2022年同济大学高数上册知识点 2.pdf
高等数学（上）知识点第 1 页 共 12 页高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数)(xf在0 x连续)()(lim00 xfxfxx第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论 . （二） 极限1、定义1）数列极限axNnNaxnnn, 0lim2）函数极限AxfxxxAxfxx)(0, 0, 0)(lim00时，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 2 页 共 12 页左极限：)(lim)(00 xfxfxx右极限：)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfAxfxx存在2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn2）azynnnnlimlimaxnnlim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量 . 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 )(o; Th2 limlimlim,存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0 xxx b) exxxxxx)11(lim)1 (lim105）无穷小代换：（0 x）a)xxxxxarctanarcsintansin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 3 页 共 12 页b)221cos1xxc)xex1（axaxln1）d)xx )1ln(（axxaln)1 (log）e)xx1)1(二、 导数与微分（一） 导数1、定义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx函数)(xf在0 x点可导)()(00 xfxf2、几何意义：)(0 xf为曲线)(xfy在点)(,00 xfx处的切线的斜率 . 3、可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 4 页 共 12 页7） 对数求导法 . 5、高阶导数1）定义：dxdydxddxyd222）Leibniz公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二） 微分1） 定义：)()()(00 xoxAxfxxfy，其中A与x无关. 2） 可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf； 2 ）),()(baDxf； 3 ）)()(bfaf；则0)(),(fba使. 2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf； 2 ）),()(baDxf；则)()()(),(abfafbfba使. 3、 Cauchy柯西中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）,)(),(baCxFxf； 2 ）),()(),(baDxFxf； 3）),(, 0)(baxxF则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 5 页 共 12 页（二） 洛必达法则（三） Taylor 公式（四） 单调性及极值1、单调性判别法：,)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0)(xf，则)(xf单调减少 . 2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0 x可导，若0 x为)(xf的极值点，则0)(0 xf. b) 第一充分条件：)(xf在0 x的邻域内可导， 且0)(0 xf， 则若当0 xx时，0)(xf，当0 xx时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx时，0)(xf，当0 xx时，0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf不变号，则0 x不是极值点 . c)第二充分条件：)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点 . 3、凹凸性及其判断，拐点1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凹的；若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx， 则称)(xf在区间I上的图形是凸的 . 2）判定定理：)(xf在,ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),(xfbax, 则)(xf在,ba上的图形是凹的； b) 若0)(),(xfbax, 则)(xf在,ba上的图形是凸的 . 3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0 x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 6 页 共 12 页过点)(,(00 xfx时，曲线的凹凸性改变了， 则称点)(,(00 xfx为曲线的拐点 . （五） 不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值） . （六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性 . （七） 渐近线1、 铅直渐近线：)(limxfax，则ax为一条铅直渐近线；2、 水平渐近线：bxfx)(lim，则by为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：kxxfx)(limbkxxfx)(lim存在，则bkxy为一条斜渐近线 . （八） 图形描绘四、 不定积分（一） 概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 7 页 共 12 页2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分 . 3、基本积分表（ P188，13 个公式） ；4、性质（线性性） . （二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分） ：)()(d)()(xuduufxxxf2、 第二类换元法（变量代换） ：)(1d)()()(xttttfdxxf（三） 分部积分法：vduuvudv（四） 有理函数积分 1、 “拆” ； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）. 五、 定积分（一） 概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质： （7 条）性质 7 （积分中值定理）函数)(xf在区间,ba上连续，则,ba，使)()(abfdxxfba（平均值：abdxxffba)()(）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 8 页 共 12 页（二） 微积分基本公式（ NL 公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx2、NL 公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba（三） 换元法和分部积分1、换元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部积分法：bababavduuvudv（四） 反常积分1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a 为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 9 页 共 12 页1) 1,11,d1ppapxxpap2)1,1,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq六、 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标：badxxfxfA)()(122、 极坐标：dA)()(212122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 10 页 共 12 页（二） 体积1、 旋转体体积：a) 曲边梯形xbxaxxfy,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2 b) 曲边梯形xbxaxxfy,),(轴， 绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2（柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体：badxxAV)(（三） 弧长1、 直角坐标：badxxfs2)(12、 参数方程：dttts22)()(3、 极坐标：ds22)()(七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数. 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数. 通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 11 页 共 12 页（二） 变量可分离的方程dxxfdyyg)()(，两边积分dxxfdyyg)()(（三） 齐次型方程)(xydxdy，设xyu，则dxduxudxdy；或)(yxdydx，设yxv，则dydvyvdydx（四） 一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy用常数变易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()()(（五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(xfyn，两边积分n次；2、),(yxfy（不显含有y） ，令py，则py；3、),(yyfy（不显含有x） ，令py，则dydppy（六） 线性微分方程解的结构1、21, yy是齐次线性方程的解，则2211yCyC也是；2、21, yy是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211yCyC是方程的通解；3、*2211yyCyCy为非齐次方程的通解，其中21, yy为对应齐次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解 . （七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0qyypy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页高等数学（上）知识点第 12 页 共 12 页特征方程：02qprr，特征根：21, rr特征根通解实根21rrxrxreCeCy2121221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx（八） 常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy1、)()(xPexfmx设特解)(*xQexymxk，其中是重根是一个单根不是特征根, , , k2102、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设特解xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*，其中,maxnlm，是特征根不是特征根iik, 1,0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
