2022年高中数学解三角形应用举例 .pdf

解三角形应用举例一选择题共19 小题1 2014?海南模拟如图，已知A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m ，ACB=45 ， CAB=105 ，则 A、 B 两点的距离为Am Bm Cm Dm 2 2014?海淀区二模如下图，为了测量某湖泊两侧A、B 间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：ABC 的角 A、B、C 所对的边分别记为a、b、c ： 测量 A、C、b； 测量 a、b、 C； 测量 A、 B、a；则一定能确定A、B 间距离的所有方案的序号为A B C D 3 2014?重庆一模在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在 Q 点，且 POQ=90 ，再过两分钟后，该物体位于R 点，且 QOR=30 ，则 tan OPQ 的值为ABCD4 2014?成都三模在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B 两个观测点，在A 处测得该塔底部C 在西偏北的方向上，在B处测得塔底C 在西偏北的方向上，并测得塔顶D 的仰角为 ， 已知 AB=a ， 0 ， 则此塔高CD 为 AtanBtanCtanDtan5 2014?浙江模拟如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离单位：百米，已测得隧道两端点A，B 到某一点 C 的距离分别为5 和 8，ACB=60 ，则 A，B 之间的距离为A7B10C6D86 2014?房山区一模 如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃 阴影部分，则其边长x单位： cm的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页A10，30B25，32C20， 35D20，407 2014?濮阳一模如下图，当甲船位于A 处时得悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30 相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 +30 角的方向沿直线前往B 处营救，则sin的值为ABCD8 2014?成都三模 某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B 两个观测点， 在 A 处测得该水塔顶端D 的仰角为 ， 在 B 处测得该水塔顶端D 的仰角为 ， 已知 AB=a ， 0 ，则水塔 CD 的高度为ABCD9 2014?怀化一模在等腰RtABC 中， AB=AC=4 ，点 P是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点P 出发，经BC，CA 反射后又回到原来的点P假设，则 PQR 的周长等于ABCD10 2012?珠海一模 台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市B 在 A 的正东 40 千米处，则B 城市处于危险区内的时间为A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时11 2011?宝鸡模拟一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3单位：牛顿的作用而处于平衡状态已知D 成120 角，且 y=gx的大小分别为1 和 2，则有AF1， F3成 90 角BF1，F3成 150 角CF2，F3成 90 角DF2，F3成 60 角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页12 2011?大连二模已知A 船在灯塔 C 北偏东 75 且 A 到 C 的距离为3km，B 船在灯塔C 西偏北 15o且 B 到 C的距离为km，则 A， B 两船的距离为A5km Bkm C4km Dkm 13 2011?安徽模拟如图，在山脚下A 测得山顶P 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走a米到达 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 ，则山高 PQ 为ABCD142010?武昌区模拟 某人朝正东方向走xkm 后， 向右转 150 ， 然后朝新方向走3km， 结果他离出发点恰好，那么 x 的值为A2或B2CD315 2010?江门一模海事救护船A 在基地的北偏东60 ，与基地相距海里，渔船B 被困海面，已知B 距离基地 100 海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是A100 海里B200 海里C100 海里或 200 海里D海里16 2010?武汉模拟飞机从甲地以北偏西15 的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75 的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为A1400km B700km C700km D1400km 17 2010?石家庄二模如图，一条宽为a 的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b0b a 则该平板车长度的最大值为ABCD18 2009?韶关二模北京2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为米如下图，则旗杆的高度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页A10 米B30 米C10米D米19 2009?温州一模北京2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和 30 ，看台上第一排和最后一排的距离米如下图 ，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50 秒，升旗手匀速升旗的速度为A米 /秒B米 /秒C米 /秒D米 /秒二填空题共7 小题20 2014?重庆模拟如图，割线PBC 经过圆心O，PB=OB=1 ，PB 绕点 O 逆时针旋120 到 OD，连 PD 交圆 O 于点 E，则 PE=_21 2014?南昌模拟已知ABC 中，角 A，B，C 所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件 2 sin2Asin2C=sinAsinBb，则 ABC 面积的最大值为_22 2014?韶关二模一只艘船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角 从正北方向顺时针转到目标方向的水平角为 45 ，行驶 60 海里后， 船在 B 点观测灯塔C 的方位角为75 ，则 A 到 C 的距离是_海里23 2014?潍坊二模如下图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45 ，与观测站A 距离 20海里的 B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 0 45 的 C 处，且 cos =，已知 A、C 两处的距离为10 海里，则该货船的船速为_海里 /小时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页24 2014?潍坊三模 如图， C、D 是两个小区所在地，C、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为CA=1km ，DB=2km ，A、B 间的距离为3km，某公交公司要在A、B 之间的某点N 处建造一个公交站点，使得N 对 C、 D 两个小区的视角CND 最大，则N 处与 A 处的距离为_km25 2014?