2022年高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型 .pdf
一、抛物线定义的应用涉及到抛物线的焦半径、焦点弦的问题， 可以优先考虑利用抛物线的定义将其转化为点到准线的距离，反之也可以.【2012 四川】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My。假设点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OMA、2 2B、2 3C、4D、2 5解析：2124(2,2 2)2 32pypxxOM【2014 成都三诊】已知过抛物线24yx的焦点F的直线l与抛物线相交于,A B两点，假设线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为A6B8C 10D12答案： B解 析 ： 根 据 抛 物 线 定 义 来 求 解 ， 设 点A的 横 坐 标 是1x， 点B的 横 坐 标 是2x， 则12822ppABxx随堂练习1、 过抛物线22yx的焦点F作直线交抛物线于,A B两点，假设25|12AB，| |AFBF，则|_.AF解析：25112|,212 |AFBFAFBFp，则55|,|64AFBF2、在直角坐标系中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物线相交于,A B两点，其中A点在x轴上方，假设直线的倾斜角为60，则OAF的面积为 _.解析：联立112|FAFBp和22|()sinpABAB为弦的倾斜角可解得4AF1*4*1*sin12032OAFS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页二、抛物线标准方程【2013 全国 II】设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点 M 在 C 上，|MF|5，假设以 MF为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为 ()Ay2 4x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216x答案： C解析： 设点 M 的坐标为 (x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x02p5，则 x052p.又点 F 的坐标为,02p，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0)2px(yy0)y0.将 x0，y2 代入得 px084y00，即202y4y0 80，所以 y0 4.由20y2px0，得16252pp，解之得p2，或 p8.所以 C 的方程为y24x 或 y216x.故选 C.三、抛物线的几何性质【2014 全国 I】设 F 为抛物线C:23yx的焦点， 过 F 且倾斜角为30 的直线交C 于 A, B 两点， O 为坐标原点，则OAB的面积为A. 3 34B. 9 38C. 6332D. 94【答案】D【解析】.49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2OABDnmSnmnmnnmmnBFmAFBA故选，解得直角三角形知识可得，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+?=+=+=?=+?=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页【2015 成都三诊】 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成. 现欲在隧道抛物线拱顶上安装信息采集装置. 假设位置C对隧道底AB的张角最大时， 采集效果最好， 则采集效果最好的为止C到AB的距离是A2 2 mB2 3 mC4 mD6 m答案：A解析：建立如下图直角坐标系，并过点C作AB的垂线，垂足为F， 易知抛物线的方程为24xy， 设( ,),C x yCFt， 则4,4AFx FBx，故2222224488888tan8161616( 4 )164(6)4 2441xxtttttACBxtxtyttttt当且仅当2 2t时，ACB取最大值，故选A.随堂练习：如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为, ()a b ab，原点O为AD的中点，抛物线22(0)ypx p经过,C F两点，则_.ba解析：(,)2aCa，(, )2aF bb，代入可求得12baCBA2m8m6m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页四、抛物线综合问题【 2015 三 诊 】 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ，A和B分 别 是 椭 圆22122:1(0)xyCabab和椭圆22222:1(0)xyCmnmn上的动点，已知1C的焦距为2，点T在直线AB上，且0OA OBAB OT，又当动点A在x上的射影为1C焦点时，点A恰在双曲线2221yx的渐近线上 . I求椭圆1C的标准方程II假设1C与2C共焦点，且1C的长轴与2C的短轴长度相等，求2|AB的取值范围III 假设,m n是常数，且221112mn，证明|OT为定值 .解析： I双曲线2221yx的渐近线方程为22yx，由题意知椭圆1C的半焦距11c，则221ab又点A的坐标为2(,)bca，且在渐近线上，故21ba解之得2,1ab椭圆1C的标准方程为2212xyII 1C与2C共焦点，且1C的长轴与2C的短轴长度相等则2na，213mn，即2C的方程为22132xy当直线OA的斜率存在且不为零时，设为k，则直线OA的解析式为ykx，直线OB的解析式为1yxk分别联立AB、所在的椭圆解析式可得：222221212ykxxxky221|112OAk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页22221632132yxkykxy223|332OBk22222244|4443(21)(23)84kABkkkk又22342 124 3kk，当且仅当232k时取等号 .24|42384 3AB24 |23AB当直线OA的斜率k为零或者不存在时，有2|4AB综上，2|AB的取值范围是23,4III 当直线OA的斜率存在且不为零时，设为k222222222|()OA OBOAOBOAOBOTABABOAOB所以222111|OTOAOB由 II可得222112|2(1)kOAk222222222222222211111|(1)11|(1)1kyxkmnyOBkkkOBkxymnmnmn22222222222222211111211111()1|2(1)(1)122kkkmnkOTOAOBkkkmmm2|1mOTm，当m是常数时，|OT为定值易知当直线OA的斜率不存在或者为零时，上述结论也成立.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页【2015 全国 I】在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y直线(0)ykxa a交与MN、两点 当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程； y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由。解析： 当0k时，直线ya，故MN、两点的坐标分别为( 2, ) (2, )a aa a、或者(2, ) ( 2, )a aa a、又2xy，所以曲线C在点(2, )a a的切线方程为0axya在点( 2, )a a的切线方程为0axya存在符合题意的点，证明如下设(0, )Pb为符合题意的点，1122(,)(,)M x yN xy、，直线PMPN、的斜率分别为12kk、则联立方程组24xyykxa可得2440 xkxa121244xxkx xa从而121212()ybybk abkkxxa当120kk，即ba时，有OPMOPN所以点(0,)Pa符合题意 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
