2022年题型参数方程求解曲线弦长 .pdf
题型 6 求直线与曲线相交弦的长【例 17 61】求直线12 ,12xtyt(t 为参数 )被圆3cos,3sinxy(为参数 )截得的弦长【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长【详解】 把直线方程12 ,12xtyt化为普通方程为2xy 将圆3cos,3sinxy化为普通方程为229xy 圆心 O 到直线的距离222d，弦长2222 9227LRd所以直线12 ,12xtyt被圆3cos,3sinxy截得的弦长为27【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参【变式 1】过点 P(3，0)且倾斜角为30 的直线和曲线1,()1xtttytt为参数相交于 A、B 两点求线段AB的长【分析】由已知过点P(3，0)且倾斜角为30 的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长【详解】直线的参数方程为33,2()12xssys为参数，曲线1,()1xtttytt为参数可以化为224xy将直线 的 参 数 方 程 代 入 上 式 ， 得26 3100ss 设A 、 B对 应 的 参 数 分 别 为12ss， 12126 310ssss， AB212121 2()4ssssss 2 17 【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s为直线上的点到13,2点的距离就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程【变式 2】直线tytx3141(为参数t)被曲线)4cos(2所截的弦长为_ 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2则需要用两角和的余弦公式展开转化【详解】消去t 得直线的方程为3410 xy，由2cos()2 coscossinsincossin444，两边同乘，得2cossin，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页即22xyxy，即22111222xy，所以曲线为圆，圆心为11,22，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510，所以弦长为2221722105【答案】57【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧要运用两角和的余弦公式进行变形直线截得的弦长可由勾股定理求得【变式 3】已知抛物线y2 = 2px，过焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于A，B 两点，求证： AB = 2psin2【分析】弦长AB = |t1- t2|【详解】由条件可设AB 的方程为x = p2 +t cos ，y = t sin (t 是参数 )，代入抛物线方程，得 t2 sin2- 2pt cos - p2 = 0，由韦达定理：t1 +t2 = 2pcos sin2，t1 t2 = -p2sin2，AB = |t1- t2| = (t1- t2)2- 4 t1 t2= 4p2cos2sin4 +4p2sin2= 2psin2圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略一、基础知识1圆锥曲线定义、方程、基本元素a、b、c、e、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式2焦点弦长： AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆bx ay ab（ ab 0） 、双曲线bx a y ab（ a 0，b0） 、抛物线y 2Px（P 0） ，以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为 ，半焦距为c，则（1）对于椭圆，AB 2AB （ b csin ） ；（2）对于双曲线，AB 2AB b csin ；（3）对于抛物线，AB 2Psin 证明过程，此处从略3顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A（对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为的弦 AB ，半焦距为c，则（1）对于椭圆，AB 2AB cos （ b csin ） ；（2）对于双曲线，AB 2AB cos b csin ；（3）对于抛物线，AB 2Pcos sin 证明过程，此处从略4焦点三角形的面积：P 是椭圆 bx ay ab（ ab 0）或双曲线bx a y a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页b（ a0，b0）上一点， F、F是两焦点，若FPF ，则（1）对于椭圆， S FPFbtan（ 2） ；（2）对于双曲线，S FPFbcot（ 2） 一般的书刊资料均可找到，证明从略例 1在椭圆 b x ayab（ ab 0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e（ 12） （51） ，求 ABF （2000 年全国高中数学联赛题）导析：如图1，ABF 是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形但在短暂的思考中学生也是不易找到方法这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a， b，c 有关，由此可改造条件即由eca（ 12） （51）可得 2ca5a，两边平方可得b ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得ABF90 例 2已知点 P 在双曲线（ x 16）（ y 9） 1，且点 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是点P 到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是 （ 1999 年全国联赛题） 导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F、F，点 P（x，y）到右准线xac165 的距离为 D，则 2D PF PF，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得 2x（ 165） 4（ 54）x 4（ 54）x结合双曲线的范围x 4 或 x4即可得 x 645例 3F 是抛物线y 2Px（P0）的焦点， P为抛物线上一点，抛物线的准线l 交 x 轴于 H，若PFH ， PHF ，求证： sin tan 导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析， 这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作 PQl， 垂足为 Q，则有 PQ PF， QPH ，从而有PH PQ cos PF cos和 PH sin PF sin 由这两个等式易得sin tan 二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、 