2022年必修四平面向量数量积的物理背景及其含义 .pdf

平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识点一平面向量数量积的定义(1)定义：已知两个非零向量a 与 b，我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b，即 a b|a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.知识点二向量数量积的几何意义1投影的概念如图所示： OAa，OBb，过 B 作 BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则 OB1|b|cos .|b|cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影，|a|cos 叫做向量 a在 b 方向上的投影2数量积的几何意义：a b 的几何意义是数量积a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积思考|a|1， |b|2， a 与 b 的夹角 120 ，则 a 在 b 方向上的投影为_， b 在 a方向上的投影为_答案121解析a 在 b 方向上的投影|a|cos 1cos 120 12；b 在 a 方向上的投影|b|cos 2 cos 120 1.知识点三平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，为 a 与 b 的夹角(1)当 a， b 0时， a b|a|b|；当 a，b 时， a b |a|b|；当 a，b2时， a b0；(2)aa|a|2或|a|aaa2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页(3)cos ab|a|b|；(4)|ab|a|b|.(5)(ab)2a22a b b2；(6)(ab)2a22a b b2；(7)(ab) (ab)a2b2.知识点四向量数量积的运算律(1)abba(交换律 )；(2)( a) b (ab)a( b)(结合律 )；(3)(ab) cacbc(分配律 )思考某同学由实数乘法的三条性质：ab0? a0 或 b0；abbc，b0? ac；(ab)ca(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：a b0? a0 或 b 0；a bb c，b0? ac；(a b)ca(b c)，这三条结论成立吗？请简要说明答案 不成立，因为任意垂直的两向量a 与 b 都有 a b0.不成立，如图所示.虽然 a b b c，但 ac.不成立， 因为(a b)c 表示一个与c 共线的向量， 而 a(b c)表示一个与a 共线的向量， c 与 a 不一定共线， 所以 (a b)ca(b c)，一般情况下不会成立题型一求两向量的数量积例 1已知 |a|4， |b|5，当 (1)ab；(2)a b；(3)a 与 b 的夹角为30 时，分别求a 与 b 的数量积解(1)a b，若 a 与 b 同向，则 0 ，a b|a| |b| cos 0 4520；若 a 与 b 反向，则 180 ，a b|a| |b|cos 180 45(1) 20.(2)当 ab 时， 90 ， a b|a| |b|cos 900.(3)当 a 与 b 的夹角为30 时， a b|a| |b|cos 30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页4532103.跟踪训练1已知 |a|4，|b|7，且向量a 与 b 的夹角为120 ，求 (2a3b) (3 a 2b)解(2a3b) (3a2b)6a24a b9b a6b26|a|2 5a b6|b|2642547cos 120 672 268.题型二求向量的模例 2已知 |a|b|5，向量 a 与 b 的夹角为3，求 |ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 5 512252.|ab|ab2|a|22ab|b|22522522553.|ab|ab2|a|22ab|b|2252252255.跟踪训练2已知向量a 与 b 的夹角为120 ，且 |a|4，|b|2，求：(1)|a b|；(2)|(ab) (a2b)|.解由已知 a b|a|b|cos 42cos 120 4，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22a bb2162(4)412，|ab|23.(2)(ab) (a2b)a2a b2b216(4)2412，|(ab) (a2b)|12.题型三求向量的夹角例 3设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是60 ，求向量a2mn 与 b2n3m 的夹角解|n|m|1 且 m 与 n 夹角是 60 ，m n |m|n|cos 60 111212.|a|2mn|2mn24114m n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4114127，|b|2n3m|2n 3m2419 112m n4191 12127，ab(2mn) (2n3m)m n6m22n212612172.设 a 与 b 的夹角为 ，则cos ab|a|b|727712.又 0 ， 23，故 a 与 b 的夹角为23.跟踪训练3已知 |a|5，|b|4，且 a 与 b 的夹角为60 ，则当 k 为何值时，向量kab 与 a2b 垂直？解要想 (ka b) (a2b)，则需 (kab) (a2b)0，即 k|a|2(2k1)ab2|b|20，52k(2k 1)5 4cos 60 2 42 0，解得 k1415，即当 k1415时，向量kab 与 a2b 垂直平面向量数量积分配律的证明例 4下面是证明分配律(ab) ca cb c 的过程，请你补充完整证明：当ab 与向量 c 夹角为直角时，如图(1)所示，向量 a b在向量 c 方向上的投影|ab|cosab，c 0；向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a|cosa，c OA1，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|cosb，c OB1，易知 OA1与 OB1互为相反数，即OA1OB10.所以 |a|cosa，c |b|cos b，c |ab|cosab，c 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页两边乘以 |c|得：|a|c|cosa，c |b|c|cosb，c |a b|c|cosab， c ，a cb c (ab) c，即 (ab) ca c b c.当 ab 与向量 c 夹角为锐角时，如图 (2)所示，向量 a b在向量 c 方向上的投影为|ab|cosab，c OC1；向量 a 在向量 c 方向上的投影为图 (2)|a|cosa，c OA1，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|cosb，c OB1，OC1OA1 A1C1，A1C1OB1，OC1OA1 OB1，|ab|cosa b，c |a|cosa， c |b|cosb，c 两边同乘以 |c|得：|ab|c|cosab，c |a|c|cosa，c |b|c|cosb， c ，即 (ab) ca cb c.