2022年高中数学新课标基础知识常见结论详解 .pdf

第 1 页 共 38 页高中数学新课标基础知识常见结论详解整理宿城一中王占魁一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念1集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合 元素的 互异性：如：)lg(,xyxyxA，|,| ,0yxB，求A；2集合与元素的关系用符号，表示。3 常用数集的符号表示： 自然数集； 正整数集； 整数集； 有理数集、 实数集。4集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注 意 ： 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 ： 如 ： 12|2xxyxA； 12|2xxyyB；12|),(2xxyyxC；12|2xxxxD；, 12|),(2ZyZxxxyyxE； 12|) ,(2xxyyxF；, 12|2xyzxxyzG5空集是指不含任何元素的集合。0、和的区别； 0 与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。如：012|2xaxxA，如果RA，求a的取值。二、集合间的关系及其运算1符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的表达点与直线面的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达面与直线 ( 面) 的关系。2_BA；_BA；_ACU3对于任意集合BA,，则：ABBA_；ABBA_；BABA_；ABA；ABA；UBACU；BACU；BCACUU；)(BACU；三、集合中元素的个数的计算：1假设集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是。2BA U中元素的个数的计算公式为：)(BACardU；3运用韦恩图 . 四、xxA|满足条件p，xxB|满足条件q，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页第 2 页 共 38 页假设且 ,则p是q的充分非必要条件BA_；假设且 ,则p是q的必要非充分条件BA_；假设且 ,则p是q的充要条件BA _；假设且 ,则p是q的既非充分又非必要条件_；五、德摩根公式：)()()();()()(BCACBACBCACBACIIIIII六、数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决二、函数一、映射与函数：1映射的概念：第一个集合中的元素必须有象且不能有剩余，第二个集合中元素可以有剩余；形式：一对一，或多对一。2一一映射：一对一3函数的概念：数集到数集的映射。4映射的个数，如：假设4,3, 2,1A，,cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有个，假设 3 ,2, 1A，则A到B的一一映射有个。函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。二、函数的三要素：_，_， _。相同函数的判断方法：_； _(两点必须同时具备) 1函数解析式的求法：定义法拼凑 ：换元法：待定系数法：赋值法：2函数定义域的求法：原则：函数表达式有意义或使实际问题有意义。)()(xgxfy，则_；)()(*2Nnxfyn则_；0)(xfy，则 _；如：)(log)(xgyxf，则 _；含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(xfy的定义域是 1 , 0，求)()()(axfaxfx的定义域。对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则)(rfS_；定义域为 _。3函数值域的求法：分析观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；逆求法 反求法 , 别离常数法：通过反解， 用y来表示x，再由x的取值范围， 通过解不等式， 得出y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页第 3 页 共 38 页的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy；换元法：i 代数换元对形如(0)yaxbcxd a的函数常设dcxt来求值域；ii 三角换元法对形如2(0)yaxbcxa的函数常用 “三角换元”， 如令cosxc来求值域。注意 :(i)新元的取值范围，(ii)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。判别式法：对形如222111122222(0)a xb xcyaaa xb xc的函数常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即0从而求得 y 的范围，即值域。注意：定义域为R，要对方程的二次项系数进行讨论基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；注意“一正、二定、三等”利用函数有界性：转化为含正弦、余弦等的函数，运用函数有界性来求值域xa、xsin、xcos等 ；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合或几何意义：根据函数的几何图形，利用数形结合斜率、距离、绝对值的意义等的方法来求值域。导数法求以下函数的值域：)1 , 1, 0, 0(xbababxabxay2 种方法；)0,(,32xxxxy2 种方法；)0,(,132xxxxy2 种方法；三、复合函数的有关问题1复合函数定义域求法：假设 f(x) 的定义域为 a，b,则复合函数fg(x) 的定义域由不等式ag(x)b 解出假设 fg(x) 的定义域为 a,b,求 f(x) 的定义域，相当于xa,b 时，求 g(x) 的值域。2复合函数单调性的判定：首先将原函数)(xgfy分解为基本函数： 内函数)(xgu与外函数)(ufy；分别研究内、 外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增， 异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数)(ufy的定义域是内函数)(xgu的值域。四、分段函数：值域最值、单调性、图象等问题。解决分段函数问题的原则：先分段解决，再下结论。五、函数的性质：一函数的单调性单调性的定义：)(xf在区间M上是增减函数,21Mxx当21xx时，)0(0)()(21xfxf)0(0)()()(2121xfxfxx) 0( 0)()(2121xxxfxf；单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页第 4 页 共 38 页判断符号；导数法见导数部分；复合函数法见上三 ；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。二函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件前提；)(xf是奇函数1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxf；)(xf是偶函数1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxf；奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；6假设所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；三函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，假设有)()(xfTxf其中T为非零常数，则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。