2022年完整word版,广东省专插本高等数学2021-2021年历年题集 .pdf

高等数学历年试题集(含标准答案 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页1 2004年专升本插班考试高等数学 试题一、填空题 （每小题 4 分，共 20 分）1、函数211xxy的定义域是。2、xxxx52tan30lim。3、若dxdyxxeyx则),cos(sin。4、若函数xdttttxf02112)(,)21(f则。5、设23,32aijk bijkcijrrrr rrrrrrr和, abbcrrrr则。二、单项选择题（每小题4 分，共 20 分）6、若IdxxI则,231（）（ A）Cx23ln21（B）Cx23ln21（ C）Cx23ln（D）Cx23ln7、设)2ln(),(xyxyxf,），fy01(则( ) （ A）0, （B）1, (C)2, (D)218、曲线2,1xxyxy所围成的图形面积为S，则 S=（）（ A）dxxx)1(21（B）dxxx)1(21（ C）dxydxy)2()12(2121（D）dxxdxx)2()12(21219、函数项级数1)2(nnxn的收敛区间是（）（ A）1x（B）1x（C）13xx及（D ）13x10、102),(xxdyyxfdxI变换积分分次序后有I= （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页2 （ A）210( ,)xxdxfx y dy（B ）10),(yydxyxfdx（ C）102),(yydxyxfdx（D）yydxyxfdx10),(三、简单计算题（每题 9 分，共 36 分）11、求极限xxxexx30sin)2()2(lim12、求由方程0sin21yyx所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd。13、计算定积分1025lnxdxx。14、设yxzxzyzxzxyxz222,),ln(求。四、计算题 （每题 12 分，共 24 分）15、由2, 8,0 xyxy所围成的曲边三角形OAB （如图所示） ，在曲边OB上，求一点C，使得过此点所作2xy之切线与OA 、AB所围成的三角形面积最大。16、计算二重积分Dydxdy，共中 D是由直线2x，,0y2y以及曲线22yyx所围成的平面区域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页3 2004年专升本插班考试高等数学 参考答案一、填空题1、1 ,00, 1 2、52 3、xexsin2 4、43ln 5、jkrr二、单项选择题6、A 7、D 8、B 9、C 10、B 三、简单计算题11、解：原式xxexexxxcossin31)2(lim20610611sin3cos6limsinlimsin3cossin6lim2200320 xexxxxxxexxxxx12、解：把y 看成 x 的函数并对和方程关于x 求导，得yxyxyyxycos2111)( 0)( cos21)( 1再一次求导，得0)( (sin21)( cos21)( 2xyyxyyxyyxyyxycos211)( (sin21)( 233)cos211()cos211 (sin21yyxyy13、解：0261025lndttexexdxxtt令10811081181181181)(18131)(6161)(61060606060606206062062tttttttttedtedteteetdtdtetdeetedt14、解：1)ln(1)ln(xyyxyxxyxzyxxxyxyz1xxyyxyxxzxxz1)1)(ln()(22yxyxxyyxzyyxz1) 1)(ln()(2四、计算题15、解：xxyxxy2)( )(2于是过点c 的切线斜率为80,200 xx 其中切线方程为：)(20020 xtxxS， 即2002xtxS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页4 此切线与80 xy和分别交于点)16,8()0,2(2000 xxQxP和所围三角形面积h 为：)16)(28(21)(20000 xxxxh即80),16(41)(02000 xxxxh对h求导，得)316)(16(41)16(21)16(41)( 0000200 xxxxxxh令0)( 0 xh，得)80,(16,316000 xxx因舍去又)0()8(2732128)316(,128)8(,0)( 0hhhhxh当过点（9256,316）作切线，所围三角形面积最大。16、解：Dydxdydyyyyydxdyyy)22(20220222202202022422dyyyydyyyyydy下面计算2022dyyyy令sin1y，则当22,2,2,2,0时时yy于是)sin1(sin1)sin1(2202222ddyyyy222cos10coscossincoscos)sin1(22222222222222ddddd24Dydxdy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页5 2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共5 小题 , 每小题 3 分，共 15 分）1、下列等式中，不成立的是A、1)sin(limxxx B、11sinlimxxxC、01sinlim0 xxx D、1sin20 xlimxx2、设)(xf是在（,）上的连续函数，且cedxxfx2)(，则dxxxf)(= A、22xe B、cex2 C、Cex221 D、Cex213、设xxfcos)(，则axafxfax)()(limA、-xsin B、xcos C、-asin D、xsin4、下列函数中，在闭区间-1 ，1 上满足罗尔中值定理条件的是A、|)(xfx| B、2)(xxf C、21)(xxf D、3)(xxf5、已知xxyu)(，则yu= A、12)(xxyx B、)ln(2xyx C、1)(xxyx D、)ln(2xyy二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、极限)1(1limxxex= 。