2022年四边形知识点与经典例题 .pdf
学习好资料欢迎下载第十九章四边形一、基础知识（一）四边形由一般到特殊的演变示意图（二）特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有 一 个 角 是 直角 的 平 行 四 边形是矩形。有 一 组 邻 边相 等 的 平 行四 边 形 是 菱形。有 一 组 邻 边 相等 且 有 一 个 角是 直 角 的 平 行四边形。两 腰 相 等的 梯 形 是等腰梯形。性质1 对边平行且相等。2 对角相等， 邻角互补。3 对角线互相平分1四个角都是直角。2 对角线相等。1 四条边都相等。2 两条对角线互相垂直， 并且 每 一 条 对角 线 平 分 一组对角。具 有 平 行 四 边形、矩形、 菱形的所有特征。1 两腰相等两底平行2 同一底上的 两 角 相等3 两条对角线相等判定1 定义：2 判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1 定义：2 判定定理：（1）对角线相等 的 平 行 四 边形是矩形。（2）有三个角是 直 角 的 四 边形是矩形。1 定义：2 判定定理：（ 1）一组邻边 相 等 的 平行 四 边 形 是菱形。（ 2）对角线互 相 垂 直 的四 边 形 是 菱形。(1) 先证明是矩形 再 证 明 一 组邻边相等。（ 2）先证明是菱 形 再 证 一 个角是直角。1 定义：先判 断 是 梯形 在 证 明两腰相等。2 同一底上的 两 个 角相 等 的 梯形 是 等 腰梯形。3 对角线相等 的 梯 形是 等 腰 梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载（三） 1三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2 由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。二、例题例 1：已知：如图，菱形ABCD 中 B=60； E,F 在边 BC,CD上，且 EAF=60 ；求证： AE=AF. 同类练习：如图，已知菱形ABCD 中， B=EAF=60 ， BAE=20 ，求 CEF. 例 2：如图，在ABCD的纸片中，ACAB，AC与BD交于O，将ABC沿对角线AC翻折得到ABC. （1）求证：以A、C 、D 、B为顶点的四边形是矩形；（2）若212ABCDScm， 求翻折后纸片重叠部分的面积，即ACES. 例4、已知：分别以ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DEDF、。（1）试说明四边形DEAF为平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形、矩形、正方形；EDFABCFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载同类练习：ABC中，3,4,5ABACBC，ABDACEBFC、都是等边三角形。求四边形ADFE的面积。DFEABC三、适时训练（一）精心选一选1. 下列命题正确的是（）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD 的周长 32, 5AB=3BC, 则AC的取值范围为 ( ) A. 6AC10 ； B. 6AC16； C. 10AC16； D. 4AC16 3. 两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（ A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4延长平形四边形ABCD 的一边 AB到 E，使 BE BD ，连结 DE交 BC于 F，若 DAB 120，CFE 135， AB1，则 AC 的长为（）（A）1 （B） 1.2 （C）3 2（D）1.5 5若菱形 ABCD 中， AE 垂直平分 BC 于E，AE 1cm ，则 BD 的长是（）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm 6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线 ( ) （A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如图，等腰ABC中， D是 BC边上的一点， DE AC ，DFAB ，AB=5 那么四边形AFDE的周长是（）（A）5 （ B ）10 （ C）15 （D）20 8. 如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 D落在 BC 边中点 E处，点A落在点 F处，折痕为 MN ，则线段 CN 的长是（）（A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 9. 如图，在直角梯形ABCD中， AD BC ， B=90， AC将梯形分成两个三角形，其中ACD是周长为 18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是 ( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载A B C D E F O 图 8 R P D C B A E F 第 12题图(A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 10. 如图，在周长为20cm 的 ABCD 中， AB AD ，AC 、BD 相交于点 O ，OE BD 交AD 于 E，则 ABE 的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11. 如图 2，四边形ABCD为矩形纸片 把纸片ABCD折叠， 使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于（）（A）34（B）33（C）24（D）12. 如图，已知四边形ABCD 中， R、 P分别是 BC 、CD 上的点， E、F分别是AP 、 RP 的中点，当点 P在CD 上从 C向 D移动而点 R不动时，那么下列结论成立的是（ ) A、线段 EF 的长逐渐增大 B、线段 EF的长逐渐减小C、线段 EF 的长不变 D、线段 EF的长与点 P 13. 在梯形 ABCD中， AD/BC，对角线 ACBD ，且cmAC5，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（）A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm 14. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽， 花木葱茏 某广场上一个形状是平行四边形的花坛 （如图），分别种有红、 黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花 如果有ABEFDC，BCGHAD，那么下列说法中错误的是（）A红花、绿花种植面积一定相等B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等D蓝花、黄花种植面积一定相等15. 如图 , 在一个 33方格纸上 , 若以格点 ( 即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该33方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个. A.13 B.14 C.18 D.20 （二）细心填一填1. 如果四边形四个内角之比1：2： 3：4，则这四边形为形。2. 若正方形的对角线长为2错误 ! 未找到引用源。cm，则正方形的面积为。3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4. 已知：平行四边形ABCD 的周长是 30cm，对角线 AC ，BD 相交于点 O， AOB 的周长比 BOC 的周长长 5cm ，则这个平行四边形的各边长为。5. 已知：平行四边形ABCD中， AEBC交 CB的延长线于点E，AF CD交 CD的延长线于点F，AB BC CD DA 32cm，BC 35 AB，EAF 2C，则 BE长为，则C . 6. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A( 2，5) ，B( 3，1)，C(1，1) ，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点 D的坐标是ABCDOEA B C D E F 图2 黄蓝紫橙红绿A G E D H C F B 第 14 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载ABCDEFO第 10 题图D A B C P M N （1）（2）图 10 7. 已知：如图 8，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和BD 相交于点 O，E、F分别是边 AB 、BC 上的点，若AE 4cm ，DF3cm，且 OE OF ，则 EF的长为。8 如图 10(1) 是一个等腰梯形，由6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2) 所示的一个菱形对于图10(1) 中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：9如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，EF，分别是ABCD，的中点，18ADBCPEF，则PFE的度数是10如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6 和 8，点P是对角线AC上的一个动点，点M 、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 _11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形， 四边形ABCD还应满足的一个条件是。12. 已知矩形 ABCD ，分别为 AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形 CDF ，连接 BE 和BF，则BFBE的值等于。13. 如图所示， O为矩形 ABCD 的对角线交点，DF 平分 ADC 交AC 于E，BC于F， BDF=15 ，则 COF=_ 14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，23ABBC，则图中阴影部分的面积为15、如图，矩形1111的面积为，顺次连结各边中点得到四边形2222 B，再顺次连结四边形2222 B四边中点得到四边形3333，依此类推，求四边形nnnn的面积是。（三）认真答一答1. 如图，在四边形ABCD 中， A=60, B=D=90,BC=2,CD=3, 求 AB的长。C F D B E A P （第 9 题）OFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载2. 如图， 在等腰梯形ABCD 中，AD BC,AB=CD=2, BAD=120 , 对角线 AC平分 BCD ，求等腰梯形 ABCD 的周长。3. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠， 使点 C与 A重合，点 D落到 D 处，折痕为 EF（1）求证： ABE AD F；（2）连接 CF，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论4已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD相交于点 E，ADB=60 ， BD=10 ，BE ED=4 1，求梯形 ABCD 的腰长 . 5. 如图，菱形ABCD ，E，F 分别是 BC ，CD上的点， B EAF 60，BAE 18求 CEF的度数。6. 已知： 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明A B C D M N E (第 6 题) A B C D E F DEDCBAFDCBAE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载7. 如图， 四边形 ABCD 中，一组对边AB=DC=4 ，另一组对边AD BC ，对角线 BD与边 DC互相垂直， M 、N、H分别是 AD 、BC 、BD的中点，且ABD=30 求： （1）MH的长（ 2）MN的长。8如图，在矩形 ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，点A处有一动点 E 以1cms的速度由点 A向点 B运动，同时点 C处也有一动点 F以2cm s的速度由点 C向点 D运动，设运动的时间为x （s） ， 四边形 EBFD的面积为 y（ cm2） ，求 y与 x的函数关系式及自变量x的取值范围。9. 如图在直角梯形ABCD中, AD BC, B=90AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm, 动点 P 从 A开始沿 AD边向 D以 1cm/s 的速度运动 , 动点 Q从 C开始沿 CB向 B以 3cm/s 的速度运动 ,P,Q分别从点A,C 同时出发 , 当其中一点到达端点时, 另一点也随之停止运动, 设运动的时间t,t分别为何值时, 四边形 PQCD 为平行四边形, 等腰梯形 ? A B Q C D P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
