2022年近世代数--第三章小结 .pdf
第三章环与域总结第一节加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。元a的唯一的逆元叫做a的负元，记作 -a，简称负a。环的定义：? ,RR+是交换群R对+封闭 ；：RRR满足结合律，即bcacabRcba,+和都满足分配律：即对Rcba,满足acabcbacabaacb称R在+和运算下是环。.R是一个加群； .R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； . 这个乘法适合结合律：cabbca，不管cba,是R的哪三个元； . 两个分配律都成立：bcbaacbacabcba,，不管cba,是R的哪三个元。环满足如下运算：00aa,对Raacabcbabcaccbaaccaaccaca,minjjinjjmiinnbababbbaaa11112121定义： ?,R ，假设对Rba, 有baab, 即满足交换律的环是交换环。?,R ，假设Re, 对aaeeaRa,则称e为R的一个单位元。一般地，一个环不一定有单位元。?,R ，含有单位元e，,Ra假设Rb，使得ebaab, 则称b是a的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页逆元。? ,R ，0,bba，假设0ab, 则称a为左零因子，b为右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，只有零因子。定理：无零因子环里两个消去律都成立：cbacaba,0左消去cbcabaa,0右消去在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。整环的定义：一个环R叫做一个整环，假设满足：R是交换环：baabR是单位环，有单位元1：aaa11R是无零因子环满足消去律：000baab或这里ba,可以是R中的任意元。第二节除环、域除环的定义：一个环R叫做一个除环，假设满足：R中至少包含一个不等于零的元R中有一个单位元R的每一个不等于零的元都有一个逆元域的定义：一个交换除环叫做一个域。除环和域的几个重要性质：除环没有零因子满足消去律一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群0RR，叫做 R 的乘群。因为封闭性Rabba0,0,0则满足结合律有单位元R01有逆元Raa0,01第三节环的特征定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。第四节子环子环的定义：一个环R 的一个子集S 叫做 R 的一个子环，假设S 本身对于R 的代数运算来说作成一个环。一个环 R 的一个子集S 叫做 R 的一个子除环，假设S 本身对于 R 的代数运算来说作成一个除环。第五节、同态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页同态的定义： ? ,R ?,R环，f：RR映射，假设满足以下条件：bfafbafRba,bfafabfRba?,假设f是同态满射，则称R和R同态。定理： ?,R ， ?,R ,RR与同态，则11,00afafafaff。假设R是交换环，则R是交换环。定理：如果环R与R同构，则有：假设R是整环，则R是整环；假设R是除环，则R是除环；假设R是域，则R是域。定理：假定R和R是两个环，且同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假设R是交换环，那么R也是交换环；假设R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。定理：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合这就是所有不属于S的R的元作成的集合 与另一个环S没有公共元， 并且SS, 那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。第六节多项式环多项式定义：一个可以写成的数是0,10nRaaaainn形式的0R的元叫做R上的的一个多项式，ia叫做多项式的系数。多项式环的定义：R叫做R上的的多项式环。未定元的定义：0R的一个元x叫做R上的一个未定元，假设在R里找不到不都等于零的元naaa,10，使得010nnxaxaa多项式次数的定义：令0,10nnnaxaxaa是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数。多项式0 没有次数。对于给定的0R来说，0R未必含有R上的未定元。定理1：给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多项式环xR存在。无关未定元的定义：0R的n个元nxxx,21叫做R上的无关未定元，假设任何一个R上的nxxx,21的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元nxxx,21存在，因此也就有R上的多项式环Rnxxx,21存在。定理 3：假设Rnxxx,21和Rn,21都是有单位元的交换环R上的多项式环，nxxx,21是R上的无关未定元，n,21是R上的任意元， 那么Rnxxx,21与Rn,21同态。第七节理想理想的定义：环R的一个非空子集叫做一个理想子环，简称理想。假设baba则,arraRra,注：理想是子环，但子环不一定是理想。一个环至少有两个理想：只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想R本身，称单位理想。定理 1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。主理想的定义：Ra，由a生成的理想即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想称为主理想，记为a 。第八节剩余类环剩余类的定义： 对于给定的环R及其一个理想，假设只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集,cba作成R的一个分类。我们把这些类叫做模的剩余类。定理 1：假定R是一个环，是它的一个理想，R是所有模的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。剩余类环的定义：R叫做环R的模的剩余类环，用符号R/来表示。定理 2：假定R和R是两个环，并且R和R同态，那么这个同态满射的核是R的一个理想，并且RR/。定理 3：在环R到环R的一个同态满射下，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页R的一个子环S的象S是R的一个子环；R的一个理想的象是R的一个理想；R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；R的一个理想的逆象是R的一个理想。第九节最大理想最大理想的定义： 一个环R的一个不等于R的理想叫作一个最大理想， 假设除了R同自己以外，没有包含的理想。注：除环的最大理想是零理想除环包括域定理：是R的理想R ，/R只有平凡理想是R的最大理想。引理：R是含有单位元的交换环，假设R只有平凡理想，则R是域。定理：R是有单位元的交换环，是环R的理想，则/R是域是最大理想。第十节商域定理 1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。定理 2：Q是所有元0,bRbaba所作成的，这里ababba11商域的定义：一个域Q叫做环R的一个商域，假设Q包含R，并且Q刚好是由所有元0,bRbaba所作成的。定理 3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。定理 4：同构的环的商域也同构。一个环最多只有一个商域。总结：本章定理，推理及引理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：cbcabaacbacaba,0,0反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。R的特征是有限整数n，那么n是一个素数。推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数p。R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环。R和R是两个环， 并且R和R同态。 那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假设R是交换环，那么R也是交换环；假设R有单位元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1，那么R也有单位元1，并且1是 1 的象。R同R是两个环，并且RR。那么，假设R是整环，R也是整环；R是除环，R也是除环；R是域，R也是域。S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且SS。那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多项式环xR存在。R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元nxxx,21存在， 因此也就有R上的多项式环nxxxR,21存在。nxxxR,21和nR,21都是有单位元的交换环R上的多项式环，nxxx,21是R上的无关未定元，n,21是R上的任意元，那么nxxxR,21与nR,21同态。R只有两个理想，就是零理想和单位理想。R是一个环，u是它的一个理想，R是所有模u的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。R同R是两个环，并且R与R同态，那么这个同态满射的核u是R的一个理想，并且RRu。R到环R的一个同态满射之下，i.R的一个子环S的象S是R的一个子环；ii.R的一个理想u的象u是R的一个理想；iii .R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；iv.R的一个理想u的逆象u是R的一个理想；R是一个有单位元的交换环，u是R的一个理想。uR是一个域，当而且只当u是一个最大理想的时候。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页R都是一个域Q的子环。 17.Q刚好是由所有元)0,(bRbaba所作成的，这里ababba11。R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 19. 同构的环的商域也同构。常用的计算规则：.aaa00.0aaaa.aa.abcbca.babababa,.nbnabanamnnam,.cbcabacbcaccba.000aa这里的0都是R的零元.abbaba.abba.nnabababbbba2121ababababbbnn2121.nmmnnmbababababbbaaa11112121.abnnbabna.mnnmnmnmaaaaa数学与信息学院 09级数本 1班段 秀 宽 20092111869 2012. 5. 25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