7、定积分1sin2xdxex= 。8、设函数xxxf22ln)(，则) 1( f= 。9、若函数1(1),0,()(12),0.xa xxfxxx在 x=0 处连续，则a= 。10、微分方程222xxexydydx的通解是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页6 三、计算题 （本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）11、求极限1(22nlimnnn) 。12、求极限2020 x)1(lnlimxdttx。13、已知1ln1arctan22xxxy，求 y。14、设函数)(xyy是由方程22lnarctanyxxy所确定的隐函数，求dxdy。15、计算不定积分dxxxxx)sin1311(23。16、计算定积分2ln22ln11dtet。17、 求由两条曲线xyxysin,cos及两条直线6,0 xx所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。18、计算二重积分Ddxdyyx)ln(22, 其中积分区域41),(22yxyxD。19、求微分方程034 yyy满足初始条件6)0( ,2)0(yy的特解。20、已知xyxexyz)sin(，求全微分dz。四、综合题 （本大题共3 小题，第21 小题 8 分，第 22、 23 小题各 6 分，共 20 分）21、设221)(xxexf，（ 1）求)(xf的单调区间及极值；（ 2）求)(xf的闭区间 0 ，2 上的最大值和最小值。22、证明：当t0时，111ln(1)1ttt。23、已知2)(f，且05sin)( )(xdxxfxf，求 f(0) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页7 2005年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、1； 7、 0； 8、98 9、2e 10、)(22cxex三、计算题 （本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）11、解：1(22limnnnn2111111111222limlimnnnnnnnnn12、解：2020)1(lnlimxdttxx2020)1(lnlimxdttxx021)1ln(22)1(ln2)1(lnlimlimlim02020 xxxxxxxxx13、解：221ln1(arctanxxxy23222222222221ln1ln122111221ln1111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxx14、解法一：设22lnarctan),(yxxyyxF，则222222111),(yxxxyxyyxFx22yxyx2 分5 分5 分2 分2 分5 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页8 222221111),(yxyxxyyxFy22yxyx故,yxyxyxFyxFdxdyyx（xy） 。解法二：方程22lnarctanyxxy可写为)ln(21arctan22yxxy视)(xyy，上式两边对x 求导得2222222111yxyyxxyxyxy，即2222yxyyxyxyxy，所以yxyxy)( ，推出yxyxydxdy（xy）15、解：dxxxxx23sin1311cxxxxcot3ln3ln2332（每项的原函数求对各得1 分，总体答案写对得5 分）16、解：令ue 1，则2212,1uududtue2ln22ln11dte312)1 (2uuu6432arctan211231312uduu 6分17、解：由两条曲线xyxysin,cos及两条直线6, 0 xx所围成的平面图形如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为6022sincosdxxxV432sin22cos6060 xxdx 5分18、解：采用极坐标变换sin,cosyrx，则5 分4 分3 分4 分5 分1 分3 分6 分3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页9 Ddxdyyx22ln2021ln2rdrrd32ln82ln2212212rrr19、解：方程034 yyy的特征方程为0342解出1, 321可知方程的通解为xxececy231由上式可得xxececy2313用初始条件6)0( ,2)0(yy代入上面两式得63, 22121cccc解出6, 421cc故所求的特解为xxeey64320、解：xyxyxyeexyyxz)cos(xyexxyxyz2)cos(故dyyzdxxzdzdyexxyxdxxyexyyxyxy2)cos(1)cos(四、综合题 （本大题共3 小题，第21 小题 8 分，第 22、 23 小题各 6 分，共 20 分）21、解：221)(xxexf的定义域为),(，2212)1()( xexxf令0)( xf，解出驻点（即稳定点）1, 121xx列表x )1,(-1 （-1 ，1）1 ), 1()( xf0 + 0 )(xf单调减极小单调增极大单调减可知极小值ef1) 1(3 分5 分2 分3 分5 分2 分4 