2三角函数的周期2:sinTxy；2:cosTxy；Txy:tan；|2:)cos(),sin(TxAyxAy；|:tanTxy；3函数周期的判定：定义法试值图像法公式法利用2中结论与周期有关的结论：)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2； )(xfy的图象关于点)0 ,(),0,(ba中心对称)(xf周期 2ba； )(xfy的图象关于直线bxax,轴对称)(xf周期为 2ba；)(xfy的图象关于点)0 ,(a中心对称，直线bx轴对称)(xf周期 4ba；应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。(四)、函数图像变换(1) 平移变换：)()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“ - ” ；)0( ,)()(kkxfyxfy上“ +”下“ - ” ；注意： 1有系数，要先提取系数。如：把函数( )经过 _平移得到函数( )的图象。2会结合向量的平移，理解按照向量a，平移的意义。(2) 伸缩变换：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页第 5 页 共 38 页)()(xfyxfy， )0纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1倍；)()(xAfyxfy， )0A横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；(3) 对称变换：)(xfy)0,0()(xfy；)(xfy0y)(xfy；)(xfy0 x)(xfy； )(xfyxy)(1xfy；(4) 翻转变换：|)(|)(xfyxfy右不动， 右向左翻)(xf在y左侧图象去掉 ；|)(|)(xfyxfy上不动， 下向上翻|)(xf|在x下面无图象；如：)(xfy的图象如图，作出以下函数图象：1)( xfy； 2)(xfy； 3|)(| xfy； 4|)(|xfy； 5)2( xfy；6)1(xfy； 71)(xfy； 8)(xfy； 9)(1xfy。六、反函数：1定义：2函数存在反函数的条件：_；3互为反函数的定义域与值域的关系：_；4求反函数的步骤：将)(xfy看成关于x的方程，解出)(1yfx，假设有两解，要注意解的选择；将yx,互换，得)(1xfy；写出反函数的定义域即)(xfy的值域。5互为反函数的图象间的关系：_；6原函数与反函数具有相同的单调性；7原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。七、函数零点的求法：直接法求0)(xf的根 ；图象法；二分法.八、几种常用的函数：一一元一次函数：)0(kbkxy，当0k时，是增函数；当0k时，是减函数；二一元二次函数：一般式：)0(2acbxaxy；对称轴方程是 _；顶点为_；两点式：)(21xxxxay；对称轴方程是_；与x轴的交点为 _；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是 _；顶点为 _；x O y y=f(x) (2,0) (0,-1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页第 6 页 共 38 页1一元二次函数的单调性：当0a时：_为增函数； _为减函数； 当0a时：_为增函数； _为减函数；2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为hkxay2)(的形式，、假设顶点的横坐标在给定的区间上，则0a时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、假设顶点的横坐标不在给定的区间上，则0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：顶点固定，区间也固定。如： 1 , 1, 12xxxy顶点含参数 (即顶点变动 )，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 1, 12aaxxxy3二次方程实数根的分布问题：转化为二次函数cbxaxxf2)(的图像与 x 轴的交点分布。注意： 假设在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，在令nx和mx检查端点的情况。三反比例函数：)0(xxaybxcay四幂函数1幂函数的定义：一般地， 1函数kxyk(为常数，kQ)叫做幂函数。2函数pqxyp、q为互质的整数叫做幂函数2幂函数pqkxxy的性质：图象都经过点)1 , 1(奇偶性：q(分子 )为偶数，偶函数；p(分母 )为偶数，非奇非偶函数；p、q均为奇数，奇函数。单调性：0k时，在),0上递增； k1 时函数在第一象限内的图像向下凸； 0 k o,a 1)定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数， 函数的定义域为),0(， 函数的值域为R，y o xo xy o xy xy xy o xy o xy o xy o o y xoy0a11y ax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页第 8 页 共 38 页当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数，4对数函数的图象对数函数的图象都经过点0，1 ，且图象都在第一、四象限，对数函数都以y轴为渐近线当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴 . 对于相同的)1,0(aaa且，函数xyalog与xya1log的图象关于x轴对称 . 注意：1对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数 . 图象关于 y=x对称2比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，假设底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1 比较或与 0 比较。3在解题中，往往要对a 分 a1 和 0a1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。4 注意比较下面两题的区别：已知函数)2(log)(221kxxxf的定义域为R， 求k的取值范围。已知函数)2(log)(221kxxxf的值域为R，求k的取值范围。九、)0(kxkxy的图象：定义域：；值域：；奇偶性：；单调性：是增函数；是减函数。