等价转化、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系例 4经过椭圆（ x 4）（ y 2） 1 的长轴顶点A 作椭圆的弦AB ，若 AB 87，试求弦 AB 的倾斜角 导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成若教师给予启发诱导，则学生是能解决的常用方法有：应用弦长公式AB xAxB和韦达定理；运用直线参数t 的几何意义；直接应用顶点弦长公式下面给出两种解法：解法 1由对称性，不妨设A 为右顶点（ 2，0） ，则直线AB 的参数方程为（t 为参数），代入椭圆方程得 （cos 2sin ） t 4cost0 由 t 的几何意义知AB tB 4 cos （cos 2sin ） 87，从而得2cos 7cos 40 60 或 120 解法 2 由椭圆顶点弦长公式得872 2 2cos （ 22sin ） 以下同法1例 5AB 是经过椭圆bx ay ab（ ab0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的弦 MNAB，求证： MN AB是定值导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具对于本题， MN 、 AB 分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0 ，此时有 MN 4a， AB2a MN AB 2a（定值）下面再证明一般性设平行弦MN 、AB 的倾斜角为 ，则 MN 的方程为（t 为参数），代入椭圆方程后注意到t 的几何意义即得MN 4ab（ b csin ） 另一方面， AB 的参数方程为（t 为参数）仿可得 AB 2AB （ b csin ） 得 MN AB 2a（定值）关于式也可直接由焦点弦长公式得到例 6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP 运到 P 处，如图3，其中 AP100M ，BP150M ， APB 60 ，问怎样运土才能最省工? 导析：这是一道解析几何建模应用题即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识“ 最省工 ” 的含义是：到点P 的距离最近，所以半圆内的点有三类：沿AP 到 P 较近；沿BP 到 P接近；沿 AP、BP 到 P 等距其中第类点集是第、类点集之交集（分界线）设 M 是分界线上任一点， 则有 MA AP MB MP，即MA MB PB PA 50（定值）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页M 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上由题设可得 AB 17500，于是以 AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x 625）（ y 3750） 1（x 25 ） 故运土时在双曲线左侧的土沿AP 运到 P 处，右侧的土沿BP 运到 P 处最省工例 7l 是椭圆的右准线，F、F是左、右焦点，Pl若椭圆的离心率e2，试求 FPF的最大值导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e 与 FPF（记为 ）的关系式教师可引导学生画图分析，步步追踪如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x a）（ y b） 1（ ab 0） ，l 为右准线且P在 x 轴上方，由此可设点P 为（ a c，y） （y0） ，又在 F（ c，0） 、F（c，0） ，在 PFF中，由两条直线所成的角得tan （kPFkPF）（ 1 kPF kPF又 kPFy（ （a c） c） ，kPF y（ （a c） c） ，代入得 tan 2cy（ a ccy） ， y 0，a c 0， tan 0又 （ 0， ） ， 为锐角由基本不等式得tan当且仅当a c cy，即 yP（ 1c）时取 “ ” 从而可得cot（a c） ce 1， csc e sine（2） sin在（ 0， 2）上是增函数，的最大值为 6三、强化训练1已知 A 为双曲线x y 1 的左顶点，点B 和 C 在双曲线的右支上，ABC 是等边三角形，则 ABC 的面积是（） A33 B （32）3C33D63（2000 年全国联赛）2P是椭圆上的一点，F、F是两个焦点，若恒有FPF60 ，则该椭圆的离心率e 的范围是（）A （0，1）B 2，1）C 3，1）D 12，1） 3圆 x y过椭圆b x ay ab（ ab0）的两个焦点F（ c， 0） 、F（c，0） ，它们有四个交点，其中一个交点为P，若 PFF的面积为26，椭圆长轴为15，则 ab c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页_（2000 年 “ 希望杯 ” 赛题）4 设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点， PQ 为过 F 的弦， 已知 OF a，PQ b，则 S POQ_5双曲线的离心率e2，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F为左焦点，试求PFF的大小（1998 年河南省、重庆市高中赛题）6经过椭圆bx ay ab（ ab0）的长轴顶点A 作倾斜角为45 的弦 AB，若弦 AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e7 l 是椭圆bx ay ab（ ab0）的左准线，在椭圆上放置n 个点（ n1）使每相邻两点与左焦点F 连线所成的夹角均相等，如图5， PFP PFP PnFP2 n，试证明：这n个点到 l 的距离的倒数之和为一个仅与n 有关的常数参考答案与提示：1C由对称性知BAx CAx 30 ， AB AC 从而可按求弦长的思路求得AB 2，也可运用顶点弦长公式知AB 2 1 1 cos30 12sin30 2S ABC（ 12） AB sin6032D可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式3abc 13易知 FPF90 ，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式4SPOQa本题可用焦点弦长公式求出弦PQ 的倾斜角， 然后再用三角形的面积公式求解也可建立极坐标系利用极径及极角求解5设 PFF ，双曲线方程为bx ay ab， PFFF， xPc，由焦半径公式得 PF aexP a ec eca（ 1a） （c a） 又 FF 2c， tan PF FF（ 1a） （ c a）（ 2c） tan （ c a） 2ac（ 12） （e（ 1 e） ）2 15 6可按求弦长的方法求出通径和AB的表达式，也可直接应用通径长为2ba 和顶点弦长公式所求离心率e7设在椭圆上的n 个点为 P、P、 ，Pn，它们到l：x（ a c）的距离记为D、D，Dn， 2 n， PFO ，由椭圆定义得PiF eDi（i1，2，n） 如图 5知 Di PiFcos （i 1） （ a c） c，即 DieDicos （ i1） b c，Di经计算知故（是仅与n 有关的常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
