2022年历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习 .pdf

优秀学习资料欢迎下载高考数学试题圆锥曲线一选择题：1. 又曲线22221xyab（a0,b 0）的两个焦点为 F1、F2, 若 P 为其上一点，且| PF1|=2| PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B. 1,3C.(3,+) D. 3,2. （已知点 P在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P到点 Q （2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （41，1）B. （41，1）C. （1，2）D. （1，2）3. 如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行， 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行， 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行， 若用12c和22c分别表示椭轨道和的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：1122acac; 1122acac; 121 2c aa c; 11ca22ca. 其中正确式子的序号是B A. B. C. D. 4. 若双曲线22221xyab（a0, b0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 5. 已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A(0,1) B1(0,2 C 2(0,)2 D 2,1)26. 已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（ 0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载A172B 3C5D927. 设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（ B ）A(2 2)，B(25)，C (2 5)，D (25)，8. 设椭圆 C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26. 若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 A （A）1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx9. 双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）A6B3C2D 3310. 已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在 C 上且2AKAF ，则AFK的面积为 ( B ) （） 4（） 8（） 16（） 3211. 设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B （A）2211216xy（B）2211612xy（C）2214864xy（D ）2216448xy12. 若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是 D （A）3 （B）5 （C）3（D ）513. 如图， AB是平面a的斜线段， A为斜足，若点 P在平面a内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载（A）圆（B）椭圆（C ）一条直线（D）两条平行直线14. 已知双曲线22221xyab（a0, b0）的一条渐近线为y=kx( k0), 离心率e=5k, 则双曲线方程为 C （A）22xa224ya=1 (B)222215xyaa (C)222214xybb(D)222215xybb二填空题：1. 过双曲线221916xy的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则 AFB的面积为 _32152. 已知椭圆22221xyab（ab0）的右焦点为 F,右准线为 l , 离心率 e=5.5过顶点 A(0, b) 作 AMl , 垂足为 M ，则直线 FM的斜率等于 . 123. 在平面直角坐标系中， 椭圆2222xyab1( ab0)的焦距为 2，以 O为圆心，a为半径的圆， 过点2,0ac作圆的两切线互相垂直， 则离心率e= 224. 过抛物线22(0)xpy p的焦点 F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（ A在 y 轴左侧） ，则AFFB135. 已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2 6. 在ABC中， ABBC ，7cos18B若以 AB，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e387. 已知 F 是抛物线24Cyx：的焦点，过 F 且斜率为1 的直线交 C 于 AB，两点设 FAFB ，则 FA 与 FB 的比值等于322精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载8. 已知21FF 、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若1222BFAF，则 AB =_ 。8 三解答题：1.设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F（）求椭圆C的方程；（）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足AP QBAQPB，证明：点Q总在某定直线上解 (1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为1122( , ),(,),(,)x yx yxy。由题设知,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB于是1241xx，1211yy121xxx，121yyy从而22212241xxx，（1）2221221yyy，（2）又点 A、B 在椭圆 C 上，即221124,(3)xy222224,(4)xy（1）+（ 2） 2 并结合（ 3） ， （4）得424sy即点( ,)Q x y总在定直线220 xy上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载方法二设点1122( , ),(,),(,)Q x yA x yB xy，由题设，,PAPBAQQB均不为零。且PAPBAQQB又,P A Q B四点共线，可设,(0,1)PAAQ PBBQ,于是1141,11xyxy（1）2241,11xyxy（2）由于1122(,),(,)A x yB xy在椭圆 C 上，将（ 1） ， （2）分别代入C 的方程2224,xy整理得222(24)4(22)140 xyxy（3）222(24)4(22)140 xyxy(4) (4)(3) 得8 ( 22 )0 xy0,220 xy即点( , )Q x y总在定直线220 xy上2.已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值解： （）由题意得直线BD的方程为1yx因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可设直线AC的方程为yxn由2234xyyxn，得2246340 xnxn因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得4 34 333n设AC，两点坐标分别为1122() ()xyxy， ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载则1232nxx，212344nx x，11yxn，22yxn所以122nyy所以AC的中点坐标为344n n，由四边形ABCD为菱形可知，点344n n，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n所以直线AC的方程为2yx，即20 xy（）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA所以菱形ABCD的面积232SAC由（）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234 34 3( 316)433Snn所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值4 33.如图、椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是F （1， 0） ，O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F 的直线 l 交椭圆于A、B 两点 .