2022年实数指数与指数函数 .pdf

学习必备欢迎下载第十一讲实数指数与指数函数适用学科数学适用年级高一适用区域全国本讲时长120 分钟知识点1.指数的运算2.指数函数的概念3.指数函数的图象和性质教学目标掌握有理指数幂的定义及性质；理解指数函数的概念、图像与性质；综合运用指数函数的图像与性质解决问题教学重点指数函数的概念、图像与性质教学难点综合运用指数函数的图像与性质解决问题教学过程一、知识讲解考点 1 根式的概念（1） 定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且， 则这个数称为a的n次方根即，若axn，则x称a的n次方根（Nnn且1） 当n为奇数时，na的次方根记作na；当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan. （2）性质：aann)(；当n为奇数时，aann；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载当n为偶数时，)0()0(|aaaaaann考点 2 幂的有关概念（1）规定：)(Nnaaaan；)0(10aa，paapp(1Q）maaanmnm,0(、Nn，且)1n（2）性质：raaaasrsr,0(、sQ） ，raaasrsr,0()(、sQ） ，rbababarrr,0,0()(Q）（注）上述性质对r、sR 均适用考点 3 指数函数定义：函数)1,0(aaayx且叫做指数函数图象与性质：a1 0a1 图象图像特征图像分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方 . 都过点（ 0，1）第一象限的点的纵坐标都大于1； 第二象限的点的纵坐标都大于0 且小于 1. 第一象限的点的纵坐标都大于0 且小于 1； 第二象限的点的纵坐标都大于1. 从左向右图像逐渐上升. 从左向右图像逐渐下降. 性质（ 1）定义域： R（ 2）值域：（0，+）（ 3）过定点（ 0， 1） ，即 x0 时， y1. (4)x0 时， y1；x0 时， 0y1 x 0 时， 0y1；x0 时， y1. （ 5）在R 上是增函数在 R 上是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载二、例题精析【例题 1】【题干】 求下列各式的值：（1）21100；（2）328；（3）239；（4）4381【答案】（1）2110010=)10(=212. （2）3284=2=)2(=2323. （3）239271=3=)3(=3232. （4）4381271=3=)3(=3434. 【解析】 同答案【例题 2】【题干】 用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）（1）aa3；（2）322aa ；（3）3aa 【答案】（1）117333222.aaaaaa. （2）322aa 3832+2322=aaaa. （3）3aa 323431=aaaa. 【解析】 同答案【例题 3】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载【题干】 计算：25.02121325 . 0320625.0)32.0()02.0()008.0(+)945()833(【答案】92【解析】原式41322132)10000625(102450)81000()949()278(922)2917(211024251253794【例题】【题干】 化简：.)2(2485332332323323134aaaaabaaabbbaa【答案】 a2【解析】 原式51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()()2()(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa. 提示： 这是一组很基本的指数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则， 以及学习数式变换的各种技巧 . 根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【例题 5】【题干】 比较下列各组数的大小（1）2277.0与（ 2）32与3)21(（3）5. 02与25.0（ 4）3121，3221，3251【答案】323231)51()21()21(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载【解析】（1）由2x在)+, 0上是增函数，77 .0，2277.0（2）由x2在 R 上是增函数，33，3322，即33215. 0，25 .022，即225. 05 .0=212）（4）由x)21(在 R 上是减函数，32)21(，又32x在)+,0上是增函数，5121，3232)51()21(；故323231)51()21()21(【例题 6】【题干】 已知函数11)(xxaaxf，)0(a(1) 判断函数的奇偶性；(2) 求该函数的值域；(3) 证明( )f x是R上的增函数【答案】（1）奇函数（ 2）)1 , 1(（3）见解析【解析】（1）定义域为xR, 且11)(xxaaxfxxaa11)(xf)(xf是奇函数；（ 2）121)(xxaaxf121xa1xa1， 0 12xa2 即函数11)(xxaaxf的值域为) 1 , 1(；（ 3）设1x，2xR, 且1x2x，则21xxaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载)(1xf)(2xf1111xxaa1122xxaa)1)(1(222121xxxxaaaa0，( )f x是R上的增函数提示：函数的性质综合问题，需要准确把握定义域、值域、 奇偶性、 单调性等基本概念，充分运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，灵活运用通性通法三、课堂运用【基础】1.求值下列各式的值：238；1225；51( )2；3416()81【答案】 4 5132 827【解析】 2223323338(2 )2241112 ()21222125(5 )5555151 ( 5)1( )(2)2322334 ()344162227()( )( )813382化简46 3943 69)()(aa的结果为（）Aa16 Ba8 Ca4 Da2【答案】 C【解析】 原式461319431619)()(aa22aa4a，故选 Clg10；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载【巩固】1若122 xa，则xxxxaaaa33等于（）A221 B222C 221 D21 【答案】 A【解析】 注意到122xaxxxxaaaa33xxxxaaaa33)()(xxxxxxaaaaaa)1)(22xxaa221122选 A2在下列图象中，二次函数cbxaxy2与函数xaby)(的图象可能是（）【答案】 A【解析】 由函数xaby)(知ab0，于是抛物线cbxaxy2的对称轴应在y轴左边， B、D 两个答案被排除对于答案C， 显然12ab，ab2，函数xaby)(为增函数，图象与之不符，被淘汰故选A提示： 从图象看，c0，关键由a与b大小决定重要的条件是指数函数xaby)(的底ab0，使得对称轴与x轴的交点横坐标ab20再由 0ab1，便定出ab2的位置【拔高】1设5. 