分5 分2 分4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页10 极大值ef1)1(（ 2）因)(xf在 0 ，2 上连续，由（ 1）知)(xf在（ 0， 2）内可导，且在（0，2） ，内只有一个驻点1x（极大值点） ，因222,61)1 (,0)0(efff，且221(0)0(2)(1)fffee故221)(xxexf在闭区间 0 ，2 上的最大值为ef1)1(，最小值为0)0(f22、证明：设ln,)(xf则1,1)( ttxxxf由拉格朗日中值定理知，存在一点1,tt，使)( )()1 (ftftf，即111lnt，又因1111tt，故111ln 11ttt23、解：应用分部积分法0sin)( )(xdxxfxf000cos)( sin)( sin)(xdxxfxxfxdxxf),0()(sin)(cos)(sin)(000ffxdxxfxxfxdxxf由题意有3)0(, 2)(,5)0()(ffff所以 6分5 分8 分1 分4 分6 分2 分4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页11 2006年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、函数1)(3xxf在x = 0 处A. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导2、设函数)(xf在点x0处连续，且.4)(0lim0 xxxfxx则)(0 xf= A. -4 B. 0 C. 41 D. 4 3、设函数1(1) ,0,( )11sin,0,2xaxxf xxxx若)(lim0 xfxx存在，则a = A. 23 B. 121e C. 123e D. 214、设z = ln(xy)，则dz = A. dyydxx11 B. dyxdxy11 C. xydydx D. ydx+xdy5、积分0dxexA. 收敛且等于 -1 B. 收敛且等于0 C. 收敛且等于1 D. 发散二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、若直线y = 4 是曲线123xaxy的水平渐近线，则a = 。7、由参数方程teytx, 1sin2所确定的曲线在t=0 相应点处的切线方程是。8、积分dxxxx)sincos(。9、曲线xey及直线x = 0，x = 1 和y = 0 所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积V = 。10、微分方程054 4yyy的通解是。三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页12 11、求极限2ln)12ln(limnn。12、计算不定积分)1(xxdx。13、设函数dxdy，xyx求2)1(sin2。14、函数y = y(x) 是由方程22yxey所确定的隐函数，求dxdy在点（ 1， 0）处的值。15、计算定积分102)1ln(dxxx。16、求二重积分Ddxy2，其中积分区域oxyxyxD,1),(22。17、设函数yxxzarctan，求112yxxyx。18、求微分方程yyxylntan满足初始条件eyx6的特解。四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、已知函数)(xf是23415205)(xxxxg在),(上的一个原函数，且f(0)=0. （1）求)(xf；（2）求)(xf的单调区间和极值；（3）求极限)(sinlim040 xftdtxx。20、 设)(xf，)(xg都是),(上的可导函数， 且1)0(),()( ),()( fxfxgxgxf，g=(0)=0 。试证：),(, 1)()(22xxgxf。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页13 2006年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、8 7、x+2y-3=0 8、4 9、)1(22e 10、)sincos(212xcxceyx三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11、解法一：)211ln(2ln)12(ln(limlimnnnnnn21ln)211ln()211ln(21212limlimennnnnn解法二：nnnnnn12ln)12ln(2ln)12(ln(limlim211)(ln22xxxx解法三：2ln)12ln(2ln)12(ln(limlimxnnxnnxxx12ln)12ln(lim2 分6 分3 分2 分4 分6 分1 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页14 21121lim1)1()12(1lim22xxxxxx( 说明 : 不转换成函数极限, 直接用洛必达法则计算可以不扣分) 12、解法一：xdxxxdx112)1 (=cxarcsin2解法二：)21()21(4111)1 (22xdxdxxxxxdx=cx)12arcsin(解法三：设x= t，则x = 2ttdtttxxdx211)1(2=dtt2112=ctarcsin2=cxarcsin213、解：)1(1cos1sin2)1(sin22xxxx=xx2sin12，2ln2)2(xx，2ln22sin1)2()1(sin2)1(sin222xxxxxxxdxdy14、解法一：将方程22yxey两边对x求导数得22222yxyyxyey，4 分5 分6 分2 分6 分2 分6 分1 分3 分5 分6 分3 分5 分6 分1 分4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页15 则xyyxeyy)( 22yexyyxexydxdyyy222110 xydxdy。