台州一模为了测量A，C 两点间的距离，选取同一平面上B，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度单位： km如下图，且 B+D=180 ，则 AC 的长为_km26 2014?黄冈模拟 路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m 的人以m/s的速率， 从路灯在地面上的射影点C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为_m/s三解答题共4 小题27 2014?广州模拟如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A， B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点 C，从 C 点可以观察到点A，B；找到一个点D，从 D 点可以观察到点A，C；找到一个点E，从 E 点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90 ，ADC=60 ，ACB=15 ，BCE=105 ，CEB=45 ，DC=CE=1百米1求 CDE 的面积；2求 A，B 之间的距离28 2014?福建模拟如图，经过村庄A 有两条夹角为60 的公路 AB，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N 异于村庄A ，要求 PM=PN=MN=2 单位：千米 如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小即工厂与村庄的距离最远精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页29 2010?福建某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30 且与该港口相距20 海里的 A 处，并正以 30 海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v 海里 /小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇假设希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？为保证小艇在30 分钟内含30 分钟能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；是否存在v，使得小艇以v 海里 /小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定 v 的取值范围；假设不存在，请说明理由30在平地上有A、B 两点， A 在山的正东， B 在山的东南，且在A 的西偏南65 距离为 300 米的地方，在A 测得山顶的仰角是30 ，求山高精确到10 米， sin70 =0.94 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页2014年 12 月 27 日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一选择题共19 小题1 2014?海南模拟如图，已知A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m ，ACB=45 ， CAB=105 ，则 A、 B 两点的距离为Am Bm Cm Dm 考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形分析：依题意在 A，B，C 三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC ，ACB ，B 的值求得 AB 解答：解：由正弦定理得， AB=50， A，B 两点的距离为50m，故选： D点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解此题的关键2 2014?海淀区二模如下图，为了测量某湖泊两侧A、B 间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：ABC 的角 A、B、C 所对的边分别记为a、b、c ： 测量 A、C、b； 测量 a、b、 C； 测量 A、 B、a；则一定能确定A、B 间距离的所有方案的序号为A B C D 考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形分析：根据图形，可以知道a，b 可以测得，角A、B、 C 也可测得，利用测量的数据，求解A，B 两点间的距离唯一即可解答：解：对于 可以利用正弦定理确定唯一的A，B 两点间的距离对于 直接利用余弦定理即可确定A，B 两点间的距离故选： D点评：此题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页3 2014?重庆一模在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在 Q 点，且 POQ=90 ，再过两分钟后，该物体位于R 点，且 QOR=30 ，则 tan OPQ 的值为ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；解三角形分析：根据题意设PQ=x，可得 QR=x ，POQ=90 ， QOR=30 ，OPQ+R=60 算出 R=60 OPQ，分别在 ORQ、OPQ 中利用正弦定理，计算出OQ 长，再建立关于OPQ 的等式，解之即可求出tanOPQ 的值解答：解：根据题意，设PQ=x，则 QR=2x， POQ=90 ，QOR=30 ，OPQ+ R=60 ，即 R=60 OPQ 在 ORQ 中，由正弦定理得 OQ=2xsin 60 OPQ在 OPQ 中，由正弦定理得OQ= sinOPQ=xsin OPQ 2xsin60 OPQ=xsinOPQ 2sin60 OPQ=sinOPQ =sinOPQ 整理得cosOPQ=2sinOPQ，所以 tanOPQ=故选： B 点评：此题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决此题的关键4 2014?成都三模在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B 两个观测点，在A 处测得该塔底部C 在西偏北的方向上，在B处测得塔底C 在西偏北的方向上，并测得塔顶D 的仰角为 ， 已知 AB=a ， 0 ， 则此塔高CD 为 AtanBtanCtanDtan考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题分析：先求出 BC，再求出CD 即可解答：解：在 ABC 中， ACB= ，ACBA= ，AB=a ， BC=， CD=BCtan =tan 故选： B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页点评：此题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力5 2014?浙江模拟如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离单位：百米，已测得隧道两端点A，B 到某一点 C 的距离分别为5 和 8，ACB=60 ，则 A，B 之间的距离为A7B10C6D8考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 解三角形分析：由余弦定理和已知边和角求得AB 的长度解答：解：由余弦定理知AB=7，所以 A，B 之间的距离为7 百米故选： A点评：此题主要考查了余弦定理的应用已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决6 2014?