2022年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用综合检测新人教B版选修 .pdf

【课堂新坐标】 （教师用书）2013-2014 学年高中数学第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用综合检测新人教 B版选修 4-5 ( 时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1设xy0，则 (x24y2)(y21x2) 的最小值为 ( ) A 9 B9 C10 D0 【解析】x2(2y)2(1x)2y2 (x1x2yy)29. 【答案】B 2设x，y，m，n (0 ， ) ，且mxny 1，则xy的最小值是 ( ) AmnB4mnC(mn)2D.m2n22【解析】xy(xy)(mxny) (xmxyny)2(mn)2，当且仅当nx2my2，mxny1 时，等号成立，故xy的最小值为 (mn)2. 【答案】C 3(2013漳州模拟) 已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为( ) A0 ，455 B 165，165 C0 ，165 D 455，455 【解析】 4(a2b2c2d2) (1 11 1)(a2b2c2d2) (abcd)2，即 4(16 e2) (8e)2，644e264 16ee2，即 5e216e0，e(5e16)0. 故 0e165. 【答案】C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40 件、 50 件、 20 件，现在选择商店中为5 元、 3 元、 2 元的奖品，则至少要花钱数为( ) A300 元B360 元C320 元D340 元【解析】由排序原理，反序和最小最小值为502403205 320( 元). 【答案】C 5已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)(1a21b21c2) 最小值为 ( ) A7 B9 C12 D18 【解析】由(a2b2c2)(1a21b21c2) (a1ab1bc1c)2 9，所求最小值为9. 【答案】B 6设a，b，c均为小于0，且a2b2c23，则abbcca的最大值为 ( ) A0 B1 C3 D.333【解析】由排序不等式a2b2c2abbcac，所以abbcca3.【答案】C 7若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是 ( ) A21 B.121C16 D.116【解析】 1x2y4zx2y2z21416，x2y2z2121，即x2y2z2的最小值为121. 【答案】B 8函数f(x) 1cos 2x cos x，则f(x) 的最大值是 ( ) A.3 B.2 C1 D2 【解析】f(x) 2sin2xcos x. 又(2sin2x cos x)2(2 1)(sin2xcos 2x) 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页f(x) 的最大值为3. 【答案】A 9已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则2|PA| 3|PB| 的最大值是( ) A.6RB.13RC213RD413R【解析】由 2|PA| 3|PB| 2232PA2PB213AB2132R. 【答案】C 10已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1ax1bx2ab，y2ax2bx1ab，则y1y2与x1x2的大小关系是 ( ) Ay1y2x1x2D不确定【解析】要比较y1y2与x1x2的大小，就是要比较(ax1bx2)(ax2bx1) 与(ab)2x1x2的大小，而 (ax1bx2)(ax2bx1) (ax1)2(bx2)2 (ax2)2(bx1)2 (ax1x2bx1x2)2x1x2(ab)2. 而a，b，x1，x2互不相等，所以等号不成立【答案】C 11已知abc 1，且a，bR，则2ab2bc2ca的最小值为 ( ) A1 B3 C6 D9 【解析】abc1，2ab2bc2ca 2(abc) (1ab1bc1ca)(ab) (bc)(ca)(1ab1bc1ca) (1 11)29，当且仅当abc13时等号成立【答案】D 12设x1，x2，xn取不同的正整数，则mx112x222xnn2的最小值是( ) A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页B2 C112131nD11221321n2【解析】设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a21221321n2，所以x11x222x332xnn2a1a222a332ann21121223132n1n2112131n. 【答案】C 二、填空题 ( 本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13(2013湖北高考) 设x，y，zR ，且满足：x2y2z21，x2y3z14，则xyz_. 【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(12 2232) (x2y 3z)2，即 (x2y3z)214，因此x2y3z14. 因为x2y3z14，所以xy2z3，解得x1414，y147，z31414，于是xyz3147. 【答案】314714 已知a，b，x，y均为正数，且ab4，xy1， (axby) (bxay) 的最小值 _【解析】(axby)(bxay) (axbxbyay)22(xy)24. 【答案】4 15如图 1 所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和图 1 【解析】由题图可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1，根据顺序和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页反序和可知答案为.【答案】16已知x，y，z R，有下列不等式：(1)x2y2z232(xyz) ；(2)xy2xy；(3)|xy| |x2| |y2| ；(4)x2y2z2xyyzzx. 其中一定成立的不等式的序号是_【解析】x2y2z23(x21) (y2 1)(z21)2x2y2z，故 (1) 正确；xy2xy成立的前提是x0，y0，故 (2) 不正确；|xy| |(x2)(y2)| |x2| |y2| ，故 (3) 正确；由排序不等式知x2y2z2xyyzzx，故 (4) 正确【答案】(1)(3)(4) 三、解答题 ( 本大题共6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10 分) 求实数x，y的值，使得 (y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值【解】由柯西不等式，得(122212) (y1)2(3 xy)2(2xy6)2 1 (y1) 2(3xy) 1(2xy6)21，即(y1)2 (xy 3)2(2xy6)216，当且仅当y113xy22xy61，即x52，y56时，上式取等号故x52，y56时， (y1)2(xy3)2 (2xy6)2达到最小值18( 本小题满分12 分) 已知正数x，y，z满足xyz1. 求证x2y 2zy2z 2xz2x 2y13. 【解】因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z) (z2x) (x2y)(x2y2zy2z2xz2x2y) (xyz)2，又因为xyz1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页所以x2y 2zy2z2xz2z2yxyz2y2zz2xx2y13. 19(本小题满分12 分) 已知a，b，cR，用排序不等式证明2(a3b3c3) a2(bc) b2(ac) c2(ab)【证明】不妨设 0abc，则a2b2c2，由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，a2ab2bc2ca2cb2ac2b. 以上两式相加，得2(a3b3c3) a2(bc) b2(ac) c2(ab) 20(本小题满分12 分)P是ABC内一点，x，y，z是P到ABC的三边a，b，c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明xyz12Ra2b2c2. 【证明】由柯西不等式，得xyzax1aby1bcz1caxbycz 1a1b1c. 设S为ABC的面积，则axbycz2Sabc2R，xyz abc2R1a1b1cabc2Rabbccaabc12Rabbcca12Ra2b2c2，原不等式成立21(本小题满分12 分)(1) 已知：a，bR，ab4，证明：1a1b1；(2) 已知：a，b，cR，abc9，证明：1a1b1c1，并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明 ) 【证明】(1) 根据柯西不等式：(ab)(1a1b) (a1ab1b)24，ab4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页1a1b1.(2) 根据柯西不等式：(abc)(1a1b1c) (a1ab1bc1c)29，abc9，1a1b1c1.可以推广：若a1a2ann2，则1a11a21an1.22(本小题满分12 分) 设a1，a2，an为 1,2 ，n的一个排列，证明：1223n1na1a2a2a3an1an. 【证明】设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1. c1，c2，cn1为a1，a2，an 1的一个排列，且c1c21c21cn1. 由乱序和反序和得a1a2a2a3an1anb1c1b2c2bn1cn1. b11，b22，bn 1n1，c12，c23，cn1n，b1c1b2c2bn1cn11223n1n. 故1223n1na1a2a2a3an1an. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页