若直线 l绕点 F 任意转动，值有222OAOBAB,求 a 的取值范围 . 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力. 满分 12 分. 解法一： ( )设M ，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载所以32OFMN, 即 13 2,3.23bb解得 2214,ab因此，椭圆方程为221.43xy () 设1122(,),(,).A xyB xy ( )当直线AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有 () 当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入整理得22222222()20,ab myb myba b所以222212122222222,b mba byyy yab mab m因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角 . 即11221212(,) (,)0OA OBx yxyx xy y恒成立 . 2121212121212(1)(1)(1)()1x xy ymymyy ymy ym yy2222222222222222222222(1)()210.mba bb mab mab mm a bba baab m又 a2+b2m20,所以 -m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对 mR 恒成立 . 当 mR 时， a2b2m2最小值为0，所以 a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2,a20,b0,所以 a0, 解得 a152或 a152, 综合（ i）(ii) ，a 的取值范围为（152， +）. 解法二：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载（）同解法一，（）解：（i）当直线l 垂直于 x 轴时，x=1 代入22222221(1)1,Aybayaba=1. 因为恒有 |OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即21aa1, 解得 a152或 a152. （ii ）当直线l 不垂直于 x 轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）. 设直线 AB 的方程为y=k(x-1)代入22221,xyab得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0, 故 x1+x2=222222222222222,.a ka ka bx xba kba k因为恒有 |OA|2+|OB|2|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y20 恒成立 . x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+ k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2)2222222222222222222222222()a ka ba kaa bb ka bkkba kba kba k. 由题意得（ a2- a2b2+b2） k2- a2 b20 时，不合题意；当 a2- a2b2+b2=0 时， a=152; 当 a2- a2b2+b20 时， a2- a2(a2-1)+ ( a2-1)0, 解得 a2352或 a2352（舍去），a152，因此 a152. 综合（ i） （ii） ，a 的取值范围为（152，+）. 4.设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb如图4 所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载A y x O B G F F1图 4 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 【解析】（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x，G点 的 坐 标 为(4,2)b，14yx，4 |1xy， 过点 G 的切线方程为(2)4ybx即2yxb， 令0y得2xb，1F点 的 坐 标 为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为( ,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（ 2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的Rt ABP只有一个，同理以PBA为直角的Rt ABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21( ,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PA PBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的Rt ABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。5 如图，在以点O为圆心，| 4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足|MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F. 若OEF的面积不小于2 2，求直线l斜率的取值范围. （）解法1：以 O 为原点， AB、OD 所在直线分别为x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载则 A（-2， 0） ，B（2， 0） ，D(0,2),P（1 ,3） ，依题意得MA-MB =PA-PB221321)32(2222）（ AB 4. 曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 c2，2a22， a2=2,b2=c2-a2=2. 曲线 C 的方程为12222yx. 解法 2：同解法1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB= PA- PBAB 4. 曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为abyax(122220，b0） . 则由411322222baba）（解得 a2=b2=2, 曲线 C 的方程为.12222yx()解法 1：依题意，可设直线l 的方程为 ykx+2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线C 相交于不同的两点E、F，0)1 (64)4(01222kkk331kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载k（ -3,-1）（ -1，1）（ 1，3）. 设 E（x，y） ，F(x2,y2)，则由式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是EF2212221221)(1()()(xxkxyxx.132214)(1222212212kkkxxxxk而原点 O 到直线 l 的距离 d212k，SDEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd若 OEF 面积不小于22,即 SOEF22，则有解得.22,022213222422kkkkk综合、知，直线l 的斜率的取值范围为-2，-1(1-,1) (1, 2). 解法 2：依题意，可设直线l 的方程为ykx+2，代入双曲线C 的方程并整理，得（ 1-K2）x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线C 相交于不同的两点E、F，0)1 (64)4(01222kkk331kk.k（ -3，-1）（ -1， 1）（ 1，3）. 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2=.132214)(22221221kkkxxxx当 E、F 在同一去上时（如图1 所示） ，SOEF;21212121xxODxxODSSODEODF当 E、F 在不同支上时（如图2 所示） . ODFOEFSSSODE=.21)(212121xxODxxOD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载综上得SOEF,2121xxOD于是由 OD2 及式，得SOEF=.132222kk若 OEF 面积不小于 2则有即,22,2OEFS.22,02213222422kkkkk解得综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为-2，-1（ -1，1）（ 1，2）. 6.若 A、B 是抛物线y2=4x 上的不同两点，弦AB（不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02. （I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II) 试问：点P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示） ：若不存在，请说明理由. 解: （I）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点 A、B 的坐标分别是（x1,y1） 、 （x2,y2） （x1x2）,则 y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y1+y2） （y1-y2）=4（ x1-x2）.因为 x1x2,所以 y1+y20. 设直线 AB 的斜率是k，弦 AB 的中点是M（xm, ym）,则k=12121242myyxxyyy.从而 AB 的垂直平分线l 的方程为().2mmmyyyxx又点 P（x0,0）在直线l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. ( ) 由( ) 知，弦AB所在直线的方程是()mmyyk xx，代入24yx中，整理得2222 ()2()0.mmmmk xk ykxxykx（ ）则12xx、是方程（）的两个实根，且2122().mmykxxxk设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则22222121212()()(1)()lxxyykxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3) .mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxx xkxx xyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因为 02my3,则 2(x0-3)(0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)时, l 有最大值 2(x0-1). 若 2x03,则 2(x0-3)0,g(t)在区间（ 0，4 x0-8）上是减函数，所以 0l23 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（x0-1） ；当 20 时，恒有 |OA|OB|20解： （）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以(03) (03)，为焦点，长半轴为2 的椭圆它的短半轴222( 3)1b，故曲线 C 的方程为2214yx 3 分（）设1122()()A xyB xy，其坐标满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载22141.yxykx，消去 y 并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxx xkk， 5 分若OAOB，即12120 x xy y而2121212()1y yk x xk xx，于是22121222233210444kkx xy ykkk，化简得2410k，所以12k 8 分（）2222221122()OAOBxyxy22221212()4(11)xxxx12123()()xxxx1226 ()4k xxk因为 A 在第一象限，故10 x由12234x xk知20 x，从而120 xx又0k，故220OAOB，即在题设条件下，恒有OAOB 12 分9.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点已知OAABOB、成等差数列，且BF与FA同向（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解： （）设OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载（）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立将2ab，5cb代入，化简有22158 52104xxbb222121212411()4aaxxxxx xbb将数值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的双曲线方程为221369xy。10.设椭圆中心在坐标原点，(2 0)(0 1)AB，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于E、F 两点（）若6EDDF，求k的值； （）求四边形AEBF面积的最大值（）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k 2 分如图，设001122()()()D xkxE xkxF xkx，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)777 14xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk所以2210127 14kk，化简得2242560kk，解得23k或38k 6 分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点EF，到AB的距离分别为D F B y x A O E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk 9 分又2215AB，所以四边形AEBF的面积为121()2SAB hh214(1 2 )525(1 4)kk22(12 )14kk22144214kkk2 2，当21k，即当12k时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分解法二：由题设，1BO，2AO设11ykx，22ykx，由得20 x，210yy，故四边形AEBF的面积为BEFAEFSSS222xy 9 分222(2)xy22222244xyx y22222(4)xy2 2，当222xy时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分11.如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点， 过 M 引抛物线的切线，切点分别为A，B. （）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当M 点的坐标为（ 2， -2p）时，4 10AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C 关于直线 AB 的对称点D 在抛物线22(0)xpy p上，其中，点C 满足OCOAOB（O 为坐标原点） .若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 . （）证明：由题意设221212120(,),(,),(, 2 ).22xxA xB xxxM xppp由22xpy得22xyp，则,xyp所以12,.MAMBxxkkpp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载因此直线MA 的方程为102(),xypxxp直线 MB 的方程为202().xypxxp所以211102(),2xxpxxpp222202().2xxpxxpp由、得212120,2xxxxx因此21202xxx，即0122.xxx所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. （）解：由（）知，当x0=2 时，将其代入、并整理得：2211440,xxp2222440,xxp所以x1、x2是方程22440 xxp的两根，因此212124,4,xxx xp又22210122122,2ABxxxxxppkxxpp所以2.ABkp由弦长公式得2221212241()411616.ABkxxx xpp又4 10AB，所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为22xy或24 .xy（）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为123123(,),22xxxyyyQ设直线 AB 的方程为011(),xyyxxp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点1212(,)22xxyy也在直线AB 上，代入得033.xyxp若 D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,xpyx x因此x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0，0)或2002(2,).xDxp（1）当 x0=0 时，则12020 xxx，此时，点M(0,-2p)适合题意 . （2）当00 x，对于 D(0，0)，此时2212222212120002(2,),224CDxxxxxxpCxkpxpx又0,ABxkpABCD，所以222201212201,44ABCDxxxxxkkppxp即222124,xxp矛盾 . 