2022年高中立体几何证明垂直的专题训练 .pdf

1 P E D C B A 高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校罗虎胜立体几何中证明线面 垂直或面面 垂直都可转化为线线垂直，而证明线线 垂直一般有以下的一些方法：（1） 通过“平移”。（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3） 利用勾股定理。（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。(1) 通过“平移”,根据若平面则平面且abba,/1在四棱锥 P-ABCD 中，PBC 为正三角形， AB 平面 PBC ，AB CD ，AB=21DC ，中点为PDE. 求证： AE 平面 PDC. 分析：取 PC 的中点 F，易证 AE/BF，易证BF平面 PDC2如图，四棱锥PABCD的底面是正方形， PA底面ABCD，PDA=45，点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；分析：取 PC 的中点 G，易证 EG/AF ，又易证A F平面 PDC于是 EG平面 PCD,则平面 PCE平面 PCDEFBACDP（第 2 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 3、如图所示，在四棱锥PABCD中，ABPAD平面,/ /ABCD , PDAD , E 是 PB 的中点，F 是 CD 上的点，且12DFAB, PH 为PAD 中 AD 边上的高。（1）证明：PHABCD平面；（2）若121PHADFC，求三棱锥 EBCF 的体积；（3）证明：EFPAB平面. 分析：要证EFPAB平面，只要把 FE 平移到 DG， 也即是取 AP 的中点 G， 易证 EF/GD, 易证 DG 平面 PAB4. 如 图 所 示 , 四 棱 锥PABCD底 面 是 直 角 梯 形,2,BAADCDADCDABPA底面 ABCD, E 为 PC 的中点 , PAAD。证明 : BEPDC平面; 分析：取 PD 的中点 F，易证 AF/BE, 易证 A F平面 PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、 在三棱锥 PABC中，2ACBC，90ACBo，APBPAB，PCAC （）求证： PCAB；（）求二面角 BAPC 的大小；A C B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 6、如图，在三棱锥PABC 中， PAB是等边三角形， PAC=PBC=90 o证明： ABPC因为PAB是等边三角形，90PACPBC, 所以Rt PBCRt PAC, 可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。（3）利用勾股定理7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1 的正方形，,1,2.PACD PAPD求证 :PA平面ABCD；8、如图 1，在直角梯形ABCD中，CDAB/，ADAB，且121CDADAB现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2（ 1）求证：AM平面BEC；（ 2）求证：BC平面BDE；_ D_ C_ B_ A_ PMAFBCDEMEDCBAF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 CADBOE9、如图，四面体ABCD 中， O、E 分别是 BD 、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面 BCD ；（2）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；（1）证明：连结OC ,.BODO ABADAOBDQ,.BODO BCCDCOBDQ在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90 ,oAOC即.AOOC,BDOCOQIAO平面BCD10、如图，四棱锥SABCD中，BCAB,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD（）证明：SDSAB平面; （）求AB与平面SBC所成角的大小解法一：（ I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形BCDE 为矩形， DE=CB=2 ，连结 SE，则,3.SEAB SE又 SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。由,ABDE ABSE DESEEI，得AB平面 SDE，所以ABSD。SD 与两条相交直线AB 、SE都垂直。所以SD平面 SAB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 （4）利用三角形全等或三角行相似11正方体ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形ABCD 的中心， M 为 BB1的中点，求证： D1O平面 MAC.分析：法一：取AB 的中点 E，连 A1E,OE,易证 AB M A1AE, 于是 AM A1E,又 OE平面 ABB1A1OE AM, AM 平面 OEA1D1AM D1O法二：连 OM, 易证 D1DOOBM, 于是 D1O OM12如图，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D 为 CC1中点 . 求证： AB1平面 A1BD；分析：取 BC 的中点 E，连 AE,B1E,易证 DCB EBB1，从而 BDEB113、.如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱CC1于点 E，交 B1C 于点 F，求证： A1C平面 BDE；（5）利用直径所对的圆周角是直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 14、如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面 .OACBPD.15、如图，在圆锥PO中，已知PO=2， O 的直径2AB,C 是狐 AB 的中点，D为AC的中点证明：平面POD平面PAC; 16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M求证：平面ABM平面PCD；证：依题设，在以为直径的球面上，则. 因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面. OAPBCMDz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页