2022年随机过程习题 .pdf
随机过程复习一、回答：1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程tAtXcos)(+tBsin，其中是常数， A、B 是相互独立统计的高斯变量， 并且 EA=EB=0 ，E2A=E2B=2。求：)(tX的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(tAtX是否平稳？其中是常数，A、 分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。21)(f20；222)(aAeaaf0a3、求随机相位正弦函数)cos()(0tAtX的功率谱密度， 其中 A、0是常数，为0,2内均匀分布的随机变量。4、求用)(tX自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0ttXtY的自相关函数及谱密度。 其中，为0,2内均匀分布的随机变量，)(tX是与相互独立的随机过程。5、设随机过程),cos()(0tYtAtX，其中0是常数，A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间)2, 0(上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页000)(2222xxexxfxA试证明)(tX为宽平稳过程。解：（ 1）)cos()()cos()(00YtEAEYtAEtmX20002220)cos(22dyytdxexx与 t无关（2）)()(cos)()cos()()(20222022AEYtEAEYtAEtXEtXdtetdxexAEtx02220223222221)(，202202022|2|222tttedtete所以)()(22tXEtX（3）)cos()cos(),(201021YtAYtAEttRX)cos()cos(20102YtYtEAEdyttytt21)(cos)cos(2121202010202)(cos1202tt只与时间间隔有关，所以)(tX为宽平稳过程。6、 设随机过程CtRtX)(，),0(t，C为常数，R服从1,0区间上的均匀分布。（1）求)(tX的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页（1）xdttfxF)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tX为),(ba上的均匀分布，概率密度函数其他,0,1)(bxaabxf，分布函数bxbxaabaxaxxF, 1, 0)(，2)(baxE，12)()(2abxD；（3）参数为的指数分布，概率密度函数0,00,)(xxexfx，分布函数0, 00,1)(xxexFx，1)(xE，21)(xD；（ 4 ）2)(,)(xDxE的 正 态 分 布 ， 概 率 密 度 函 数xexfx,21)(222)(，分布函数xdtexFxt,21)(222)(，若1,0时，其为标准正态分布。【解答】（1）因R为1,0上的均匀分布，C为常数，故)(tX亦为均匀分布。由R的取值范围可知，)(tX为,tCC上的均匀分布， 因此其一维概率密度其他,0,1)(tCxCtxf，一维分布函数tCxtCXCtCxCxxF, 1,0)(；（2）根据相关定义，均值函数CttEXtmX2)()(；相关函数2)(231)()(),(CtsCsttXsXEtsRX；协方差函数12)()()()(),(sttmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页函数）7 设随机过程( )cos2 ,(,),X tXt tX 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望()tE X，方差()tD X，相关函数12( ,)XRt t，协方差12( ,)XCt t。解：因为2( )cos2 ,(,),(0,1),()0,()()1X tXt tXNE XD XE X，（1）所以()(cos2 )cos2()0,tE XE XttE X（2）22()(cos2 )cos 2()cos 2 ,tD XD XttD Xt（2）21212( ,)( )()cos2cos2 cos 2 ,XRt tE X tX tE XtXtt（2）212121212( ,)( ,)( )( )( ,)cos 2 .XxxCt tRt tE t E tR t tt（2）8、 有随机过程 (t)， -t 和(t)， -t， 设(t)=A sin(t+)，(t)=B sin(t+ ),其中A，B， ，为实常数，均匀分布于 0 ，2 ，试求R(s,t) 1.解：1,0220,f其它20201,sinsind21coscos2d41cos,2Rs tEstAsBtABtstsABtss tg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页9、随机过程(t)=Acos(t+)，-t =0 ，依题意N(t) 是参数为的Poisson 过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P Nee（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102NN，从而所求概率为：1412211(1)0 |02211(1)0 |00221(1)02PNNNPNNNNPNNee3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2 人与每分钟精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页3 人的泊松过程。（1） 试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知t时刻以有 50 人到达的条件下， 试求其中恰有 30 位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设12( ),( ),( )N tNtNt分别为（ 0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由已知，1( )Nt为强度12的泊松过程，2( )Nt为强度23的泊松过程；故，( )N t为强度125的泊松过程；于是，5(5 )( )!kttP N tkek0,1,2,kL（5 分）（2）22( )30,( )50)( )30( )50)( )50)P NtN tP NtN tP N t30320221505( )30)( )20)(3 )/30! (2 )/20!( )50)(5 )/50!tttP NtP NtteteP N tte30320230302050505(3 )/30! (2 )/20!32( )( )(5 )/50!55tttteteCte（5 分）一般地，50,2, 1 ,0,)52()53(50)(|)(50502kCtNktNPkkk故平均有女性顾客30535050)(|)(2tNtNE人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