房山区一模 如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃 阴影部分，则其边长x单位： cm的取值范围是A10，30B25，32C20， 35D20，40考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：， 0 x60矩形的面积S=x60 x，利用S 800 解出即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得 y=60 x， 0 x60 矩形的面积S=x 60 x， 矩形花园的面积不小于800m2， x60 x 800，化为 x20 x40 0，解得 20 x 40满足 0 x60故其边长x单位 m的取值范围是20，40故选： D点评：此题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题7 2014?濮阳一模如下图，当甲船位于A 处时得悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30 相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 +30 角的方向沿直线前往B 处营救，则sin的值为ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形分析：连接 BC，在三角形ABC 中，利用余弦定理求出BC 的长，再利用正弦定理求出sinACB 的值，即可求出sin的值解答：解：连接 BC，在 ABC 中， AC=10 海里， AB=20 海里， CAB=120 根据余弦定理得：BC2=AC2+AB22AC?AB?cos CAB=100+400+200=700 ， BC=10海里，根据正弦定理得，即， sinACB=， sin =故选： A点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系8 2014?成都三模 某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B 两个观测点， 在 A 处测得该水塔顶端D 的仰角为 ， 在 B 处测得该水塔顶端D 的仰角为 ， 已知 AB=a ， 0 ，则水塔 CD 的高度为ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页分析：设 CD=x ，求出 AC ，BC，利用 a=BCAC，即可求出水塔CD 的高度解答：解：设 CD=x ，则 AC=， BC=，a=BCAC ， a=， x=，故选： B点评：此题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC 是关键9 2014?怀化一模在等腰RtABC 中， AB=AC=4 ，点 P是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点P 出发，经BC，CA 反射后又回到原来的点P假设，则 PQR 的周长等于ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 综合题；解三角形分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC 的对称点 P1的坐标，和P关于 y 轴的对称点P2的坐标，由 P1，Q，R，P2四点共线可得 PQR 的周长解答：解：建立如下图的坐标系：可得 B4， 0， C0，4， P，0故直线 BC 的方程为x+y=4 ，P关于 y 轴的对称点P2，0，设点 P 关于直线BC 的对称点 P1x，y，满足，解得，即 P1 4，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故 PQR 的周长等于 |P1P2|=故选： A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页点评：此题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题10 2012?珠海一模 台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市B 在 A 的正东 40 千米处，则B 城市处于危险区内的时间为A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题分析：先以 A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B 点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B 到射线的距离，进而求得答案解答：解：如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B40，0，台风中心移动的轨迹为射线y=x x 0，而点B 到射线 y=x 的距离 d=2030，故 l=2=20，故 B 城市处于危险区内的时间为1 小时，故选 B点评：此题主要考查了解三角形的实际应用通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决11 2011?宝鸡模拟一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3单位：牛顿的作用而处于平衡状态已知D 成120 角，且 y=gx的大小分别为1 和 2，则有AF1， F3成 90 角BF1，F3成 150 角CF2，F3成 90 角DF2，F3成 60 角考点 ： 解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用分析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出， T通过三角形边的关系求出角解答：解：由?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页?=+2|?|cos120 =由知， F1，F3成 90 角，故选 A点评：此题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形12 2011?大连二模已知A 船在灯塔 C 北偏东 75 且 A 到 C 的距离为3km，B 船在灯塔C 西偏北 15o且 B 到 C的距离为km，则 A， B 两船的距离为A5km Bkm C4km Dkm 考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题分析：先画出简图求出角A 的值，再由余弦定理可得到AB 的值解答：解：依题意可得简图，可知 A=150 ，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC22BC ACcosC=16 ， AB=4 故选 C点评：此题主要考查余弦定理的应用属基础题主要在于能够准确的画出图形来13 2011?安徽模拟如图，在山脚下A 测得山顶P 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走a米到达 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 ，则山高 PQ 为ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；应用题分析： PAB 中，由正弦定理可得PB=，根据 PQ=PC+CQ=PB ?sin +asin通分化简可得结果解答：解： PAB 中， PAB= ，BPA= = ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页=，即 PB=PQ=PC+CQ=PB ?sin +asin =，故选B点评：此题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关键142010?