2022年高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习 .pdf

第三讲：三角函数单元部分易错题解析1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示：（ 1）终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上)2()kkZ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：25；536）（ 2）终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上) ()kkZ. （ 3）终边与终边关于x轴对称2()kkZ. （ 4）终边与终边关于y轴对称2()kkZ. （ 5）终边与终边关于原点对称2()kkZ. （ 6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ. 如的终边与6的终边关于直线xy对称，则_。 （答：Zkk,32）4、与2的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角，则2是第 _象限角（答：一、三）5. 弧长公式 ：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度 (1rad)57.3.如已知扇形 AOB 的周长是6cm，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。 （答： 22cm）6、 任意角的三角函数的定义： 设是任意一个角， P( ,)x y是的终边上的任意一点 （异于 原 点 ）， 它 与 原 点 的 距 离 是220rxy， 那 么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0 x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角的终边经过点P(5， 12)，则cossin的 值 为 。 （ 答 ：713） ； （ 2） 设是 第三 、 四象 限角 ，mm432sin， 则m的取值范围是 _ （答： （ 1，)23） ；（ 3） 若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）7. 三角函数线的特征是：正弦线 MP “站在x轴上 ( 起点在x轴上 ) ” 、余弦线 OM “躺在x轴上 ( 起点是原点 ) ” 、正切线 AT “站在点(1,0)A处( 起点是A) ” . 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（ 1） 若08，则y T A x B S O M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页sin,cos,tan的大小关系为_( 答：tansincos) ； （ 2）若为锐角，则,sin,tan的 大 小 关 系 为 _ （ 答 ：s i nt a n）；（ 3 ） 函 数)3s i n2l g (c o s21xxy的定义域是 _ （答：2(2,2()33kkkZ）8. 特殊角的三角函数值：3045600901802701575sin2122230 1 0 1 624624cos2322211 0 1 0 624624tan331 30 0 2-32+3cot31 330 0 2+32-39.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围， 以便进行定号； 在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 如（1）函数sintancoscoty的值的符号为_（答：大于0） ； （2）若220 x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是 _（答：0,4,43） ； （3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan_（答：125） ； （4）已知11tantan，则cossincos3sin_；2cossinsin2_（答：35；513） ； （5）已知a200sin，则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答： B） ； （6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为 _（答： 1） 。10. 三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02； (2)转化为锐角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页三角函数。 如（ 1）97costan()sin 2146的值为 _（答：2323） ； （2）已 知54)540sin(， 则)2 7 0c o s(_ ， 若为 第 二 象 限 角 ， 则)180tan()360cos()180sin(2_。 （答：54；1003）11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令如（1）下列各式中， 值为12的是A、1515sincosB、221212cossinC、222 5122 5tan.tan.D、1302cos（答： C） ； （2）命题 P：0tan( AB )，命题Q：0tan Atan B，则 P 是 Q 的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不 充 分 条 件D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 （ 答 ： C ）；（ 3 ） 已 知35s i n () c o sc o s () s i n，那么2cos的值为 _（答：725） ； （ 4）131080sinsin的值是 _（答： 4） ；(5) 已知0tan110a，求0tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 _（答：甲、乙都对）12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : （1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等） ，如（ 1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是 _（答：322） ； （2）已知02， 且129cos()，223sin()， 求c o s ()的值 （答：490729） ； （3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页数关系为 _（答：23431(1)555yxxx）(2) 三角函数名互化( 切割化弦 ) ，如（ 1）求值sin50 (13tan10 )（答： 1） ； （2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2 )的值（答：18）(3) 公式变形使用（tantantan1tantan。如（ 1）已知 A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB_（答：22） ；(2)设ABC中，33tan AtanBtan Atan B，34sin Acos A，则此三角形是 _三角形（答：等边）(4) 三角函数次数的降升( 降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin) 。