2022年天津市大学数学竞赛历年试题及答案 .pdf
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类 ) 一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1. 22300022300220200sinsincos( )( )lim1,limlim()( )34sinsinlimlimcos34cossin2 sincoslim6122 sin2 coslimlim16126243xxxxxxxxaxxf xf xg xg xxxaxxxxaxaxxxxaxaxaxxx22ln1x0y2ln22，得令xxxy3= . uduedxexuux2, 121301令22222212212121222222222eeeeeeeeeeeedueueudeuuuu4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页,24,2222222xfxxfdxydxxfdxdy5切线方程为. 13 2. -1/ln2 3.2e24. 506yx3)1(33y3y1,3-1,x,3,63312即切 线 方 程 ：时，即得令而，切 线 的 斜 率 为xxyyxxyx二、选择题： （每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。 选对得分； 选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1设函数)(xf连续，则下列函数中必为偶函数的是( A). (A)；(B)；(C)；(D). 2. D 3. B 4. B 5. C 解：令)()()()()()()(,)()()(000udufufudttftftxFdttftftxFxxx)()()()()(00 xFdttftftduufufuxx2设函数)(xf具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。(A) 若)(xf只有一个零点，则)(xf必至少有两个零点；反例： y=2x (B) 若)(xf至少有一个零点，则)(xf必至少有两个零点；反例： y=x2(C) 若)(xf没有零点，则)(xf至少有一个零点；反例： y=2+sinx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页(D) 若)(xf没有零点，则)(xf至多有一个零点。罗尔定理3. 设)(xf是定义在（ 0，+）上的非负可导函数，且满足xf （x）-f（x）0恒成立，若 ab0，则必有(A) af(a)bf(b) (B) bf(a)af(b) (C) af(b)bf(a) (D) bf(b)af(a)3设非负函数)(xf在区间(0,+ ) 具有二阶导数，满足,0,0)(, 0)0( baxff又则当,bxa时恒有 ( B ). (A) )()(axfxaf；(B) )()(bxfxbf；(C) )()(bbfxxf；(D) )()(aafxxf。2,)(xxfxfxxFxxfxF令20 xfxfxfx22xfxfxxfxxfxx0又,x, 0ffxfxf是严格减少函数，故即严格单调减少，,0bFxFxFxFbbfxxf2xxfxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4222xxxfxfxxxfxfxxF3222xxfxxfxxfxxfxfxxfxxxf32xfxfxfxxxf02300 x23xFxfxxfxfxxxf知为严格单调减函数，可4函数( B ). (A) /2；(B) 0；(C) 1；(D) /2。注：如果 x0是函数 f(x) 的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0为函数 f(x) 的第一类间断点(discontinuity point of the first kind) 。在第一类间断点中，左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuity point of the second kind)。eextaneelimlimx1x100 xxfxx1limeeeelim21210 x1x10 xexexxxx，x=0 为第一类间断点,lim2xfx,lim1xfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 设 函 数)(xf具 有 一 阶导数，)0()(,(000 xxfx是 曲 线)(xfy的 拐 点， 则( C ). (A) 0 x必是)(xf的驻点；考虑函数2xey(B) )(,(00 xfx必是)(xfy的拐点； 考虑函数31xy(C) )(,(00 xfx必是)(xfy的拐点； 可结合图形考虑, 如31xy(D)对任意0 xx与0 xx，)(xfy的凹凸性相反。凹凸性仅在x0 的某个领域内考虑三、四、已知曲线)(xfy与曲线在点 (0,0)处具有相同的切线, 写出该切线方程,并求极限五、 设函数)(xf在区间 (0,+)内有定义，且对任意x,y(0,+)都有)()()(yfxfxyf，又) 1(f存在且等于a，试讨论)(xf在任意x(0,+)时的可导性，并求)(xf。六、设)3()0(,2sin)()(2nfxxxfn求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页七、 设当10 x时，),1 ()(2xxxf且),()1(xafxf试确定常数a的值，使)(xf在0 x点处可导，并求此导数。八、求抛物线弧段)0( , aayx上一点),(，使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，并求此最小面积值。九、设函数)(xf连续，且当1x时，,)1(2 1)()(20 xxedttfxfxx求)(xf。十、证明：20n.0)cos(lim2dxnxex十一、证明：当2x时，. 02)2(222exeexxx天津市大学数学竞赛历年试题（1）（人文学科及医学等类）一、填空：13 2. -1/ln2 3.2e24. 5二、选择题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 三、由积分中值定理有于是四、由已知 ,显然有,0)0(f且在点 (0，0)处因此，所求切线方程为y=x。五、命：1y，则由)()()(yfxfxyf得0)1(f。故当0 x时，有xxxfxxfxxxfxxfxxfxfxxx)1(lim)()1(lim)()(lim)(000.) 1(1)1 ()1 (lim0 xafxxxxfxxfx六、利用牛顿 莱布尼兹公式：.)()()()()1(1)()(nkknknnnnnuvvuCvuCvuuv设,2sin,2xvxu注意到);3(0, 2,2)( juuxuj),22sin(2)2(sin)()(nxxvnnn),2)1(2sin(2)2(sin1)1()1(nxxvnnn),2)2(2sin(2)2(sin2)2()2(nxxvnnn故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页),2)2(2sin(222) 1()2)1(2sin(2)22sin(2)2sin(22)(2nxnnnxxnnxxxxnnnn于是有).3(2sin2) 1(2)2(sin2)1()0(22)(nnnnnnnfnnn七、首先写出)(xf在0 x附近的表达式：01-x时，110 x。由)()1(xafxf知，)2)(1(1-) 1(1)1(1) 1(1)(2xxxaxxaxfaxf故有10),1)(1 (0-1),2)(1(1-)(xxxxxxxxaxf显然，)(xf在点0 x处连续，且0)0(f，,20)2)(1(1-lim)0(0axxxxafx.10)1)(1(lim)0(0 xxxxfx因)(xf在0 x点处可导的冲要条件为：)0()0(ff，即.1)0(,2, 12faa且八、过抛物线上的点),(的切线方程为：).(xy当0 x时，切线在y 轴上的截距为：;0ay当0y时，切线在x 轴上的截距为：.0ax为求题目所述面积最小，只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大，而此三角形面积),(2)(2221Saaaaaaa故设,)(af精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页命：,4,2,2,012)(aaaaf即得是)(f的唯一驻点，从而也是唯一最大值点，即过点)4,4(aa的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，其最小面积为.248)2(S220aadxaxxaa九、命xdttfxF01)()(， 则)()( xfxF， 故原等式左端为2)1 (2)()( xxexFxFx，即22)1()(xxexFx，对上式两边积分得CxedxxexedxxedxxedxxexFxxxxxx1111)1(1)(22注意到 :1)0(F，故0C。即1)(1)(dxxfxexFx，两边求导，得232)1(21)(xxexexfxx. 十、利用分部积分公式，有20202020)sin(21)sin()sin()cos(2222dxnxxennnxedxnnxedxnxexxxx由此可见nenedxnxex44204)cos(2，由夹逼定理即得所证。十一、设)2( ,2)2()(222xexeexxxx，02242) 2()22() 2(22222222eeeeee，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页)(22)(2222xxxxxeeexex。又设：uuueeuf)(，则)(22)(xfxfx。由拉格朗日中值定理知，存在xx,22，使22)(22)()(xfxxfx，而)2()(ef，又0222222xx，故0)(f。从而，当2x时，022)()(xfx，即)(x单调减少，从而0)(x。命题得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