解法二：将方程22yxey两边取自然对数得22222221)ln(21yxyyxyyxy则xyyxy)( 22yexyyxxydxdyy222110 xydxdy. 解法三：设F（x,y ）=22yxey，则，222222yxxyxxFx，222222yxyeyxyeFyyx，yexyyxexyxyeyxxFFdxdyyyyyx2222222110 xydxdy. 15、解：dxxxxxxxdxxx )1ln()1ln()1ln(102101022.12) 12ln(1) 12ln(1) 12ln(102102xdxx5 分6 分1 分4 分5 分6 分1 分2 分3 分5 分6 分2 分4 分5 分6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页16 16、解法一： D=0, 1),(22xyxyx如答图 1所示DDydxxydydxdyxydxy11102222.1525131)53(21)1(21)21(111153221110222yydyyydyyxy解法二： D=0, 1),(22xyxyx如答图 1 所示Ddddxy221042cos.152sin3151sincos51sincos512232222242105dd（说明：本题不画图，不扣分）17、解：)()(1122yxyxxyz=222yxx，.2142)(2)(2)(21122222222222yxxyzyxxyyxxxyxxxyz18、解：原方程可变形为：xdxyydycotln，1 分3 分4 分5 分6 分1 分3 分4 分5 分6 分2 分3 分5 分6 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页17 1sinlnlnlncotlncxyxdxyydy（说明：没写绝对值不扣分）化简得：xceysin将初始条件代入得：221ceec故所求的特解为xeysin2. 四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、解： （1）,15205)()( 234xxxxgxf.55)(,00)0(.55)15205()(345345234xxxxfcfcxxxdxxxxxf（2）)1)(3(15205)()( 234xxxxxxgxf，令0)( xf，解得x=0，x=1，x=3. 列函数性态表如下x（0,）0 （0， 1）1 （1， 3）3 （3，） y+ 0 + 0 0 + y无极值极大值极小值（说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）故f(x) 在区间（1 ,）及（ 3，）单调上升，在区间（1，3）单调下降；f(x) 的极大值f(1)=1 ，极小值f(3)= 27。（ 3）解法一：)( sinlim)(sinlim40040 xfxxftdtxxx.015205sinlim15205sinlim2244023440 xxxxxxxxxxx4 分5 分6 分1 分3 分4 分5 分8 分9 分11 分12 分14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页18 解法二：)( sinlim)(sinlim40040 xfxxftdtxxx.015205lim15205sinlim22023440 xxxxxxxxx20、证明：设)()()(22xgxfxF，则)( )(2)( )(2)( xgxgxfxfxF。.0)()(2)()(2)( )()( ),()( xfxgxgxfxFxfxgxgxf故)()()(22xgxfxF=c，c 为常数。又,0)0(, 1)0(gf),(, 1)()(122xxgxfc。14 分1 分3 分5 分6 分8 分11 分12 分14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页19 2007年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、函数11ln2)(2xxxf的定义域是A. （，0）（0，） B.（， 0）C. （0，） D. ?2、极限xxx21sin)2(lim2A. 等于 -1 B. 等于 0 C. 等于 1 D.不存在3、设)(xF是)( xf在（ 0，）内的一个原函数，下列等式不成立的A. CxFdxxxf)(ln)(ln B. CxFdxxxf)(sin)(sincosC. CxFdxxxf)1()1(222 D. CFdxfxxx)2()2(24、设函数xdttx0)1()(，则下列结论正确的是A. )(x的极大值为1 B. )(x的极小值为1 C. )(x的极大值为21 D. )(x的极小值为215、设).0, 0(),(,0),0,0(),( ,),(2233yxyxyxyxyxf则)0,0(xfA. 等于 1 B.等于 -1 C.等于 0 D. 不存在二、填空题 （本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）6、极限xxxx11lim。7、设321)(xxxf，要使)(xf在3x处连续，应补充定义)3(f= 。8、设函数2211xxeey，则其函数图像的水平渐近线方程是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页20 9、微分方程0422ydxyd的通解是y= 。10、设)ln(222zyxu，则全微分du= 。三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11、求极限xxxtan11lim0的值。