2022年高中数学必修4第二章平面向量教案完整版 .pdf

学习必备欢迎下载高中数学必修4 第二章平面向量教案（12课时 ) 本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一， 有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行 （平移） 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第 1课时2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量 . 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法： 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型： 新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页学习必备欢迎下载有长短的量 . 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量AB的大小 长度称为向量的模，记作|AB|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关， 只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. A( 起点 ) B （终点）a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页学习必备欢迎下载说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行. 说明： （1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明： （ 1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固：例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 下列命题正确的是（）A.与共线，与共线，则与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量 与不共线，则 与 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若 与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页学习必备欢迎下载共线，可有 与 共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C. 例 4 如图， 设 O 是正六边形ABCDEF 的中心， 分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量 . 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,）课堂练习 ：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量AB与CD是共线向量，则A、B、 C、D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当ABDC一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. 不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. 不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确 .不正确 .如图AC与BC共线，虽起点不同， 但其终点却相同. 2书本 88 页练习三、小结：1、 描述向量的两个指标：模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业：书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页学习必备欢迎下载2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点： 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点： 理解向量加法的定义. 学法：数能进行运算， 向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型： 新授课教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调： 向量是既有大小又有方向的量.长度相等、 方向相同的向量相等.因此， 我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到 B，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：ACBCAB（2）若上题改为从A 到 B，再从 B 按反方向到C，则两次的位移和：ACBCAB（3）某车从A 到 B，再从 B 改变方向到C，则两次的位移和：ACBCAB（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C C A B A B C A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页学习必备欢迎下载O A B a a a b b b 、 三角形法则（ “首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、 .在平面内任取一点A，作ABa，BC ，则向量AC叫做a 与的和，记作a ，即aACBCAB，规定：a + 0-= 0 + a 探究： （1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|b|，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|0 时a与a方向相同； 0(内分 ) (外分 ) 0 (-1) ( 外分 )0 (-1 0，(a) b =|a|b|cos ，(a b) =|a|b|cos ，a (b) =|a|b|cos ，若 0，(a) b =|a|b|cos() = |a|b|( cos ) =|a|b|cos ，(a b) =|a|b|cos ，a (b) =|a|b|cos() = |a|b|( cos ) =|a|b|cos . 3分配律： (a + b) c = a c + b c在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，a + b （即OB）在 c 方向上的投影等于a、b 在 c 方向上的投影和，即|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c (a + b) = c a + c b即：(a + b) c = a c + b c说明： （1）一般地， () （ ）（2） ， 0（3）有如下常用性质：，（） （ ） ()三、讲解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量，且a + 3b 与 7a 5b 垂直， a 4b 与 7a 2b 垂直，求a 与 b的夹角 . 解：由 (a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a b15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a b + 8b2 = 0 两式相减： 2a b = b2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页学习必备欢迎下载代入或得：a2 = b2设 a、b 的夹角为，则 cos =21222|bbbaba = 60例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD 中，DCAB，BCAD，AC=ADAB|AC|2=ADABADABADAB2|222而BD=ADAB，|BD|2=ADABADABADAB2|222|AC|2 + |BD|2 = 2222ADAB= 2222|ADDCBCAB例 3 四边形ABCD 中，AB，BC，CD ，DA，且 ，试问四边形ABCD 是什么图形 ? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面： 0，（ ） ， ()（ ）即 由于 ， 同理有 由可得 ，且即四边形ABCD 两组对边分别相等. 四边形 ABCD 是平行四边形另一方面，由 ，有（ ），而由平行四边形ABCD 可得 ，代入上式得 (2)，即，也即 ABBC. 综上所述，四边形ABCD 是矩形 . 评述： (1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 . 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A. 向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页学习必备欢迎下载C.向量的数量积满足结合律D.a b 是一个实数2.已知 |a|=6，|b|=4，a 与 b 的夹角为 ，则 (a+2b) (a-3b)等于（）A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3， |b|=4，向量 a+43b 与 a-43b的位置关系为（）A. 平行B.垂直C.夹角为3D. 不平行也不垂直4.已知 |a|=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角为150 ，则 (a+b). 5.已知 |a|=2，|b|=5，a b=-3，则 |a+b|=_，|a-b|= . 6.