2022年高中数学选修4-5完整知识点 .pdf
高中数学选修 4-5 知识点1、不等式的基本性质对称性abba传递性,ab bcac可加性abacbc同向可加 性dbcadcba,异向可减 性dbcadcba,可积性bcaccba0,bcaccba0, 同向正数 可乘性0,0abcdacbd异向正数 可除性0,0ababcdcd平方法则0(,1)nnababnNn且开方法则0(,1)nnabab nNn且倒数法则babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，, 当且仅当ab时取号 . 变形公式：22.2abab 基本不等式2abababR，,当且仅当ab时取到等号. 变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时积定和最小，和定积最大，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.三个正数的算术几何平均不等式33abcabc ()abcR、 、当且仅当abc时取到等号 .222abcabbcca abR，当且仅当abc时取到等号. 3333(0,0,0)abcabc abc当且仅当abc时取到等号. 0,2baabab若则当仅当a=b 时取等号0,2baabab若则当仅当a=b 时取等号banbnamambab1， 其中000)abmn，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号 . 即调和平均几何平均算术平均平方平均 . 变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).xy xyR二维形式的柯西不等式：22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立 . 三维形式的柯西不等式：22222221231231 12233()()() .aaabbba ba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nna ba ba b向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立 .排序不等式排序原理：设1212.,.nnaaabbb为两组实数 .12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnnaba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b反序和乱序和顺序和 ，当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式: 特例 : 凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数( )f x, 对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x) 为凸或凹函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法作差，作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa将分子或分母放大缩小，如211,(1)kk k211,(1)kk k2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切 ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 . 7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化，则( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf xg xf xg xg x“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：当1a时,( )()( )( )fxg xaaf xg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当1a时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xfxg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xfxg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立max( );f xa( )fxa恒成立max( );fxa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy如原点，由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 法二： 根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，假设同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；假设异号，则表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 利用线性规划求目标函数zAxBy ( ,A B为常数的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxByxy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0lAxBy，平移直线0l据可行域，将直线0l平行移动确定最优解；第三步，求出最优解( ,)x y；第四步，将最优解( ,)x y代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中 最优解确实定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距. 假设0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值， 使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；假设0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值， 使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值 . 常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使问题简单化.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