1344. 029. 01)21(,8,4yyy，则（）A3y1y2yB2y1y3yC1y2y3yD1y3y2y【答案】 D【解析】化为同底，再利用单调性即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载8. 112y，32. 122y，5. 132y，又 函数xy2是单调增函数，1y3y2y，故选 D2求函数 y3322xx的定义域、值域和单调区间【答案】 定义域 ( ，)值域81,0(单调减区间 1，)【解析】 (1) 定义域显然为( ，) (2) 4) 1(423)(22xxxxfu，uy3是u的增函数，4330u， 即函数的值域为81,0( (3) 当x1 时，u)(xf为增函数，uy3是u的增函数，y由xuy 原函数单调增区间为( ， 1 ；当x1 时，u)(xf为减函数，uy3是u的增函数，由xuy原函数单调减区间为1，)提示：这是复合函数的典型例子是指数函数与二次函数的复合，由于外层指数函数uy3是u的增函数，所以该函数的单调性由内层函数也就是二次函数223)(xxxfu决定另一类由基本初等函数经过四则运算而形成的函数，其单调性和奇偶性的判定需采用前面所学办法课程小结（1）指数运算常规方法将小数化为分数，带分数化为假分数，负指数化为正指数，根指数化为分数指数（2）1,0 aa时，xay与xay的图象关于y轴对称，即xay)1(与xay的图象关于y轴对称（3）指数函数都以x轴为渐近线 （当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴） （4）比较大小问题的处理方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载看类型化为同底用单调性其它类型找中间量（5）复合函数的单调性对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别课后作业【基础】1.求值（ 1）2325（2）21)425(（3）41)0081.0(【答案】（1）125=5=)5(=25323223；(2) 52=)25(=)25(=)425(121221；(3) 310=)103(=)1000081(=)0081.0(14141；【解析】 同答案2. 指数函数xaxf)1()(2是减函数，求实数a的取值范围【答案】)2, 1()1,2(【解析】 同答案3. 已知指数函数xaxf=)(（a0 且a1） 的图象过点（3， ） ， 求( 0 ) , ( 1 ) , (3 )fff的值.【答案】1=)0(0f331=) 1(f1=)3(1f【解析】 由=)3(f，得=3a，即31=a，3=)(xxf，1=)0(0f；331=)1(f；1=)3(1f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载4.求函数151xy的定义域【答案】)+,0(【巩固】1.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)( 6)( 3)a ba ba b；（2）31884()m n【答案】（1）原式2111153262362( 6)( 3)ab04ab4a；（2）原式318884() ()mn23m n【解析】 同答案2. 计算下列各式（1）34(25125)25；（2）232(.aaaa0） 【答案】（1）原式111324(25125 )25231322(55 )521313222551655655；（2）原式12522652362132aaaaaa【解析】 同答案3. 已知44221)31)(21(, 31aaaaaaaaaa求的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载【答案】5200550205)347()218(原式【解析】719)1(312aaaaaa，47149)1(222aaaa，)()(1221212122121212323aaaaaaaaaaaa1863)11)(1(aaaa，而512)1(124444aaaaaa，5200550205)347()218(原式. 4函数xay在 1 , 0上的最大值与最小值的和为3，则a【答案】a2；5函数 y121x的值域是 _ _【答案】 (0，1) 【拔高】1若nN*，则12412411nnnn（）A2 Bn2Cn12Dn22【答案】 A 2下列各式中正确的是（）ABCD( )( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )121512121215151212151212232313132323231323232313精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载【答案】 D【解析】 由xy)21(是减函数，得32)21(31)21(，答案 B、C 被淘汰又32)51(32)21(，故选 D3函数xay1与xay1具有不同的单调性，则311am与31an的大小关系是（）AmnBmnCmnD不能确定【答案】D【解析】101021111aaaaamn；或21211011aaaaamn故选 D4已知函数2)(xxeexf，2)(xxeexg (1) 判断函数)(xf、)(xg的奇偶性；(2) 证明( )f x是R上的增函数；(3) 证明：)2( xf2)(xf)(xg；1)()(22xfxg【答案】（1） （略）)(xf为奇函数，)(xg为偶函数；(2) xe是R上的增函数，xe是R上的减函数，( )f x是R上的增函数；(3) 证明：)2( xf222xxee，2)(xf)(xg 222xxxxeeee222xxee，)2( xf2)(xf)(xg；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载22)()(xfxg2222xxxxeeee42422222xxxxeeee1【解析】 同答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页