2022年导数在生活中的应用教案 .pdf
学习必备欢迎下载课题：38 函数的最大值与最小值（二）教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点： 解有关函数最大值、最小值的实际问题教学难点： 解有关函数最大值、最小值的实际问题授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 极大值：一般地， 设函数 f(x)在点 x0附近有定义， 如果对 x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0) ，就说 f(x0) 是函数 f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0) ，x0是极大值点2. 极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0附近有定义， 如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)f(x0). 就说 f(x0) 是函数 f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3. 极大值与极小值统称为极值4. 判别f(x0) 是极大、极小值的方法: 若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值； 如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正”， 则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值5. 求可导函数f(x) 的极值的步骤: (1) 确定函数的定义区间，求导数f(x) (2) 求方程f(x)=0 的根(3) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值6. 函数的最大值和最小值: 在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值在开区间( , )a b内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 (4) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7. 利用导数求函数的最值步骤: 求)(xf在( , )a b内的极值；将)(xf的各极值与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值二、讲解范例：例 1 在边长为 60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起( 如图) ， 做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高602xhcm，得箱子容积260)(322xxhxxV)600(x23( )602xVxx)600(x令23( )602xVxx 0，解得 x=0 （舍去） ，x=40，并求得V(40)=16 000 由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当 x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积xxxV2)260()()300(x （后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小 ，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数260)(322xxhxxV、xxxV2)260()(在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2 R2由 V=R2h，得2VhR，则S(R)= 2 R2VR+ 2 R2=2VR+2R2令22( )Vs RR+4R=0 xxxx6060 x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载解得， R=32V，从而 h=2VR=23()2VV=34V=23V即h=2R 因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2Rh+22 Rh=RRS222V(R)=RRS222R2=3221)2(21RSRRRS)( RV)=026 RSRhRRhR222622例 3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为qp8125求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入211252588Rq pqqqq，利润221125(1004 )2110088LRCqqqqq(0100)q1214Lq令0L，即12104q，求得唯一的极值点84q答：产量为84 时，利润L 最大三、课堂练习：1. 函数y=2x33x212x+5 在 0， 3上的最小值是_. 2. 函数f(x)=sin2xx在2,2上的最大值为_；最小值为 _. 3. 将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_. 4. 使内接椭圆2222byax=1 的矩形面积最大，矩形的长为_，宽为 _. 5. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载答案： 1. 15 2.22 3.2a2a 4.2a2b 5.23R四、小结： 解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值， 不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单五、课后作业：1. 有一边长分别为8 与 5 的长方形， 在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解： （1）正方形边长为x, 则V=（82x) (5 2x)x=2(2x313x2+20 x)(0 x25) V=4(3x213x+10)(0 x25),V=0 得x=1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，当x=1 时，容积V取最大值为18. 2. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时， 希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b. 解：由梯形面积公式，得S=21 (AD+BC)h, 其中AD=2DE+BC，DE=33h,BC=bAD=332h+b, S=hbhhbh)33()2332(21CD=hh3230cos,AB=CD. l=h322+b 由得b=33hSh, 代入 , l=hShhhSh333334l=23hS=0, h=43S, 当h43S时，l43S时，l0. h=43S时，l取最小值，此时b=S3324六、板书设计（略）七、教学反思： 通过本节课学习使学生明白导数在生活中的应用，同时让学生清楚解决函数应用题最值问题的步骤是先建立函数模型，然后再用导数求最值。hb600EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