12、设221lncosxxy，求二阶导数 y。13、设函数)(xyy由方程0lnarcsin32yeyxx确定，求0 xdxdy。14、计算不定积分dxxxx2341)23(12。15、计算定积分dxxx23301。16、设平面图形由曲线3xy与直线0y及2x围成，求该图形线y 轴旋转所得的旋转体体积。17、设yxyxyxyxfarctan),(，计算yyxfxxyxfy),(),(的值。18、计算二重积分Ddxdyyx2211，其中积分区域0,8,22yyxyxD。四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、若函数)(xf在),(内连续，且满足xxdttfxf02)(2)(，求)(xf。20、设函数xxxf11)(，（ 1）求)( xf；（ 2）证明：当x0 时，)(xf单调增加。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页21 2007年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、2e 7、41 8、y=1 9、xcxc2sin2cos21 10、222222zyxzdzydyxdx三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11、解：应用洛必塔法则，原式 =xxxxxxsincossinlim0 =xxxxxxcossinsinlim0 =xxxxxxxxsincoscoscossinlim0 =0. 12、解：2212sin1221sincos2xxxxxxxy. 说明：正确计算)(cos2x和)1(ln2x各得 2 分 222)1 (12cos2 xxxy. 13、解：将0 x代入方程0lnarcsin32yeyxx得：11)(030 xxyy. 方程0lnarcsin32yeyxx两边对 x 求导数得：032arcsinln11222dxdyyedxdyyxyxx. 将1,00 xyx代入上式得：3203200 xxdxdydxdy. 14、解：原式dxxdxxdxx2341)23(12（ 3 分）（ 6 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页22 Cxxx2arcsin)23(612ln22. （说明：正确计算分各得和、241)23(1223dxxdxxdxx）15、解法一：设txtan，则0 x时，0t；3x时，3t. 30233023secsectan1tdtttdxxx =302sectanttd =302sec)1(sectdt =330secsec31tt =34解法二：原式=30222)1(121xdxx=)1(1112123022xdxx=3412)1 (3221302232xx. 16、解：如答图1 所示，所求旋转体的体积为80803222dyydyVy56453328035y. 17、解：由题意知yxyxfarctan),(，,111),(2222yxyyyxxyxf（ 6 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 3 分）（ 6 分）（ 2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页23 .11),(22222yxxyxyxxyxf.1),(),(222222yxxyxyyyxfxxyxfy故18、解：如答图2 所示，Ddxdtyyx2211 = 022021drrrd = 22022)1(12rdrr = 22021r = 2四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、解：当0 x时，有.0)0(0)(2)0(002fdttff由题意知)(xf可导，等式xxdttfxf02)(2)(两边对 x 求导数得：.2)(2)( xxfxf记)(xfy，则有022xyxyy=0. Cdxxeeydxdx222Cdxxeexx222Cexeexxx22221xCex221. 21,0210CCyx（ 4 分）（ 6 分）（ 3 分）（ 6 分）（ 1 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页24 故2121)(2xexfx. 20、解： （1）xxxf)11()(两边取对数得),11ln()(lnxxxf两边对 x 求导数得,11)11ln()( )(1xxxfxf则xxxxfx1111ln11)( . （2） （证法一）当x0 时，记xxgln)(，在x11 , 1上应用拉格朗日中值定理得1,1)( )1 (11xggxgx11即xx1111lnxxxxx1111ln1111110，于是xxxxfx1111ln11)( 0，故当x0 时，)(xf单调增加 . （证法二）当x0 时，记xxx1111ln)(，则22)1 (1)1(1)1 (1)( xxxxxx0，所以)(x在（ 0，）内单调下降. 又01111lnlim)(limxxxxx当x 0 时，)(x0，于是)(11)( xxxfx0，故当x0 时，)(xf单调增加 . （ 10 分）（ 2 分）（ 6 分）（ 10 分）（ 12 分）（ 8 分）（ 10 分）（ 12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页25 2008年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、下列函数为奇函数的是A. xx2 B. xxee C. xxee D. xxsin2、极限xxx101lim=A. e B. 1e C. 1 D.