设|a|=3，|b|=5，且 a+b 与 ab 垂直，则 . 五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第 9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. 能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作OA，OB，则 （ ）叫与的夹角 . 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos 叫与的数量积，记作a b，即有 a b = |a|b|cos ，（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为0. C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页学习必备欢迎下载3向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . 4两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量，e是与 b 同向的单位向量. 1e a = a e =|a|cos ；2a ba b = 0 3当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b = |a|b|. 特别的 a a = |a|2或aaa |4cos =|baba；5 |a b| |a|b| 5平面向量数量积的运算律交换律： a b = ba数乘结合律： (a) b =(a b) = a (b) 分配律： (a + b) c = a c + b c二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，试用a和b的坐标表示ba. 设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么jyixa11，jyixb22所以)(2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx又1ii，1jj，0ijji，所以ba2121yyxx这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba2121yyxx2. 平面内两点间的距离公式八、 设),(yxa，则222|yxa或22|yxa. （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式) 九、 向量垂直的判定设),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页学习必备欢迎下载十、 两向量夹角的余弦（0）cos =|baba222221212121yxyxyyxx十一、讲解范例：十二、设 a = (5，7)，b = ( 6，4)，求 a b 及 a、b 间的夹角 (精确到 1o) 例 2 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C( 2， 5)，试判断 ABC 的形状，并给出证明. 例 3 已知 a = (3，1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9 与 x b = 4 的向量 x. 解：设 x = (t， s)，由429349ststbxax32stx = (2，3) 例 4 已知 a（，3） ，b（3，3） ，则 a 与 b 的夹角是多少 ? 分析：为求a 与 b 夹角，需先求a b 及 a b，再结合夹角的范围确定其值. 解：由 a（，3） ，b（3，3）有 a b33（3），a， b2记 a 与 b 的夹角为 ，则 22baba又 ， 4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例 5 如图， 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90 ，求点 B 和向量AB的坐标 . 解：设 B 点坐标 (x， y)，则OB= ( x， y)，AB= (x 5， y 2) OBABx(x 5) + y(y 2) = 0 即： x2 + y25x 2y = 0 又 |OB| = |AB| x2 + y2 = (x 5)2 + (y 2)2即： 10 x + 4y = 29 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页学习必备欢迎下载由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或B 点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(例 6 在 ABC 中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且 ABC 的一个内角为直角，求 k 值. 解：当 A = 90 时，ABAC= 0， 21 +3k = 0 k =23当 B = 90 时，AB BC= 0，BC=ACAB= (1 2， k 3) = ( 1， k 3) 2( 1) +3(k 3) = 0 k =311当 C = 90 时，AC BC= 0，1 + k(k 3) = 0 k =2133十三、课堂练习：1.若 a=(-4，3)，b=(5，6)，则 3|a| a b（）A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知 A(1，2)，B(2，3)， C(-2，5)，则 ABC 为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知 a=(4，3)，向量 b 是垂直 a 的单位向量，则b 等于（）A.)54,53(或)53,54(B.)54,53(或)54,53(C.)54,53(或)53,54(D.)54,53(或)54,53(4.a=(2，3)， b=(-2，4)，则 (a+b) (a-b)= . 5.已知 A(3，2)，B(-1，-1)，若点 P(x， -21)在线段 AB 的中垂线上，则x= . 6.已知 A(1，0)，B(3，1)， C(2，0)，且 a=BC，b=CA，则 a 与 b 的夹角为. 十四、小结（略）十五、课后作业（略）十六、板书设计（略）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页学习必备欢迎下载十七、课后记：第 12课时复习课一、教学目标1. 理解向量 .零向量 .向量的模 .单位向量 .平行向量 .反向量 .相等向量 .两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|a|-|b| |ab| |a|+|b|( 试问：取等号的条件是什么 ?) 和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|ab|2+|a+b|2. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的 “双重身份” 能融数形于一体， 能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点， 所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长； 求夹角；判垂直三、典型例题例 1. 对于任意非零向量a与b，求证：a-baba+b证明： (1) 两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且a - baba+b(3) 两个非零向量a与b共线时，a与b同向， 则a+b的方向与a.b相同且a+b=ab. a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a| |b| ，则 |a+b|=|a|-|b|. 同理可证另一种情况也成立。例 2 已知 O 为 ABC 内部一点，AOB=150 ， BOC=90 ， 设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示cij精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页学习必备欢迎下载解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则 B（0，1） ，C（-3 ，0） ，设 A （ x，y） ，则条件知x=2cos(150 -90 ),y=-2sin(150 -90 ) ，即 A （ 1，-3） ，也就是a=i3j, b=j，c=-3i所以 -3a=33 b+c| 即c=3a33 b例 3.下面 5 个命题：|ab|=|a| |b|(ab)2=a2b2a(bc)， 则ac=bcab=0，则 |a+b|=|ab|ab=0，则a=0或b=0，其中真命题是（）AB CD四、巩固训练1.下面 5 个命题中正确的有（）a=bac=bc； ac=bca=b；a （b+c）=ac+bc；a （bc） =（ab） c；baaba2. A.B.C. D. 2.下列命题中，正确命题的个数为（A ）若a与b是非零向量，且a与b共线时， 则a与b必与a或b中之一方向相同；若e为单位向量， 且ae则a=|a|eaaa=|a|3若a与b共线，a与c共线，则c与b共线；若平面内四点A.B.C.D ，必有AC+BD=BC+ADA 1 B 2 C 3 D 4 3.下列 5 个命题中正确的是对于实数p,q 和向量a,若 pa=qa则 p=q对于向量a与b， 若|a|a=|b|b则a=b对于两个单位向量a与b， 若 |a+b|=2 则a=b对于两个单位向量a与b，若 ka=b，则a=b4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1) ，B(5,4) ，C(2,7) ，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页