2022年惠州市届高三第三次调研考试理科数学试题与答案 .pdf

1 / 11 惠州市 2018 届高三第三次调研考试数学试卷 (理科）本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数313ii的共轭复数是（）A3iB3iC3iD3i2已知向量p23，q6x，且/pq，则pq的值为（）A5 B13 C5 D133已知集合1 1A，10Bx ax，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（）A1 B1C1 1， D1 0 1，4已知幂函数( )yfx的图象过点12()22，则4log(2)f的值为（）A14B 14 C 2 D 2 5“0mn”是“方程221mxny表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A19、13 B13、19 C20、18 D18、20 7已知xy，满足约束条件500240 xyxyzxyy，则的最小值为（）A14B15C16 D178数列 na 中，1( 1)21nnnaan，则数列 na前12项和等于（）A76 B78 C 80 D82 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 / 11 开0kk k 31nn150?n输出结束是否输入n二、填空题（本大题共7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题5 分，满分30 分）（一）必做题（第9 至 13 题为必做题，每道试卷考生都必须作答）9在等比数列na中，11a，公比2q，若na前n项和127nS，则n的值为10阅读右图程序框图若输入5n，则输出k的值为 _11已知双曲线22221xyab的一个焦点与抛线线24 10yx的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为12已知,m n是两条不同直线， ，是三个不同平面，下列命题中正确的有mnmn若， 则；若， 则；mm若， 则；mnmn若， 则13已知函数212121xxaxfxaax，若fx在0，上单调递增，则实数a的取值范围为（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，1OBPB，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3)3，(4)6，则AOB（其中O为极点）的面积为三、 解答题（本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数( )sincoscossinf xxx（ 其 中xR，0），且函数24yfx的图像关于直线6x对称（1）求的值；（2）若22()34f，求sin 2的值。17（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学 成 绩 （ 满 分 100 分 ， 成 绩 均 为 不 低 于40分 的 整 数 ） 分 成 六 段 ：40 50，50 60，90 100，后得到如下图的频率分布直方图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 / 11 （分0 40 50 60 70 80 90 100 频率组距0.010 0.005 0.020 0.025 a （1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在40 50，与90 100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。18 （ 本 小 题 满 分 14分 ） 如 图 ， 在 长 方 体1111ABCDABC D中 ，11ADAA，2AB，点E在棱AB上移动（1）证明：11D EAD；（2）当E点为AB的中点时，求点E到平面1ACD的距离；（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4？19（本小题满分14 分）已知点（1，31）是函数, 0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列na的前n项和为cnf)(，数列nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足 : nS1nS=nS+1nS（2n）. （1）求数列na和nb的通项公式；E D C A B A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 （2）若数列nc的通项1( )3nnncb，求数列nc的前n项和nR；（3）若数列 11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少 ? 20 （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 设 椭 圆222:12xyMa2a的 右 焦 点 为1F， 直 线2:22aaxl与x轴交于点A，若112OFF A（其中O为坐标原点）（1）求椭圆M的方程；（ 2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆12:22yxN的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求PFPE的最大值21（本小题满分14分）已知函数32( )ln 2123xfxaxxaxaR（1）若2x为)(xf的极值点，求实数a的值；（2）若)(xfy在3，上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当12a时，方程311+3xbfxx有实根，求实数b的最大值。参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8 小题，每小题5 分，满分40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B C A C A B B 1【解读】313i13i i = 3+ ii故选 D2【解读】26304(23)( 4 6)( 23)13xxpq，故选 B3【解读】01a或或1故选 D4【解读】由设( )f xx，图象过点12()22，得121211()()2222，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 / 11 12441log(2)log 24f故选 A5【解读】22221111xymxnymn，1100mnmn，即pq故选C6【解读】甲中位数为19，甲中位数为13故选 A7【解读】最优解为min( 2.52.5)15z，故选 B8【解读】2( 1) (21)(21)nnnaann，取19n， 5，及2 6 10n，结果相加可得121234111278Saaaaaa故选 B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7 小题，每小题 5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题97 103 112219xy 12 131 2， 147153 9【解读】1212721712nnnSn答案：710【解读】511614921483nknknknk，答案： 311【解读】抛线线24 10yx的焦点22( 10)10ab， 01010313eaba答案：2219xy12【解读】m n，均为直线，其中mn，平行，m n，可以相交也可以异面，故不正确；m，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；正确答案13【解读】2112022aa，xaa是增函数，所以1a12a答案：12a（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14【解读】PA 切O于点 A，B 为 PO 中点， AB=OB=OA ，60AOB，120POD，在 POD 中由余弦定理，得：2222cosPDPODOPO DOPOD=1414()72解读 2：过点 D 作 DEPC 垂足为 E，120POD，60DOB，可得12OE，32DE，在Rt PED中，22253744PDPEDE答案：715【解读】A、B的极坐标分别为(3)3，(4)6，则12ABCSOA OBsinAOB134326sin（其中O为极点）答案3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 三、 解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（ 本小题满分 12分）（1）解： ( )sinf xx，2分函数fx的最小正周期为23分函数2sin244yfxx，5分又sinyx的图像的对称轴为2xk（kZ），6分令242xk，将6x代入，得12k（kZ）0，11127分（2） 解：222112()sin()sin()(sincos )3431242f，9分113sincos1sin2sin 2244 12分17（ 本小题满分 12分）（1）解： 由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a1 分解得0.03a2 分（ 2 ） 解 ： 根 据 频 率 分布 直 方 图 ， 成 绩 不 低 于60分 的 频 率 为1 10(0.0050.01)0.853 分由于该校高一年级共有学生640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60 分的人数约为6400.85544人5 分（3）解： 成绩在40 50，分数段内的人数为400.052人， 6分成绩在90,100分数段内的人数为400.14人，7 分若从这 6 名学生中随机抽取2 人，则总的取法有2615C 9分如果两名学生的数学成绩都在40 50，分数段内或都在90 100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10. 如果一个成绩在40 50，分数段内，另一个成绩在90 100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于1010 分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10 分的取法数为22247CC 11 分所以所求概率为715P M13 分18（ 本小题满分 14分）（1）证明： 如图，连接1D B，依题意有：在长方形11A ADD中，11ADAA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 1111111111111A ADDA DADA DAD BABA ADDABA DA DD ED EAD BADABA四边形平面又平面平面 4 分（2）解：225ACABBC，/ 21AEAB，222ECBEBC，1252cos22 12AEC，2sin2AEC12112222AECS， 6 分11111326DAECV22112ADAADA，2211115D CD CCC，1153 102sin105D AC113 103252102A DCS设点E到平面1ACD的距离为d，11131326DAECEAD CVVd13d点E到平面1ACD的距离为13 8 分（3）解： 过D作DFEC交EC于F，连接1D F由三垂线定理可知，1DFD为二面角1DECD的平面角14DFD，12D DF，111D DDF 10 分1sin26DFDCFDCFDC，3BCF 12 分tan33BEBEBC，23AEABBE故23AE时，二面角1DECD的平面角为4 14分19（ 本小题满分 14分）解： （1）113faQ，13xfx1113afcc，221afcfc29，323227afcfc . 又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；EDCABABCDF045精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 又公比2113aqa，所以12 1123 33nnna*nN；2分1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ2n又0nb，0nS，11nnSS；数列nS构成一个首相为1 公差为 1 的等差数列，11 1nSnn，2nSn当2n，221121nnnbSSnnn；又其满足11bc，21nbn(*nN) ； 5 分（2）11(21)33nnnncbn，所以123nnRccccL12331111135(21)3333nRnL2341111111135(23)(21)333333nnnRnnL式减式得：234121111112(21)3333333nnnRnL 7 分化简：2111113321122(1)12(21)133333313nnnnnRn9 分所以所求113nnnR 10 分（3）12233411111nnnTbbb bb bb bL11111 33 55 7(21)21nnK111111111111232352 5722121nnK 1 2 分11122121nnn； 1 3 分由1000212009nnTn得10009n，满足10002009nT的最小正整数为112. 14 分20（ 本小题满分 14分）解： （1）由题设知，22(0)2aAa，212 0Fa，1 分由112OFAF0，得22222222aaaa，3 分解得62a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 所以椭圆M的方程为126:22yxM4 分（2）方法 1：设圆12:22yxN的圆心为N，则NPNFNPNEPFPE6 分NFNPNFNP7 分2221NPNFNP8分从而求PFPE的最大值转化为求2NP的最大值9 分因为P是椭圆M上的任意一点，设00P xy，10 分所以1262020yx，即202036yx11分因为点2,0N，所以121222020202yyxNP12 分因为022y，所以当10y时，2NP取得最大值1213 分所以PFPE的最大值为1114 分方法 2： 设点112200()(),()E xyF xyP xy，因为,E F的中点坐标为(0, 2)，所以2121,4.xxyy6分所以10201020()()()()PE PFxxxxyyyy7 分10101010()()()(4)xxxxyyyy222201011044xxyyyy22220001114(4)xyyxyy9分因为点E在圆N上，所以2211(2)1xy，即2211143xyy10 分因为点P在椭圆M上，所以2200162xy，即220063xy11分所以PE PF200249yy202(1)11y12 分因为022y，所以当01y时，min11PE PF14 分方法 3： 若直线EF的斜率存在，设EF的方程为2ykx，6 分由1)2(222yxkxy，解得112kx7 分因为P是椭圆M上的任一点，设点00P xy，所以1262020yx，即202036yx8分所以00221,211kPExykk，00221,211kPFxykk9 分所以11) 1(21)2(1)2(112020202220220yyxkkykxPFPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 10 分因为02,2y，所以当10y时，PFPE取得最大值1111分若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为0 x，由220(2)1xxy，解得1y或3y不妨设，0 3E，0 1F，12 分因为P是椭圆M上的任一点，设点00P xy，所以1262020yx，即202036yx所以003PExy，001PFxy，所以2220000432(1)11PE PFxyyy因为022y，所以当10y时，PFPE取得最大值11 13 分综上可知，PFPE的最大值为1114 分21（ 本小题满分14 分）解： （1）22( )2221afxxxaax222144221xaxa xaax 1分因为2x为fx的极值点，所以20f2分即22041aaa，解得0a3 分又当0a时，( )(2)fxx x，从而2( )xf x为的极值点成立4 分（2）因为fx在区间3,上为增函数，所以2221442021xaxa xafxax在区间3,上恒成立5分当0a时，( )(2)0fxx x在3,)上恒成立，所以( )3)f x 在，上为增函数，故0a符合题意6 分当0a时，由函数fx的定义域可知，必须有10ax2对3x恒成立，故只能0a，所以222(14 )(42)03)axa xax对，上恒成立7 分令22( )2(14 )(42)g xaxa xa，其对称轴为114xa， 8分因为0a所以1114a，从而( )03)g x在，上恒成立，只要(3)0g即可，因为3g24610aa，解得31331344a9 分因为0a，所以31304a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 综上所述，a的取值范围为31304，10 分（3）若12a时，方程3(1)(1)+3xbfxx可化为，xbxxx)1()1 (ln2问题转化为223ln(1)(1)lnbxxxxxxxxxx在0，上有解，即求函数32ln)(xxxxxg的值域11 分以下给出两种求函数g x值域的方法：方法 1： 因为2lng xxxxx，令2( )ln(0)h xxxxx，则xxxxxxh)1)(12(211)(，12 分所以当01,( )0 xh x时，从而( )(0 1)h x 在，上为增函数，当1( )0 xh x时，从而),1 ()(在xh上为减函数，13 分因此( )(1)0h xh而0 x，故( )0bx h x，因此当1x时，b取得最大值014 分方法 2： 因为2lng xxxxx，所以2321ln)(xxxxg设2( )ln123p xxxx，则21621( )26xxp xxxx当1706x时，0px，所以p x在17(0)6，上单调递增；当176x时，0px，所以p x在17()6，上单调递减；因为10p，故必有1706p，又22441233210peeee，因此必存在实数021176xe(，)使得0()0gx，00( )0 xxg x当时，所以0( )0g xx在，上单调递减；当01( )0 xxg x时，所以0( ),1g xx在上单调递增；当1( )0( )1xg xg x时， 所以在，上单调递减；又因为)41(ln)(lnln)(232xxxxxxxxxxxg，当10ln04xx时，则( )0g x，又(1)0g因此当1x时，b取得最大值014 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页