-1 3、函数在点0 x处连续是在该点处可导的A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件4、下列函数中，不是xxee22的原函数的是A. 221xxee B. 221xxee C. xxee2221 D. xxee22215、已知函数xyez，则dz= A. dydxexy B. ydx+xdy C. ydyxdxexy D. xdyydxexy二、填空题 （本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）6、极限xxxeex0lim=。7、曲线y=xlnx在点（ 1，0）处的切线方程是= 。8、积分22cossindxxx= 。9、设yevyeuxxsin,cos，则xvyu= 。10、微分方程012xxdxdy的通解是。三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11、计算xxxxxsintanlim0。12、求函数2)2(43)(xxxf在区间 -1 ，2 上的最大值及最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页26 13、设参数方程ttetyex2确定函数y=y(x)，计算dxdy。14、求不定积分dxxxxcos1sinsin2。15、计算定积分dxx )1ln(210。16、设方程02zxyeze确定隐函数),(yxzz，求yzxz,。17、计算二重积分Dxydxdyye，其中 D是由y轴、直线y=1，y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。18、求微分方程xexyysincos满足初始条件20 xy的特解。四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、证明：对x0，2xxee212x。20、设函数)(xf在区间 0 ，1 上连续，且0)(xf1，判断方程xdttfx01)(2在区间（ 0，1）内有几个实根，并证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页27 2008年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 二、填空题 （本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6、21 7、1xy 8、2 9、 0 10、Cxy)1ln(212三、计算题 （本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11、解：xxxxxsintanlim0=xxxcos11seclim20 =xxxcos1tanlim20 =2sinsectan2lim20 xxxx. 12、解：3)2(81)(xxf，令0)(xf，即8)2(3x，解得驻点x=0，又43)2(,2)0(, 0)1(fff，所以f(x)在区间 -1 ，2 上最大值M=2 及最小值m=0. 13、解：ttedtdyedtdx1,22，tteedtdxdtdydxdy221. 14、解：dxxxdxxxdxxxxcos1sincos1sincos1sinsin22dxxxxxdcos1cos1cos1)cos1(2dxxx)cos1()cos1ln(Cxxxsin)cos1ln(. （3 分）（2 分）（3 分）（4 分）（6 分）（6 分）（6 分）（1 分）（3 分）（6 分）（4 分）（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页28 15、解：101022102212)1ln()1ln(dxxxxxdxx. 1021222lndxx10arctan222lnxx222ln. 16、解：设zxyezezyxF2),(, 则zxyxyezFxeyFyexF2,，2,2zxyzxyexezFyFyzeyezFxFxz. 17、解：Dyxyxydxyedydxdyye2021=2120dyeyxy=1)1(2212edye.18、解：dxeeCeyxdxxxdxcossincosdxeeCexxxsinsinsindxCexsin)(sinxCex，由条件20 xy有CCe)0(20sin，故满足初始条件20 xy的特解为)2(sinxeyx. 四、综合题 （本大题共2 小题，第19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、证明：2xxee212x等价于xxee22x. 令22)(xeexfxx，（ 2 分）（分）（ 2 分）（ 3 分）（ 5 分）（ 6 分）（分）（分）（分）（分）（分）（分）（2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页29 xeexfxx2)(，222)(2)(xxxxeeeexf0，于是)(xf在), 0(内单调增加，从而)(xf)0(f=0，所以)(xf在),0(内单调增加，故)(xf)0(f=0，即2xxee212x. 20、解：设xdttfxxF01)(2)(，则)(xF在0 ，1 上连续，1)0(F，因为 0f(x) 1，可证10)(dxxf 1，于是10)(1)1(dttfF0，所以)(xF在（ 0，1）内至少有一个零点. 又)(2)(xfxF21 0，)(xF在0 ， 1 上单调递增，所以)(xF在（ 0，1）内有唯一零点，即xdttfx01)(2在（ 0，1）内有唯一实根（4 分）（6 分）（8 分）（10 分）（3 分）（6 分）（9 分）（12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -