2022年高中数学竞赛模拟试题一汇总 .pdf

1 高中数学竞赛模拟试题一一试考试时间： 80分钟 总分值 100分一、填空题共8 小题，5678分1 、已知 ,点( , )x y在直线23xy上移动 ,当24xy取最小值时 ,点( ,)x y与原点的距离是。2、设( )f n为正整数n十进制的各数位上的数字的平方之和，比方22212312314f。 记1( )( )fnf n，1( )( )kkfnffn，1,2,3.k，则)2010(2010f。3、 如 图 ， 正 方 体1111DCBAABCD中 ， 二 面 角11ABDA的 度 数是。4、在2010,2, 1中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。5、 假 设 正 数cba,满 足baccabcba， 则cab的 最 大 值是。6、 在平面直角坐标系xoy中，给定两点( 1,2)M和(1,4)N， 点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是。7、已知数列.,.,210naaaa满足关系式18)6)(3(1nnaa且30a，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 niia01的值是。8、函数sincostancotsincostancot( )sintancostancoscotsincotxxxxxxxxf xxxxxxxxx在( ,)2xo时的最小值为。二、解答题共3 题，分441515149、设数列na满足条件：2, 121aa，且, 3, 2, 1(12naaannn) 求证：对于任何正整数n，都有：nnnnaa111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 10 、已知曲线myxM22:，0 x，m为正常数直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线xy、曲线M、直线xy于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。1 假设|CDBCAB，求证：AOD的面积为定值；2假设BOC的面积等于AOD面积的31，求证：|CDBCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4 11 、已知、 是方程24410()xtxtR的两个不等实根， 函数)(xf122xtx的定义域为,. 求);(min)(max)(xfxftg证明：对于)2,0(iu)3,2, 1(i，假设1sinsinsin321uuu，则643)(tan1)(tan1)(tan1321ugugug. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5 二试考试时间： 150分钟总分： 200分一、 此题 50分如图，1O和2O与ABC的三边所在的三条直线都相切，,E F G H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证：直线PA与BC垂直。E F A B C G H P O1。O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 二、 此题 50分正实数zyx,，满足1xyz。证明：0225252252522525yxzzzxzyyyzyxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 三 、 此 题50分 对 每 个 正 整 数n， 定 义 函 数0( )1nf nnn（当 为平方数）（当 不为平方数）其中 x表示不超过x的最大整数，)xxx。试求：2401)(kkf的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 四、 此题50 分在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察1234567,A AA A A AA这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛 90分钟 )中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且1234,A AA A每人上场的总时间(以分钟为单位 )均被 7 整除，567,A A A每人上场的总时间(以分钟为单位 )均被13整除如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 答案与解析一、填空题1 、453。yx4222 24 2xy.33,24xy时取最小值 , 此时22xy=3 54。2、4。解： 将5)2010(f记做52010，于是有89583716420421458985292552010从 89 开始，nf是周期为 8 的周期数列。故4)89()89()89()2010(58250520052010ffff。3、60。解：连结1D C,作1CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。连结AC，设1AB，则112,3.ACADBD1Rt ABD在中，1123AB ADAEBD，在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAE CEAE中,0120 ,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。4、40183。解：三个数成递增等差数列，设为dadaa2,，按题意必须满足,20102da1004d。对于给定的,d a可以取1,2,20102d. CED1C1A1B1ABDF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 故三数成递增等差数列的个数为.1004*1005)22010(10041dd三数成递增等差数列的概率为401831004*100532010C。5、4117。解：由条件，有cbabaccab，令zacycbxba,；则2,2,2xzyczyxbyzxa，从而原条件可化为：, 1411yxzyzxzyxzxzyzyx令, tzyx则14tt，解得21712171tt或，故41172122tzzyxcab6、1.解：经过,M N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线3yx上，设圆心为( ,3)S aa，则圆S的方程为：222()(3)2(1)xayaa对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过,M N P三点的圆 S必与x轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足222(1)(3) ,aa解得1a或7a. 即对应的切点分别为(1,0)P和( 7,0)P，而过点,M N P的圆的半径大于过点,M N P的圆的半径，所以MPNMP N，故点(1,0)P为所求，所以点P的横坐标为1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 7、)32(312nn. 解：设1111,0,1,2,.,(3)(6)18,nnnnbnabb则即1111113610.2,2()333nnnnnnbbbbbb故数列13nb是公比为 2 的等比数列，11001111112 ()2 ()2(21)33333nnnnnnbbba。11200111 2(21)1(21)(1)2333213nnnninii oiiibnna。