对于2002(2,),xDxp因为22120(2,),2xxCxp此时直线CD 平行于 y 轴，又00,ABxkp所以直线AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，所以00 x时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意 . 12.已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由20解法一：（）如图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx，由韦达定理得122kxx，121x x，x A y 1 1 2 M N B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB，则NANB，又M是AB的中点，1|2MNAB由（）知121212111()(22) ()4222Myyykxkxk xx22142224kkMNx轴，22216| |2488MNkkkMNyy又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2222114( 1)11622kkkk22216111684kkk，解得2k即存在2k，使0NA NB解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yx，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载（）假设存在实数k，使0NA NB由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，则22221212224488kkkkNA NBxxxx222212124441616kkkkxxxx1212144444kkkkxxxx221212121214()4164kkkx xxxx xk xx2211 4( 1)421624kkkkkk22313164kk0，21016k，23304k，解得2k即存在2k，使0NA NB13.设椭圆22221,0 xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率22e，右准线为l，,MN是l上的两个动点，120FMF N（）若122 5F MF N，求,a b的值；（）证明：当MN取最小值时，12FMF N与12F F共线。【解】：由222abc与22aec，得222ab12220022FaFa， ，l的方程为2xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载设1222MayNay，则11223 2222F MayF Nay，由120FMF N得：212302y ya （）由122 5F MF N，得：2213 22 52ay22222 52ay由、三式，消去12,yy，并求得24a故22,22ab（）2222212121212121222246MNyyyyy yy yy yy ya当且仅当1262yya或2162yya时，MN取最小值62a此时，121212123 222 2 ,22 ,0222F MF Nayaya yyaF F，故12FMF N与12F F共线。14. 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线C的 一 个 焦 点 是0 ,31F， 一 条 渐 近 线 的 方 程 是025yx （）求双曲线C 的方程；（）若以0kk为斜率的直线l与双曲线C 相交于两个不同的点M，N，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k的取值范围（22） （）解：设双曲线C的方程为22221xyab（0,0ab） 由题设得22952abba，解得2245ab，所以双曲线方程为22145xy（）解：设直线l的方程为ykxm（0k） 点11(,)M xy，22(,)N xy的坐标满足方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载程 组22145ykxmxy将 式 代 入 式 ， 得22()145xkxm， 整 理 得222(54)84200kxkmxm此方程有两个一等实根，于是2504k，且222( 8)4 ( 5 4 ) (42 0 )0k mkm 整理得22540mk由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)xy满足12024254xxkmxk，002554mykxmk从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454mkmyxkkk此 直 线 与x轴 ，y轴 的 交 点 坐 标 分 别 为29(, 0)54kmk，29(0,)54mk 由 题 设 可 得2219981| |2 54542kmmkk整理得222(54)|kmk，0k将上式代入式得222(54)540|kkk，整理得22(45)(4| 5)0kkk，0k解得50 |2k或5|4k所以k的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(15.已知曲线C 是到点 P （83,21）和到直线85y距离相等的点的轨迹。是过点 Q（-1，0）的直线， M 是 C 上（不在上）的动点； A、B 在上，xMBMA,轴（如图） 。 （）求曲线C 的方程；（）求出直线的方程，使得QAQB2为常数。（）解：设()N xy，为C上的点，则：2213|28NPxy，N到直线58y的距离为58y由题设得22135288xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载化简，得曲线C的方程为21()2yxx（）解法一：设22xxMx，直线:lykxk，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx在RtQMA中，因为222|(1)14xQMx，2222(1)2|1xxkMAk所以222222(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk. 2|1| |2|2 1xkxQAk，222|2(1) 112|QBkkxQAkxk当2k时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy解法二：设22xxMx，直线:lykxk，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx过Q ( 1 0)，垂直于l的直线11:(1)lyxk因为| |QAMH，所以2|1| |2 |2 1xkxQAk，222|2(1) 112|QBkkxQAkxk当2k时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy16.如图（ 21）图，M（-2 ，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：A B O Q y x l M A B O Q y x l M H l1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页优秀学习资料欢迎下载6.PMPN（）求点P的轨迹方程；（）若21cosPMPNMPN, 求点P的坐标 . 解： ( ) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M 、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 . 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy () 由2,1 cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M 、N构成三角形 . 在PMN中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN将代入，得：22242(2).PMPNPMPN故点P在以M 、N为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上. 由( ) 知，点P的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得3 3,25.2xy即P点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（ -，）或（，-）.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页