2022年高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结 .pdf
二面角的求法一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角SAM B 中半平面ABM 上的一已知点 B向棱 AM 作垂线，得垂足F ；在另一半平面ASM 内过该垂足 F作棱 AM 的垂线如GF ，这两条垂线BF、GF便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60I证明： M 在侧棱SC的中点II求二面角SAMB的大小。证 I略解II ：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GFAM，GF 交 AS 于 G，连结 AC ， ADC ADS ， AS-AC ，且 M是 SC的中点，AM SC， GF AM ， GF AS ，又F为 AM 的中点，GF是 AMS的中位线，点G是 AS的中点。则GFB即为所求二面角. 2SM，则22GF，又6ACSA，2AM，2ABAM，060ABMABM是等边三角形，3BF。在GAB中，26AG，2AB，090GAB，211423BG366232222113212cos222FBGFBGFBGFBFG二面角SAMB的大小为)36arccos(F G F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页练习 1 如图， 已知四棱锥P-ABCD ，底面 ABCD 为菱形， P A平面 ABCD，60ABC,E，F 分别是 BC, PC 的中点 . 证明：AEPD; 假设H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角EAF C 的余弦值 . 分析 ：第 1 题容易发现，可通过证AEAD后推出 AE 平面 APD ，使命题获证，而第2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边 SE与 SC，进而计算二面角的余弦值。答案：二面角的余弦值为515二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如例2过二面角B-FC1-C 中半平面BFC 上的一已知点 B 作另一半平面FC1C 的垂线，得垂足O；再过该垂足O 作棱 FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图斜线PB、垂线 BO、射影 OP 。再解直角三角形求二面角的度数。例 2 如图， 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD ， AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱AD 、AA1、AB 的中点。（1）证明：直线EE1/平面 FCC1；（2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值。证 1略解 2因为AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱AB的中点 ,所以BF=BC=CF, BCF 为正三角形 ,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面 ABCD, 所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F内作 OPC1F,垂足为P, 连接 BP,则 OPB 为二面角B-FC1-C 的一个平面角, 在 BCF为正三角形中,3OB,在 RtCC1F 中 , OPF CC1F,11OPOFCCC F22122222OP,EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页在Rt OPF中 ,22114322BPOPOB,272cos7142OPOPBBP, 所 以 二 面 角B-FC1-C 的余弦值为77. 练习 2 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形已知60,22,2,2, 3PABPDPAADAB证明AD平面PAB；求异面直线PC与AD所成的角的大小；求二面角ABDP的大小分析 ：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD 平面PAB后，容易发现平面PAB 平面 ABCD ，点 P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P作棱 BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。答案：二面角ABDP的大小为439arctan三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线称为补棱，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3 如下图，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形，BCD 60， E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD，PA2. 证明：平面PBE平面 PAB; 求平面P AD 和平面 PBE 所成二面角锐角的大小. 分析：此题的平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整 延长 AD、BE 相交于点F，连结 PF.再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。证略解: 延长AD、BE 相交于点F，连结 PF. 过点 A 作 AHPB 于 H，由知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE. 在 RtABF 中，因为 BAF 60，所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，A B C E D P F G H A B C E D P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页PFHG.所以 AGH 是平面 P AD 和平面 PBE 所成二面角的平面角锐角. 在等腰 RtPAF 中，22.2AGPA在 RtPAB 中，2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPAB所以，在 Rt AHG 中，2 5105sin.52AHAGHAG故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角锐角的大小是10arcsin.5练习 3 已知斜三棱柱ABC A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成 600的角，侧面BCC1B1底面 ABC 。1求证： AC1BC；2求平面AB1C1与平面ABC 所成的二面角锐角的大小。提示：此题需要补棱，可过A 点作 CB 的平行线L 答案：所成的二面角为45O四、射影面积法cossS射影凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 cos斜射SS求出二面角的大小。例 4如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC求证：PCAB；求二面角BAPC的大小；分析：此题要求二面角BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与 S射于是得到下面解法。解： 证略ACBC，APBP，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACB，即ACBC，且ACPCC，A C B E P A C B P A C B B1C1A1L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAP ACE是 ABE在平面 ACP 内的射影，于是可求得：2222CBACAPBPAB，622AEABBE，2ECAE则1222121?CEAESSACE射，3622121? EBAESSABE原设二面角BAPC的大小为，则3331cos原射SS二面角BAPC的大小为33arccos练习 4： 如图 5，E 为正方体ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值 .分析平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E 在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。答案：所求二面角的余弦值为cos=32. 五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4：如图，在五面体ABCDEF中， FA 平面ABCD, AD/BC/FE ，ABAD ，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I) 求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面 CDE ；求二面角 A-CD-E 的余弦值。现在我们用向量法解答：如下图，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设，1AB依题意得， 001B，011C， 020D，110E，100FA1 D1 B1 C1 E D B C A 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页.21121M，I，解：101BF，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos?，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060. II 证明：，由21121AM，101CE0AMCE020AD?，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，?.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而III ?.0D0)(CDEEuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面.111 (1.00），可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v练习 5、如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面ABC侧面11A ABB. 求证：ABBC；假设直线AC与平面1A BC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. 分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1平面 BC C1 B1平面 ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。答案：22arcsincaa，且2222,acab acac总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