如(1) 若32(,)，化简111122222cos为_（答：sin2） ； （2）函数255 3f ( x)sinxcosxcos x532( xR )的单调递增区间为_（答：51212 k,k( kZ )）(5) 式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化同) 。 如（ 1）tan(cossin)sintancotcsc（答：sin） ； （2）求证：21tan1sin21 2sin1 tan22； （3）化简：42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx（答：1cos22x）(6) 常值变换主要指“1”的变换 （221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） ，如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7) 正余弦“ 三兄妹 sincossin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”，如（ 1）若sincosxxt，则s in c o sxx_ （答：212t) ，特别提醒 ： 这里2,2t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。 （答：473） ； （3）已知2sin22sin1tank ()42，试用k表示sincos的值（答：1 k） 。13、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由tanba确定 )在求最值、化简时起着重要作用。如 （1） 若方程sin3cosxxc有实数解， 则c的取值范围是_. （答： 2,2 ） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页（2）当函数23ycosxsin x取得最大值时，tanx的值是 _(答：32)； （ 3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan= ( 答 ： 2) ；（ 4 ） 求 值 ：20sin6420cos120sin3222_(答： 32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数sin ()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 ：（1）定义域 ：都是 R。（2）值域 ：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值 1，当2xkkZ时，y取最小值 1。如（ 1）若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a_，b（答：1,12ab或1b） ； （2）函数xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是 _ （答：1, 2） ；（3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是_ 、_（答： 7； 5） ； （ 4）函数2( )2 cossin()3 sin3f xxxxsincosxx的最小值是 _，此时x_（答： 2；()12kkZ） ； （5）己知21cossin，求coss int的变化范围 （答：10,2） ； （6）若cos2sin2sin22，求22sinsiny的最大、最小值（答：1maxy，222miny） 。 特别提醒 ：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（ 3） 周期性 ： sinyx、cosyx的最小正周期都是2； ( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的 最 小 正 周 期 都 是2|T。 如 (1) 若3sin)(xxf， 则(1)(2 )( 3)( 2 0 0ffff_（答： 0） ；(2)函数4( )cosf xx2sincosxx4sin x的最小正周期为_ （ 答：） ； (3) 设函数)52sin(2)(xxf， 若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立，则|21xx的最小值为 _（答： 2）（ 4 ） 奇 偶 性 与 对 称 性 ： 正 弦 函 数sin()yx xR是 奇 函 数 ， 对 称 中 心 是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos ()yx xR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ（正 (余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如（ 1）函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页522ysinx的 奇 偶 性 是 _ （ 答 ： 偶 函 数 ）； （ 2 ） 已 知 函 数31f( x)axbsin x( a,b为常数），且57f ()，则5f ()_（答： 5） ； （3）函 数)c o s( si nc o s2xxxy的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 _ 、_ （ 答 ：128k(, )( kZ )、28kx(kZ )）；（ 4 ） 已 知3f ( x )s i n ( x)c o s ( x)为偶函数，求的值。 （答：6k( kZ )）（ 5 ） 单 调 性 ：sin2,222yxkkkZ在上 单 调 递 增 ， 在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。 特别提醒 ，别忘了kZ！16、形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量：A振幅；1fT频率（周期的倒数） ；x相位；初相；（2） 函数sin()yAx表达式的确定： A 由最值确定；由 周期 确 定 ；由图 象 上的 特殊 点 确定 ，如( )sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示，则( )f x_（答：15( )2sin()23f xx） ；（3）函数sin()yAx图象的画法 ：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0，函数 f(x)=2sin x 在4,3上为增函数，那么的取值范围是 _ 答案： 00, 0,-2 2) ，其图象如图所示。(1) 求函数 y=f(x)在-，32 的表达式；(2) 求方程 f(x)=22的解。解： (1) 由图象知A=1， T=4(632)=2，=12T在 x-6，32 时将(6，1) 代入 f(x)得 f (6)=sin(6+ )=1 -2 2 =3在 -6，32 时 f(x)=sin(x+3) y=f(x)关于直线x=-6对称在 -，-6 时 f(x)=-sinx 综上 f(x)=xxsin)3sin(6,32,6xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页(2)f(x)=22在区间 -6，32 内可得 x1=125x x2= -12y=f(x)关于 x= - 6对称=-4 x4= -43f(x)=22的解为 x-43,-4,-12,125 24、将函数xxfysin)(的图像向右移4个单位后， 再作关于x轴的对称变换得到的函数xy2sin21的图像，则)(xf可以是（） 。A 、xcos2 B、xcos2 C、xsin2 D、xsin2正解： B xxy2cossin212,作关于 x 轴的对称变换得xy2cos,然后向左平移4个单位得函数)4(2cosxyxxfxsin)(2sin可得xxfcos2)(误解： 未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页