2022年高中数学必修34知识点总结 .pdf

高中数学必修 3 知识点第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的 “算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点 : (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的 . (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可 . (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤， 前一步是后一步的前提， 只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法 . (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“ Y” ；不成立时标明“否”或“ N” 。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外， 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一类是多分支判断， 有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P是否成立而选择执行A框或 B框。无论 P条件是否成立，只能执行A框或 B框之一，不可能同时执行A框和 B框，也不可能 A框、B框都不执行。一A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页个判断结构可以有多个判断框。3 、循环结构： 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况， 这就是循环结构， 反复执行的处理步骤为循环体， 显然，循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构， 循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行 A 框， A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果 P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件 P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。当 型 循 环结构直到型循环结构注意： 1 循环结构要在某 个 条 件 下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1输入、输出语句和赋值语句1 、输入语句（1）输入语句的一般格式（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句A 成立不成立P 不成立P 成立A 图形计算器格式INPUT“提示内容”；变量INPUT “提示内容”，变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页（1）输出语句的一般格式（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意： 赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B ” “B=A ”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）赋值号“= ”与数学中的等号意义不同。122 条件语句1、条件语句的一般格式有两种： （1）IFTHENELSE 语句； （2）IFTHEN语句。 2、IFTHEN ELSE 语句IFTHENELSE 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。图 1 图 2 分析：在 IFTHENELSE 语句中， “条件”表示判断的条件， “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句 1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句 2。3、IFTHEN 语句PRINT“提示内容”；表达式图形计算器格式Disp “提示内容”，变量变量表达式图形计算器格式表达式变量IF 条件THEN语句 1 ELSE 语句 2 END IF 否是满足条件？语句 1 语句 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页IFTHEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。注意： “条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条 件 时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。123 循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（ UNTIL型）两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL语句。1、WHILE 语句（1）WHILE 语句的一般格式是对应的程序框图是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL 语句（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机IF 条件 THEN语句END IF （图 3）满足条件？语句是否（图 4）WHILE 条件循环体WEND 满足条件？循环体否是满足条件？循环体是否DO 循环体LOOP UNTIL 条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行， 直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析： 当型循环与直到型循环的区别： （先由学生讨论再归纳）（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE 语句中， 是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数 m除以较小的数 n 得到一个商0S和一个余数0R； （2） ：若0R0，则 n 为 m ，n 的最大公约数；若0R0，则用除数 n 除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R； （3） ：若1R0，则1R为 m ，n 的最大公约数；若1R0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R；依次计算直至nR0，此时所得到的1nR即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为： （1） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步。 （2） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数 . 分析： （略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主， 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法 ：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想： 插入排序的思想就是读一个，排一个。将第个数放入数组的第个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置 将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中（由于算法简单，可以举例说明）2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数, 把大的放前面 , 小的放后面 . 即首先比较第1个数和第 2 个数, 大数放前 , 小数放后 . 然后比较第 2 个数和第 3 个数.直到比较最后两个数 . 第一趟结束 , 最小的一定沉到最后 . 重复上过程 , 仍从第1 个数开始, 到最后第2 个数. 由于在排序过程中总是大数往前, 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序 .1.3.3 进位制1、概念：进位制 是一种记数方式， 用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的 k 进制可以表示为：110()110.(0,0,.,)nnknna aa aakaa ak ，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示, 如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数第二章统计2.1.1 简单随机抽样1总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。 特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同 （概率相等），样本的每个单位完全独立， 彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。4抽签法 : （1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页5随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。2.1.2 系统抽样1系统抽样（等距抽样或机械抽样） ：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离） =N（总体规模） /n（样本规模）前提条件： 总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下， 从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。 如果有明显差别， 说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。 更为重要的是， 如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用， 总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3 分层抽样1分层抽样（类型抽样） ：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时， 则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1、本均值：nxxxxn212、 样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(3用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。4 （1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的 k 倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(sxsx的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理2.3.2 两个变量的线性相关1、概念 : （1）回归直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页（2）回归系数2最小二乘法3直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。4应用直线回归的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前 ,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。第三章概 率3.1.1 3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件 S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率： 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)=nnA为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率 fn(A) 稳定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页在某个常数上，把这个常数记作P（A） ，称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数 n 的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不可能事件，即AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；（3）若 AB 为不可能事件， AB 为必然事件，那么称事件A 与事件 B 互为对立事件；（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件 A与 B 为对立事件，则AB 为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为0，因此 0P(A)1；2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B) ；3）若事件 A 与 B 为对立事件，则AB 为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件 A 发生且事件B 不发生； （2）事件 A 不发生且事件 B 发生； （3）事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件 A 发生 B 不发生； （2）事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 3.2.2古典概型及随机数的产生1、 （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数； 求 出 事 件A所 包 含 的 基 本 事 件 数 ， 然 后 利 用 公 式P （ A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A3.3.13.3.2几何概型及均匀随机数的产生1、基本概念：（1） 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件 A；（2） 几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等高中数学必修 4 知识点第一章三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在 x轴上的角的集合为180 ,kk终边在y轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页PxyAOMT3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l， 则角的弧度数的绝对值是lr6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，则 lr，2Crl，21122Slrr8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y ，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：sin，cos，tan11、角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan12、函数的诱导公式：1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin， coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin，coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左 （右）平移个单位长度， 得到函数sinyx的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长 （缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来 的倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数sinyx的图象14、函数sin0,0yx的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx 时，取得最小值为miny；当2xx 时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数； 在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上 是 增函 数 ； 在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc；00aaa 坐标运算：设11,ax y，22,bxy， 则1212,a bxx yy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy， 则1212,a bxx yy设、两 点 的 坐 标 分 别 为11,x y，22,xy， 则1212,xxyy 19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa ；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa ；abab坐标运算：设,ax y ，则,ax yxy 20、向量共线定理：向量0a a与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,ax y，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b共线21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee （不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy， 当12时 ， 点的 坐 标 是1212,11xxyy（ 当baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页时，就为中点公式。）123、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和 b 都是非零向量，则0aba b当a与 b 同向时，a ba b；当a与 b 反向时，a ba b；22a aaa或 aa a a ba b运算律：a bb a； aba bab； abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y 若,ax y ，则222axy，或22axy 设11,axy，22,bxy，则1 2120abxxy y设a、 b 都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是a与 b 的 夹角， 则121222221122cosx xy ya ba bxyxy第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin； sinsincoscos sin； sinsincoscos sin；tantantan1 tantan（ tantantan1tantan） ；tantantan1 tantan（ tantantan1tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1 ,2cos2cos122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页降幂公式2cos21cos2，21cos2sin222tantan21tan26、（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；2304560304515oooooo； 问 ：12sin；12cos；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等半角公式sincos1cos1sincos1cos12t an2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222万能公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“ 1”的代换变形有：oo45tan90sincottancossin122（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对， 有时需要升幂，如 对 无 理 式cos1常 用 升 幂 化 为 有 理 式 ， 常 用 升 幂 公 式有：；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：_tan1tan1；_tan1tan1；_tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；tan2；2tan1；oooo40tan20tan340tan20tan；cossin= ；cossinba= ； （其中tan； ）cos1；cos1；（6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：)10tan31 (50sinoo；cottan。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页