2022年高中数学必修：平面向量的数量积的物理背景及其含义 .pdf

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律， 然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5 个重要性质； 平面向量数量积的运算律 . 二教学目标1了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点： 1 、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班， 学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1实验法：多媒体、实物投影仪。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备1学生的学习准备：预习学案。2教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 。七、课时安排：1 课时八、教学过程( 一) 预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所做的功： W= |F| |S| cos 。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W （功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量abbcos叫做a与b的数量积（或内积） ，记作：ab，即：ab= abcos（2）定义说明：记法“ab”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180ab的符号例 1 ：已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是 60时，分别求ab.S F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页解：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角，ababcos0361 18；若a与反向，则它们的夹角180，ababcos18036（ -1 ） 18；当ab时，它们的夹角90，ab；当a与b的夹角是60时，有abab cos60 3 6219 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当ab时，有 0或 180两种可能 . 变式： 对于两个非零向量a、b，求使 |a+tb| 最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角。探究二：研究数量积的意义1. 给出向量投影的概念：如图，我们把bcos（acos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做： OB1=b cos2. 提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积ab等于a的长度 a与b在a的方向上的投影bcos的乘积 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页 3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较ab与ab的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质3. 数量积的运算律（1） 、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想：ab= ba（ab）c=a (bc) （a+ b） c =ac+bc（ 2） 、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先来讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测是不正确的。（3） 、明晰：数量积的运算律：设a和b都是非零向量，则 1 、abab=0 2 、当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab= - ab，特别地，aa=a2或a=aa 3 、abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页例2、 （师生共同完成）已知a =6，b =4, a与b的夹角为60，求（a+2b） （a-3b） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解： （a+2b） （a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b =36-34 60.5-6 44 = -72 评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式： （ 1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a+b ) (a-b)=a2b2 （四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图： 布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。 数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现， 为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论， 教师明晰后， 再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。已知向量a、b、c和实数，则：（1）ab= ba（2） （a） b=（ab)=a（b）（3） （a+ b） c=ac+bc平面向量数量积的物理背景及其含义一、 数量积的概念二、数量积的性质四、应用与提高1、 概念：例 1：2、 概念强调（1）记法例 2：（2） “规定” 三、数量积的运算律3、几何意义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3 “投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1eb=be = 2abab= 设a、b为两个非零向量，e是a与同向的单位向量. ea=ae = 3当a与b同向时，a b= 当a与b反向时，a b= 特别的a a= |a|2或aaa |4cos = 5|a b| |a|b| 三、提出疑惑：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1 说出平面向量的数量积及其几何意义；2. 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点： 。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所做的功： W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W （功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：S F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量abcos叫做a与b的数量积（或内积） ，记作：ab，即：ab= abcos（2）定义说明：记法“ab”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180ab的符号例 1 ：已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是 60时，分别求ab.解：变式：. 对于两个非零向量a、b，求使 |a+tb|最小时的t 值，并求此时b与a+tb的夹角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页探究二：研究数量积的意义1. 给出向量投影的概念：如图，我们把bcos（acos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做： OB1=b cos2. 提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较ab与ab的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质设a和 b 都是非零向量，则1、abab=0 2、当a与b同向时， ab=ab；当a与b反向时，ab= -ab， 特别地，aa=a2或a=aa3、ab a b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页3. 数量积的运算律（1） 、 提出问题7： 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2） 、明晰：数量积的运算律：例2、 （师生共同完成）已知a =6，b =4, a与b的夹角为60，求（a+2b） （a-3b） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（ 1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a+b ) (a-b)=a2b2（三）反思总结( 四 ) 当堂检测1 .已知 |a|=5， |b|=4，a与b的夹角 =120o，求ab. 2. 已知 |a|=6， |b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b) (a-3b) 已知向量a、b、c和实数，则：（1）ab= ba（2） （a） b=（ab)=a（b）（3） （a+ b） c=ac+bc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页. 3 .已知 |a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k 为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直 . 4.已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是60 时，分别求ab. 5.已知 |a|=1，|b|=2， (1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为 ，求 |a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角 . 6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n 与b=2n-3m 的夹角 . 课后练习与提高1.已知 |a|=1，|b|=2，且 (a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60 B.30 C.135 D. 2.已知 |a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为（）A.2 B.23C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a、b的夹角为3，|a|=2，|b|=1，则 |a+b| |a-b|= . 5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中x 轴、 y轴正方向上的单位向量，那么ab= . 6.已知ab、 c 与a、b的夹角均为60 ， 且|a|=1， |b|=2，|c|=3， 则(a+2b-c)_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页