十、函数图象曲线对称性的证明(1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在图像上；2证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性， 即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心对称轴的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然；注：曲线C1:f(x,y)=0 关于点 a,b的对称曲线C2方程为： f(2ax,2by)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线C2方程为： f(2ax, y)=0; 曲线 C1： f(x,y)=0, 关于 y=x+a(或 y=x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(y a,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(b x) xRy=f(x) 图像关于直线x=2ba对称；特别地： f(a+x)=f(a x) xRy=f(x) 图像关于直线x=a 对称；函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=2ba对称；十一、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：)()()(2121xfxfxxf正比例函数)0()(kkxxfo0a11y=logaxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页第 9 页 共 38 页)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf指数函数xay；)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf对数函数xyalog；三、导数1、导数定义： f(x)在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(000002、导数的几何物理意义：kf/(x0) 表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0) 的切线的斜率。Vs/(t) 表示即时速度。 a=v/(t) 表示加速度。3 、 常 见 函 数 的 导 数 公 式 : C01)(nnnxxxxcos)(sinxxee)(xxsin)(cos； aaaxxln)(；axxaln1)(log；xx1)(ln。4、导数的四则运算法则：;)(;)(vuvuuvvuvu(k ?f(x)/= k ? f/(x) ;)(2vvuvuvu理科复合函数的导数：;xuxuyy5、导数的应用：1利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？2导数与函数的单调性的关系0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。假设将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。 当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数， 函数不具有单调性。 0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，防止精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页第 10 页 共 38 页讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程: 已知)(xfyi 分析)(xfy的定义域 ; ii 求导数)(xfyiii 解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间iv 解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间。3求极值、求最值。注意：极值最值。函数f(x) 在区间 a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b) 中最小的一个。 f/(x0) 0 不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当 x=x0时，函数有极值 f/(x0) 0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。四、 理科定积分1、定积分的定义：)(lim)(1inibanfnabdxxf2、定积分的性质：babadxxfkdxxkf)()(k常数 ；bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121；bcbacadxxfdxxfdxxf)()()(其中)bca。3、微积分基本定理牛顿莱布尼兹公式：babaaFbFxFdxxf)()(|)()(4、积分的应用：求曲边梯形的面积：dxxgxfSba|)()(|； 求立体图形的体积求变速直线运动的路程：badttvS)(；求变力做功：badxxFW)(。五、数列一、定义：等差数列*),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn为常数）BnAnsbknann2；等比数列N)n2,(n)0(1n1-n2n1nnaaaqqaaan)0k, 1q,0q(kqkSn0,(n的常数）均为不为qccqann；二、等差、等比数列的基本公式和性质1、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 推广 an=ak+(n-k)d 2、等差数列的前n 项和公式： Sn=dnnna2)1(1Sn=2)(1naanSn=dnnnan2)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页第 11 页 共 38 页当 d0 时， Sn是关于 n 的二次式且常数项为0；当 d=0 时 a10 ，Sn=na1是关于 n 的正比例式。3、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1an= ak qn-k (其中 a1为首项、 ak为已知的第k 项， an0) 12、4、等比数列的前n 项和公式：当q=1 时， Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式 )；当 q1时， Sn=qqan1)1(1Sn=qqaan115、一般数列的通项an与前 n 项和 Sn的关系： an=)2() 1(11nSSnSnn6、等差数列 an的任意连续m 项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。7、等差数列 an中，假设m+n=p+q，则qpnmaaaa8、等比数列 an中，假设m+n=p+q，则qpnmaaaa?9、等比数列 an的任意连续m 项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。10、两个等差数列an 与bn 的和差的数列 an+bn、an-bn仍为等差数列。11、两个等比数列 an 与bn 的积、商、倒数组成的数列an?bn 、nnba、nb1仍为等比数列。12、等差数列 an 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。13、等比数列 an 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。14、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 15、an 为等差数列，则nac(c0)是等比数列。16、bn bn0是等比数列，则logcbn (c0 且 c1) 是等差数列。17、在等差数列na中：项数为2n 时： S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；ndS奇偶S；1nnaaS偶奇S；项数为 2n-1 时： S2n-1=(2n-1)中a；中偶奇aSS-；1-nnS偶奇S；18、假设0)(,nmmnanmnama，则；假设)(,nmSnSmSnmmn则；假设0)( ,nmmnSnmSS，则。