以,这个数列共有12 项。由此可知: 项数 =(末项首项)公差+ 1随堂小练:(1)有一个等差数列:1、3、5、7、 9 99,这个等差数列共有多少项?(2)有一个等差数列:2、5、8、11 101,这个等差数列共有多少项?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页例 7:在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12 厘米 2,边长是1 根火柴棍。问: (1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?分析:最大三角形共有8 层,从上往下摆时,每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等,由此可知,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。解: (1)最大三角形面积为( 135, 15)12 (115)8 212 768(平方厘米)2)火柴棍的数目为36 9+, +24 ( 324) 8 2=108(根) 。答:最大三角形的面积是768 厘米 2,整个图形由108 根火柴摆成。例 8:盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3 只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3 只球后放回盒子里 ,第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?分析:一只球变成3 只球,实际上多了2 只球。第一次多了2 只球,第二次多了22只球, 第十次多了210 只球。因此拿了十次后,多了2122, 2 10 2( 12 , 10) 255110(只) 。 加上原有的3 只球,盒子里共有球110 3113(只) 。解:综合列式为:(3-1)( 12, 10) 32 (110) 102 3113(只)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页1、求下列等差数列的和。(1)6789 7475(2)261014 122 126(3)1234 200720082、有一个数列,4、10、16、22 52,这个数列有多少项?3、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?4、求等差数列1、4、7、10,这个等差数列的第30 项是多少?5、有一个数列:6、10、14、18、 22,这个数列前100 项的和是多少?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页6、在等差数列1、5、9、13、 17 401 中, 401 是第几项?第50 项是多少?7、求 1 99 个连续自然数的所有数字的和。8 已知等差数列5,8,11,求出它的第15 项和第 20 项。9、按照 1、4、7、10、13,排列的一列数中,第51 个数是多少?10、一个剧场设置了22 排座位, 第一排有36 个座位, 往后每排都比前一排多2 个座位, 这个剧场共有多少个座位?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页