武昌区模拟 某人朝正东方向走xkm 后， 向右转 150 ， 然后朝新方向走3km， 结果他离出发点恰好，那么 x 的值为A2或B2CD3考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x 的方程即可求得x 的值解答：解：如图， AB=x ，BC=3，AC=，ABC=30 由余弦定理得3=x2+92 3 x cos30 解得 x=2或 x=故选 A点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形根据数据特点选择合适的定理建立方程求解15 2010?江门一模海事救护船A 在基地的北偏东60 ，与基地相距海里，渔船B 被困海面，已知B 距离基地 100 海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是A100 海里B200 海里C100 海里或 200 海里D海里考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题分析：先根据正弦定理求得sinB 的值，进而确定B 的值，最后根据B 的值，求得AB 解答：解：设基地为与O 处，根据正弦定理可知= sinB=?OA= B=60 或 120当 B=60 ，BOA=90 ，A=30 BA=2OB=200 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页当 B=120 ，A=B=30 OB=AB=100 故渔船 B 与救护船A 的距离是100 或 200海里故选 C 点评：此题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力16 2010?武汉模拟飞机从甲地以北偏西15 的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75 的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为A1400km B700km C700km D1400km 考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；数形结合分析：设 A，B，C 分别对应甲、乙、丙三地，由B 向 x 轴做垂线垂足为D，则 BAD 和DBC 可知，进而求得 ABC=60 判断出三角形为正三角形，进而求得AC解答：解：依题意，设A，B，C 分别对应甲、乙、丙三地，由B 向 x 轴做垂线垂足为D，则 BAD=75 ， DBC=75 ABC=75 15 =60 AB=BC=1400 ABC 为正三角形 AC=1400 千米故选 A点评：此题主要考查了解三角形的应用要注意特殊三角形的运用17 2010?石家庄二模如图，一条宽为a 的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b0b a 则该平板车长度的最大值为ABCD考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题分析：先设平板手推车的长度不能超过x 米，此时平板车所形成的三角形：ADG 为等腰直角三角形连接EG 与AD 交于点 F，利用 ADG 为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x 由题意可得 ADG 为等腰直角三角形，连接EG 交 AD 于 F，则 EG=a FG=EGEF=得 ADG 为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页故选： C 点评：此题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形18 2009?韶关二模北京2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为米如下图，则旗杆的高度为A10 米B30 米C10米D米考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；数形结合分析：先画出示意图，根据题意可求得AEC 和ACE ，则 EAC 可求，然后利用正弦定理求得AC ，最后在Rt ABC 中利用 AB=AC ?sinACB 求得答案解答：解：如下图，依题意可知AEC=45 ， ACE=180 60 15 =105 EAC=180 45 105 =30由正弦定理可知=， AC=?sinCEA=20米 在 RtABC 中，AB=AC ?sinACB=20=30 米答：旗杆的高度为30 米故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页点评：此题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决19 2009?温州一模北京2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和 30 ，看台上第一排和最后一排的距离米如下图 ，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50 秒，升旗手匀速升旗的速度为A米 /秒B米 /秒C米 /秒D米 /秒考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；应用题分析：先根据题意可知DAB ，ABD 和ADB ，AB，然后在 ABD 利用正弦定理求得BD ，进而在 RtBCD求得 CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度解答：解：由条件得ABD 中， DAB=45 ，ABD=105 ，ADB=30 ，AB=10，由正弦定理得BD=?AB=20则在 RtBCD 中， CD=20 sin60 =30 所以速度V=米/秒故选 A点评：此题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力二填空题共7 小题20 2014?重庆模拟如图，割线PBC 经过圆心O，PB=OB=1 ，PB 绕点 O 逆时针旋120 到 OD，连 PD 交圆 O 于点 E，则 PE=考点 ： 三角形中的几何计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页专题 ： 计算题分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP22OD?OPcos120 =1+4 2 1 2 =7，所以 PD=根据割线定理PE?PD=PB?PC 得，PE=1 3，所以 PE=故答案为点评：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗21 2014?南昌模拟已知ABC 中，角 A，B，C 所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件 2 sin2Asin2C=sinAsinBb，则 ABC 面积的最大值为考点 ： 三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用专题 ： 计算题分析：把 b=2sinB 代入已知等式并应用正弦定理得a2+b2c2=ab，由余弦定理得 cosC=，得到 C=60 ，由ab=a2+b23 2ab3 求得 ab 最大值为3，从而求得 ABC 面积的最大值解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB ，代入已知等式得2sin2A2sin2C=2sinAsinB 2sin2B，sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB ，a2+b2c2=ab，cosC=， C=60 ab=a2+b2c2=a2+b2 2rsinC2=a2+b2 3 2ab3， ab 3 当且仅当a=b 时，取等号，ABC 面积为 3=，故答案为点评：此题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab 3 是解题的难点22 2014?