19、 在等比数列na中：（1）假设项数为n2，则qSS奇偶2假设数为12n则，qSaS偶奇1三、数列通项的求法：分析法；定义法利用等差或等比数列的定义；公式法：)2()1(11nSSnSannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页第 12 页 共 38 页累加法nnncaa1 ；叠乘法nnncaa1型 ； 6构造法bkaann 1型 ；迭代法；间接法例如：4114111nnnnnnaaaaaa ；作商法nncaaa21型 ；待定系数法； 11 理科数学归纳法。注：当遇到qaadaannnn1111或时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 3、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和：如an=nnC100五、求数列 an 的最大、最小项的方法：an+1-an=000如 an= -2n2+29n-3 1111nnaa (an0) 如 an=nnn10)1(9 an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如 an=1562nn六、三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制1角度制：周角的3601叫做 1 度角，用角度作单位来度量角的制度叫做角度制。2弧度制： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角， 用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制3在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为rad 则|=rl。4角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180(18575弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。2三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP |则：,cos,sinrxryxytan3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆归纳： 1公式中的角可以是任意角，记忆时看成是锐角2诱导公式可以归纳为：k2 kZ的三角函数值，当k 为偶数时，得的同名函数值；当 k 为奇数时， 得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成是锐角时原函数值的符号，概括为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页第 13 页 共 38 页“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的奇偶。如： tan(2)=cot, cos(2)=sin, sin( )=sin5同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin; 1cossin22；6两角和与差的正弦、余弦、正切公式：;sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(asinx+bcosx=)sin(22xba其中 sin=22bab， cos=22baa。7二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan。8半角公式： tan2=cos1sin=sincos19三角函数的图像和性质1 “五点法”做)0,0)(sin(AxAy的简图五点的取法：设X=x，由 X取 0，2， ，23， ，求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。2 图象变换：函数) 0, 0)(sin(AxAy的图象可由函数y=sinx的图象做如下变换得到：相位变换： y=sinx y=sin(x+) ， 把 y=sinx 图象上所有的点向左(0) 或者向右 (1)_(0A1) 到原来的 _倍横坐标不变3 当函数),(0,0)(sin(，xAxAy表示一个振动量时，则A叫做振幅，2T叫做周期，Tf1叫做频率，x叫做相位，叫做初相。函数)cos( xAy的周期为2T函数)tan(xAy的周期为T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页第 14 页 共 38 页4 正弦曲线y=sinx的对称轴为 _，对称中心为 _; 余弦曲线 y=cosx 的对称轴为 _，对称中心为 _; 函数 y=tanx 的图象的对称中心为-)(0 ,2(Zkk)sin(xAy对称轴：2kx；对称中心：)(0 ,(Zkk；)cos( xAy对称轴：kx；对称中心：)(0,2(Zkk；10正、余弦定理1正弦定理RCcBbAa2sinsinsinR2是ABC外接圆直径常见变形：CBAcbasin:sin:sin:； CRcBRbARasin2,sin2,sin2；CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。2余弦定理：Abccbacos2222等三个；注：bcacbA2cos222等三个。11几个公式：1三角形面积公式：)(21( , )()(sin2121cbapcpbpappCabahSABC；2内切圆半径r=cbaSABC2；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa11 解斜三角形(1) 两角和任意一边，求其它两边和一角；(2) 两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。见图示已知a, b 和 A, 用正弦定理求B 时的各种情况 : 假设 A 为锐角时 : )(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAab bb，bc ac 3加法法则： aba+cb+c 推论 1 移项法则： a+bcacb 推论 2 同向可加性： ab,cda+cb+d 4乘法法则： ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd 推论 2 乘方法则：)1,(00nNnbabann推论 3 开方法则：0ba)(Nnbann5倒数法则： ab0,abba11注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题; 中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“ 1”比，然后再比较它们的大小。二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数:假设0,ba，则abba2当且仅当ba时取等号注意：一正二定三相等； 基本变形22222ababababab(当且仅当 ab 时取 “=”号).基本应用：放缩，变形；求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数)21(4294xxxy的最小值；假设正数yx,满足12yx，则yx11的最小值。三、绝对值不等式：|bababa注意：上述等号“”成立的条件；四、证明不等式常用方法：1比较法：作差比较：BABA0作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数或式作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和。