当 ab 与向量 c 夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(ab) ca cb c. 图(3)1已知向量a， b 和实数 ，下列选项中错误的是()A|a|a aB|ab|a|b|C (ab) a b D|ab|a|b|2已知 |a|1，|b|2，且 (ab)与 a 垂直，则a 与 b 的夹角是 ()A60 B30 C135 D453若向量a，b 满足 |a|b|1，a 与 b 的夹角为120 ，则 a aa b_.4给出下列结论：若 a 0，ab0，则 b 0；若 abbc，则 ac； (ab)c a(bc)；a b(a c) c(ab)0.若 |a b| |ab|，则 a b.其中正确结论的序号是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页一、选择题1 |a|2， |b|4， 向量 a 与向量 b的夹角为120 ， 则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于()A 3 B 2 C 2 D 12已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 a b 垂直，则 等于 ()A.32B32C32D13已知向量a， b 满足 a b0，|a|1，|b| 2，则 |2ab|等于 ()A0 B 2 2 C4 D84已知 |a|2|b|0，且关于x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则a 与 b 的夹角的取值范围是()A0，6 B3，C3，23 D6，5若非零向量a，b 满足 |a|b|，(2ab) b0，则 a 与 b 的夹角为 ()A30 B60 C120 D1506若向量a 与 b 的夹角为60 ， |b|4，(a 2b) (a 3b) 72，则向量a 的模为 ()A2 B4 C6 D12二、填空题7已知向量a 在向量 b 方向上的投影是23，|b|3，则 ab的值为 _8已知向量a 与 b 的夹角为120 ，且 |a| |b|4，那么 b (2ab)的值为 _9设非零向量a、b、c 满足 |a|b|c|，abc，则 a，b _.10已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b (ab)0，则|b|的取值范围是_三、解答题11已知 |a|4，|b|8， a 与 b 的夹角是60 ，计算：(1)(2ab) (2ab)；(2)|4a2b|.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页12已知非零向量a， b， 且 a3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角13已知 |a|1，|b|1，a，b 的夹角为120 ，计算向量2ab 在向量 ab 方向上的投影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页当堂检测答案1答案B解析因为 |ab|a| |b|cos |( 为向量 a 与 b 的夹角 )|a| |b| |cos |，当且仅当 0 或 时，使 |a b|a| |b|，故 B 错2答案C解析(ab) aa2a b0，a b a2 1，cosa，ba b|a|b|11222.又 a，b0 ，180 ，a，b 135.3答案12解析a aa b1211cos 120 12.4答案解析因为两个非零向量a、b 垂直时， ab0，故 不正确；当 a0，bc 时，abbc0，但不能得出ac，故不正确； 向量 (ab)c 与 c 共线， a(bc)与 a 共线，故 不正确；正确， a b(a c)c(a b)(ab)(ac)(ac)(ab)0.正确， |ab|ab|? (ab)2(ab)2? a b 0? ab.课时精练答案一、选择题1.答案D解析a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2 cos 120 1.2答案A解析(3a2b) ( ab)3 a2 (2 3)ab2b23 a2 2b212 180. 32.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页3答案B解析|2ab|2(2ab)24|a|24a b|b|24140 48，|2ab| 2 2.4答案B解析因为 a24|a| |b|cos ( 为向量 a与 b 的夹角 )若方程有实根，则有 0 即 a24|a| |b|cos 0，又|a| 2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos 12，又 0 ，3 .5答案C解析由(2ab) b0，得 2a bb20，设 a 与 b 的夹角为 ，2|a|b|cos |b|20.cos |b|22|a|b|b|22|b|212， 120.6答案C解析ab|a| |b| cos 60 2|a|，(a2b) (a3b)|a|26|b|2ab|a|22|a|96 72.|a| 6.二、填空题7答案2解析ab|a| |b|cosa，b |b|a|cosa，b3232.8答案0解析b(2 ab) 2ab|b|2244 cos 120 420.9答案120解析a bc，|c|2 |a b|2a22a bb2.又|a| |b|c|，2a b b2，即 2|a|b|cosa，b |b|2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页cosa，b12，a，b 120.10 答案0,1解析b (ab)ab|b|2|a|b|cos |b|20，|b| |a|cos cos ( 为 a 与 b 的夹角 )， 0 ， ，0|b|1.三、解答题11解(1)(2ab) (2ab)(2a)2b24|a|2 |b|2442820.(2)|4a2b|2(4a2b)216a216a b 4b216421648 cos 60 482256.|4a2b|16.12 解由向量垂直得a3b 7a5b 0a4b 7a2b 0，即7a2 16a b15b27a2 30a b 8b2，化简得a b12|b|2|a| |b|，cosa，ba b|a| |b|12|b|2|b|212，又 a，b0 ，a 与 b 的夹角为3.13 解(2ab) (ab)2a22a ba bb22a2a b b221211cos 120 1212.|ab|ab2a22a bb2121 1cos 120 11.|2ab|cos2ab，ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页|2ab| 2ab ab|2ab| |ab|2ab ab|a b|12.向量 2ab 在向量 a b 方向上的投影为12.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页