韶关二模一只艘船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角 从正北方向顺时针转到目标方向的水平角为 45 ，行驶 60 海里后， 船在 B 点观测灯塔C 的方位角为75 ，则 A 到 C 的距离是30+海里考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；解三角形分析：由题意， ABC=105 ， C=30 ，AB=60 海里，由正弦定理可得AC 解答：解：由题意，ABC=105 ，C=30 ，AB=60 海里精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页由正弦定理可得AC=30+海里故答案为： 30+点评：此题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题23 2014?潍坊二模如下图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45 ，与观测站A 距离 20海里的 B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 0 45 的 C 处，且 cos =，已知 A、C 两处的距离为10 海里，则该货船的船速为4海里 /小时考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 解三角形分析：根据余弦定理求出BC 的长度即可得到结论解答：解： cos =， sin=，由题意得 BAC=45 ，即 cosBAC=cos 45 =， AB=20，AC=10， 由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB ?ACcosBAC ，即 BC2= 202+1022 20 10=800+100560=340，即 BC=，设船速为x，则=2， x=4海里 /小时，故答案为： 4点评：此题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cosBAC ，以及利用余弦定理求出BC 的长度是解决此题的关键24 2014?潍坊三模 如图， C、D 是两个小区所在地，C、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为CA=1km ，DB=2km ，A、B 间的距离为3km，某公交公司要在A、B 之间的某点N 处建造一个公交站点，使得N 对 C、 D 两个小区的视角CND 最大，则N 处与 A 处的距离为23km考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 应用题；三角函数的求值分析：设出 NA 的长度 x，把 CNA 与DNB 的正切值用含有x 的代数式表示，最后把CND 的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N 对 C、D 两个小区的视角CND 最大时的x 值，即可确定点N 的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页解答：解：设 NA=x ，CNA= ，DNB= 依题意有tan =，tan =，tanCND=tan + =tan + =，令 t=x+3 ，由 0 x 3，得 3 t6，则= 4 t+3+ t=2，即 x=23 时取得最大角，故 N 处与 A 处的距离为23km故答案为： 23点评：此题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题25 2014?台州一模为了测量A，C 两点间的距离，选取同一平面上B，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度单位： km如下图，且 B+D=180 ，则 AC 的长为km考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 计算题；解三角形分析：利用余弦定理，结合B+D=180 ，即可求出AC 的长解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32 2?2?3?cosD=1312cosD，AC2=52+822?5?8?cosB=89 80cosB， B+D=180 ， 2AC2=13+89=102 ， AC=km故答案为：点评：此题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键26 2014?黄冈模拟 路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m 的人以m/s的速率， 从路灯在地面上的射影点C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为m/s考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 解三角形分析：由题意画出几何图形，设出人从C 点运动到 B 处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页设人从 C 点运动到B 处路程为x 米，时间为t单位：秒，AB 为人影长度，设为y， BECD， y=x，又 x=t， y=x=t则 y =， 人影长度的变化速率为m/s故答案为：点评：此题考查了解三角形的实际应用，解答此题的关键是明确题意，把实际问题转化为数学问题，是中档题三解答题共4 小题27 2014?广州模拟如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A， B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点 C，从 C 点可以观察到点A，B；找到一个点D，从 D 点可以观察到点A，C；找到一个点E，从 E 点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90 ，ADC=60 ，ACB=15 ，BCE=105 ，CEB=45 ，DC=CE=1百米1求 CDE 的面积；2求 A，B 之间的距离考点 ： 解三角形的实际应用；余弦定理专题 ： 计算题分析：1连接 DE，在 CDE 中，求出 DCE，直接利用三角形的面积公式求解即可 2求出 AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB 解答：解： 1连接 DE，在 CDE 中， DCE=360 90 15 105 =150 ，1 分平方百米 4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页 2依题意知，在RTACD 中，5 分在 BCE 中， CBE=180 BCECEB=180 105 45 =30由正弦定理6 分得7 分 cos15 =cos60045 =cos60 cos45 +sin60 sin458 分=9 分在 ABC 中，由余弦定理AB2=AC2+BC22AC?BCcosACB 10 分可得11 分百米 12 分点评：此题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力28 2014?福建模拟如图，经过村庄A 有两条夹角为60 的公路 AB，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N 异于村庄A ，要求 PM=PN=MN=2 单位：千米 如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小即工厂与村庄的距离最远考点 ： 解三角形的实际应用专题 ： 综合题；解三角形分析：设 AMN= ，在 AMN 中，求出AM ，在 APM 中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论解答：解：设 AMN= ，在 AMN 中，=因为 MN=2 ，所以 AM=sin120 2 分在 APM 中， cosAMP=cos 60 + 6 分AP2=AM2+MP22AM ?MP?cosAMP =sin212