判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：假设两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。2综合法：由因导果。3分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页第 16 页 共 38 页4反证法：正难则反。5放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：aa12；nnn) 1(将分子或分母放大或缩小利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；利用常用结论：、kkkkk21111；、kkkkk111)1(112；111)1(112kkkkk程度大、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk； 程度小6换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知222ayx，可设sin,cosayax；已知122yx，可设sin,cosryrx(10r) ；已知12222byax，可设sin,cosbyax；已知12222byax，可设tan,secbyax；7构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；五、不等式的解法：1一元一次不等式：、)0(abax：假设0a，则；假设0a，则；、)0(abax：假设0a，则；假设0a，则；2一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：3绝对值不等式：假设0a，则axf|)(|；axf|)(|；注意：解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：(1) 对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页第 17 页 共 38 页含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。4分式不等式的解法：通解变形为整式不等式：)()(xgxf0f(x) g(x)0 ，)()(xgxf00)(0)()(xgxgxf；数轴标根法 , 步骤 : 移项通分分子分母最高次项的系数都化为正分子分母分别因式分解002121或nmbxbxbxaxaxax数轴标根写出解集5不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。6解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论. 如果遇到下述情况则一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. 在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. 在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况有时要分析 ，比较两个根的大小, 设根为21, xx要分21xx、21xx、21xx讨论。八、平面向量1基本概念：1 向量是既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示，2向量AB的长度叫做向量的模，记作AB,3长度为零的向量叫做零向量，记作0,零向量的方向任意4长度等于1的向量叫做单位向量; 5方向相同或相反的向量叫共线向量,也叫平行向量 , 6长度相等，方向相同的向量叫相等向量。2加法与减法的运算：(1) 向量的加法是由几何作图定义得，向量ab可由平行四边形法则或三角形法则法则作得。nnnAAAAAAAA113221(2) 向量的减法的几何表示：可由平行四边形法则或三角形法则法则作得以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=ba,DB=ab且有ababa+b3加法与减法的代数运算假设 a=11, yx, b=22,yx则 ab=2121,yyxx4向量加法有如下规律：ab=ba( 交换律 ); a+(b+c)=(a+ b)+c 结合律 ; a+0=aa( a)=03实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页第 18 页 共 38 页(1) a=a;(2) 当0 时，a与a的方向相同；当0 时，a与a的方向相反；当=0 时，a=0(3) 假设a=11,yx ，则a=11, yx 4两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a(其中0a)(2) 假设a=11,yx,b=22, yx则ab01221yxyx5. 平面向量基本定理：(1) 假设1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a=11e +22e。不共线向量1e，1e叫做表示这平面内所有向量的一组基底。(2)、 向量的正交分解： 如果基底的两个基向量1e和2e互相垂直 ,则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫向量的正交分解。3、向量的直角坐标：),(21aaa，1a叫向量a在 x 轴上的坐标分量, 2a叫a在 y 轴上的坐标分量 . 6P 分有向线段21PP所成的比：(1) 设 P1、 P2是直线l上两个点，点 P是l上不同于 P1、 P2的任意一点，则存在一个实数使PP1=2PP，叫做点 P分有向线段21PP所成的比。当点 P在线段21PP上时，0；当点 P在线段21PP或12PP的延长线上时，0；(2)分点坐标公式：假设PP1=2PP；21,PPP的坐标分别为11,yx, yx ,22,yx ；则112121xxxyyy 1 ， 中点坐标公式：222121xxxyyy7. 向量的数量积：1 向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b, 则 AOB= =001800叫做向量a与b的夹角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页第 19 页 共 38 页2 两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=a bcos其中 bcos称为向量 b 在a方向上的投影3 向量的数量积的运算律交换律abba数乘结合律)()()(bababa分配律cabacba)(注意：积不适合乘法结合律，即abc与abc未必相等。数量积的消去律不成立，即ac=bc，不一定得到a=b(4)向量的数量积的性质：假设a=11, yx,b=22, yx则ea=ae=acos (e 为单位向量 );abab=002121yyxxa，b 为非零向量 ; a=2121yxaa?; cos=baba?=222221212121yxyxyyxx九、直线与圆1直线的倾斜角：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角。规定：与轴平行或重合的直线倾斜角为0o，倾斜角的范围：0o，180o 2斜率：假设倾角为， 90直线 l 经过两个不同点P1( 1, 1) P2(2, 2), 则直线 l 的斜率k=tan =1212xxyy3 直线方程点斜式：)(xxkyy； 斜截式：bkxy； 截距式：1byax；注意：截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形两点式：121121xxxxyyyy；一般式：0CByAx， A，B 不全为 0 。 直线的方向向量： ), AB，法向量 ),BA4求解线性规划问题的步骤是：1列约束条件； 2作可行域，写目标函数； 3平移直线确定目标函数的最优解