2022年高中数学第一章导数及其应用12导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2剖析 .pdf
1 导数概念与运算基础知识总结知识清单1导数的概念函数y=f(x), 如果自变量x在x0处有增量x， 那么函数 y 相应地有增量y=fx0+xfx0，比值xy叫做函数y=fx在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限， 我们就说函数y=f(x) 在点x0处可导，并把这个极限叫做fx在点x0处的导数，记作f x0或y|0 xx。即fx0=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：1函数fx在点x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。2x是自变量x在x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=fx在点x0处的导数的步骤可由学生来归纳：1求函数的增量y=fx0+xfx0；2求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；3取极限，得导数f(x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px0，fx0处的切线的斜率。 也就是说， 曲线y=fx在点px0，fx0处的切线的斜率是f x0。相应地，切线方程为yy0=f/x0 xx0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 3几种常见函数的导数: 0;C1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 )，即： (.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv假设 C为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvuv0。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|X= y|Uu|X导数应用知识清单1 单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 一般地，在区间a，b 上连续的函数f)(x在a，b 上必有最大值与最小值。求函数 ?)(x在(a，b) 内的极值；求函数 ?)(x在区间端点的值?(a) 、?(b) ；将函数 ? )(x的各极值与?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分1概念：设函数f(x) 在区间 a，b 上连续，用分点ax0 x1xi 1xixnb把区间 a，b 等分成n个小区间，在每个小区间xi 1，xi 上取任一点ii1，2，n作和式Innif1( i) x其中x为小区间长度，把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x) 在区间 a，b 上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim( i) x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b 叫做积分区间， 函数f(x) 叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmCmQ ，m 1；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsin cosxC表中C均为常数。2定积分的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 babadxxfkdxxkf)()(k为常数；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(其中acb)。3定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xbab，x轴及一条曲线yfx(f(x) 0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1f1(x) ，y2f2(x)不妨设f1(x) f2(x) 0，及直线xa，xbab围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形 AMNBS曲边梯形 DMNCbabadxxfdxxf)()(21。典型例题一 导数的概念与运算EG ：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s 时的瞬时速度为A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式 ：定义在 D上的函数)(xf，如果满足：xD，常数0M，都有|( )|f xM 成立，则称)(xf是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. 【文】 1假设已知质点的运动方程为atttS11)(，要使在0 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以M=1 为上界的有界函数，求实数a的取值范围 . 【理】 2假设已知质点的运动方程为atttS12)(，要使在0 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围 . EG ：已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是A. 41 B. 2 C. 41 D. 2 变式 1：为则设hfhffh233lim,430A 2 C 3 D1 变式 2：00003,limxfxxfxxfxxx设在可导 则等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 A02xfB0 xfC03xfD04xf根据所给的函数图像比较012( ), ,h ttt t曲线在附近得变化情况。变式： 函数)(xf的图像如下图，以下数值排序正确的选项是A. )2()3()3()2(0/ffff y B. )2()2() 3()3(0/ffffC. )2()3()2()3(0/ffffD. )3()2()2() 3(0/ffff O 1 2 3 4 x EG ：求所给函数的导数：332991log; ; sin(1) ; 2; 2 sin 25nxxxyxxyx eyxyxyeyxx（文科）理科）。变式： 设f(x) 、g(x) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当x0时,( ) ( )( )( )fx g xf x gx0. 且 g(3)=0. 则不等式f(x)g(x) 0 的解集是A( 3,0) (3,+ ) B( 3,0) (0, 3)C( , 3)(3,+ ) D ( , 3)(0, 3)EG ：已知函数lnyxx.(1) 求这个函数的导数；2求这个函数在点1x处的切线的方程 .变式 1：已知函数xey. 1求这个函数在点ex处的切线的方程；2过原点作曲线yex的切线，求切线的方程. 变式 2：函数yax21 的图象与直线yx相切，则a( ) A. 18 B. 41 C. 21 D. 1 EG ：判断以下函数的单调性，并求出单调区间：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 3232(1) ( )3 ; (2) ( )23;(3) ( )sin,(0,);(4)( )23241.fxxxf xxxf xxx xf xxxx变式 1：函数xexxf)(的一个单调递增区间是A.0 ,1 B. 8,2 C. 2, 1 D. 2,0变式 2：已知函数53123axxxy(1) 假设函数的单调递减区间是-3 ， 1，则a的是 . (2) 假设函数在),1 上是单调增函数，则a的取值范围是 .变式 3： 设0t，点Pt，0是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.用t表示a，b，c；假设函数)()(xgxfy在 1， 3上单调递减，求t的取值范围 . EG ：求函数31( )443f xxx的极值 .求函数31( )443f xxx在0,3上的最大值与最小值. 变式 1： 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如下图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点A1 个B2 个C3 个D4 个变式 2：已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5，其导函数( )yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图 . 求：0 x的值；, ,a b c的值 . 变式 3：假设函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf极值34，1求函数的解析式；x?abxy)(fyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 2假设函数kxf)(有 3 个解，求实数k的取值范围变式 4：已知函数321( )22fxxxxc，对 x 1，2，不等式f xc2恒成立，求c的取值范围。EG ：利用函数的单调性，证明：ln,0 xxxex变式 1：证明：xxx1ln111，1x变式 2：理科 设函数f(x)=(1+x)2ln(1+x)2. 假设关于x的方程f(x)=x2+x+a在0 ，2 上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围 . EG ： 函数,3)(3Rxxxxf假设012mxfmxf恒成立 , 求实数m的取值范围变式 1: 设函数,3)(3Rxxxxf假设2001sinmfmf恒成立，求实数m的取值范围 . 变式 2: 如图 , 曲线段OMB是函数2( )(06)f xxx的图象 ,BAx轴于点 A,曲线段OMB上一点 M2( ,)t t处的切线PQ交 x 轴于点P, 交线段AB于点Q，(1) 假设t已知 , 求切线PQ的方程 (2)求QAP的面积的最大值变式 3: 用长为 90cm，宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式 4: 某厂生产某种产品x件的总成本37521200)(xxc万元，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100 件这样的产品单价为50 万元，产量定为多少时总利润最大？EG ：计算以下定积分：理科定积分、微积分23211022011(1)x; (2)(2) x; (3)sin dx; (4)sindx; (5)sindxdxxxxxdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 变式 1：计算：；1dxxxx20sincos2cos； 2dxx2024变式 2：求将抛物线xy2和直线1x围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积. 变式 3： 在曲线02xxy上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为121，试求： 1切点 A的坐标； 2在切点A的切线方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