8、4.解：xxxxxxxxxxxxxfcotsin1tancos1)cot(tancotcos1tansin1)cos(sin)(xxxxxxxxxxxxcotcostansin4)cot(tancotcostansin4)cos(sin由调和平均值不等式4要使上式等号成立，当且仅当)2(sincotcostan) 1 (cotcostansinxxxxxxxx（1 ） 2得到xxxxsincoscossin，即得xxcossin。因为)2,0(x，所以当4x时，4)4()(fxf。所以4)(minxf。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 二、解答题9、证明：令10a,则有11kkkaaa，且),2, 1(1111kaaaakkkk于是nkkknkkkaaaan11111由算术 -几何平均值不等式，可得011212312311+nnnnnnaaaaaaaaaaaa注意到110aa，可知nnnnnaaa11111，即nnnnaa11110 、解： 1 设直线l：bkxy代入myx22得：02)1 (222mbbkxxk，0得：0)1(22kmb，设),(11yxB，),(22yxC，则有22112kbkxx，22211)(kmbxx，设),(33yxA，),(44yxD，易得：kbx13，kbx14，由|CDBCAB得|31|ADBC，故|31|4321xxxx，BACQPy O C x D B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 代入得|12|311)(4)12(22222kbkmbkbk，整理得：)1(8922kmb，又|1|2|kbOA，|1|2|kbOD，90AOD，229|1|8AODbSmk为定值 . 2设BC中点为P，AD中点为Q则22112kbkxxxp，24312kbkxxxQ，所以QPxx，P、Q重合，从而|DPAP，从而|CDAB，又BOC的面积等于AOD面积的31，所以|31|ADBC，从而|CDBCAB. 11 、解：设22121122,4410, 4410,xxxtxxtx则221212121214()4 ()20,2()02xxt xxx xt xx则211212212122222121()()2222()()11(1)(1)xxt xxx xxtxtf xf xxxxx又12121212211()22()20()()02t xxx xt xxx xfxf x故( )fx在区间,上是增函数。1,4t2222()()22( )max( )min( )()()1tg tf xf xff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14 2222225181(25)225162516tttttt证：2228216(3)24coscoscoscos(tan)16169cos9cosiiiiiiiuuuuguuu222 16 2416 6(1,2,3)169cos169cosiiiuu33322111111(169cos)(16 3939)sin)(tan)16 616 6iiiiiiuugu33322111sin1,(0,),1,2,33sin(sin)12iiiiiiiuuiuu且，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，123111113(759)6(tan)(tan)(tan)3416 6gugugu二试一、证明：延长PA交EF于D，则PEG和PHF分别是ACD与ABD的截线，由梅涅劳斯定理得：1DE CG APEC GA PD1BFDP AHFDPA HB12,OO都是ABC的旁切圆，P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 1()2ECCGBCCAABBFHF于是由、得：DEFD=GAAH又12Rt AGORt AHODEFD=GAAH=12AOAO而12,O A O三点共线，且,21EFFOEFEOBCPA二、 证明： 原不等式可变形为0225522255222552yxzzzxzyyyzyxxx即3225222225222225222yxzzyxxzyzyxzyxzyx由柯西不等式以及1xyz可得222222225)()(zyxyzxzyyzzyx,)(2222zyx即22222225222zyxzyyzzyxzyx同理22222225222zyxxzzxxzyzyx22222225222zyxyxxyyxzzyx上面三式相加并利用zxyzxyzyx222得32222225222225222225222zyxzxyzxyyxzzyxxzyzyxzyxzyxH G F E O2 O1 D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 三、解：对任意*,Nka，假设22) 1(kak，则kka212，设,10,ka则.21, 1221112222kakakakkakkakakaa让a跑遍区间22) 1( ,(kk中的所有整数，则22)1(21,21kakkiika于是2)1(11212)(nanikiikaf下面计算kiik21,2画一张22kk的表，第i行中，但凡i行中的位数处填写“*” 号，则这行的“*” 号共2ik个，全表的“*” 号共kiik212个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，假设j有( )Tj个正因数，则该列使有( )Tj个“ *”号，故全表的“*”号个数共kjjT21)(个，因此22112( ).kkijkT ji例如如下：ji1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 4 * 5 6 * 则)2()12()4()3()1()2() 1()()(1121nTnTTTnTTnjTafninikj由此，1512561)() 12()16()(kkkTkTkkf记,15, 2, 1),2() 12(kkTkTak易得ka的取值情况如下：k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ka3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 因此，151161783)16()(kkkakkfn据定义0)16()256(2ff，又当)3016(15,255,242,2412rrkk设，301515311515151515222rrrrrrrk，2311513012rrr，则255,242,241, 11kk从则.76815783)(783)(25612401iikfkf四、解：设各人上场时间分别为12345677 ,7,7 ,7,13 ,13 ,13ttttttt(it为正整数)得方程12345677()13()903.ttttttt令1234567,.ttttx ttty得方程713270 xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 即求此方程满足438,320 xy的整数解即64(mod7),32(mod7),3(mod7)yyy3,10,17,y相应的33,20,7.x5673.ttt的解只有 1种，56710.ttt的解有29C种，56717.ttt的解有216C种；123433.tttt的解有332C种，123420,tttt的解有319C种，12347,tttt的解有36C种 共有4224413192921636332CCCCC种。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页