2022年高中数学解析几何知识点大总结 3.pdf

- 1 - 高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：18002.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.t ank（1）.倾斜角为90的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。（3）设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k，则当21xx时，2121tanxxyyk；当21xx时，o90；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx；2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：bkxy；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kxy注意：正确理解“截距 ”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点，且（2121,yyxx则直线的方程：121121xxxxyyyy；注意：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时， 方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（0, 0 ba）则直线方程：1byax；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页- 2 - 注意： 1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式： 任何一条直线方程均可写成一般式：0CByAx； （BA,不同时为零） ；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数CBA,是否为 0 才能确定。指出此时直线的方向向量：),(AB，),(AB，2222,BAABAB（单位向量）；直线的法向量：),(BA； （与直线垂直的向量）6(选修 4-4)参数式btyyatxx00（t参数）其中方向向量为),(ba，单位向量2222,babbaa；abk；22|batPPo；点21,PP对应的参数为21,tt，则222121|battPP；sincos00tyytxx（t为参数）其中方向向量为)sin,(cos，t的几何意义为|oPP；斜率为tan；倾斜角为)0(。三、两条直线的位置关系位置关系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0) 重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页- 3 - 1221BABA时它们相交， 交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；注意： 对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于02121BBAA来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行( 或重合 )；但两直线平行( 或重合 ) 时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）1l到2l的角：把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角；它是有向角，其范围是0；注意：1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线1l与2l的夹角：是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角( 或不大于直角的角) ，它的取值范围是20；（3）设两直线方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl若为1l到2l的角 ，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；若为1l和2l的夹角 ，则12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；当0121kk或02121BBAA时，o90；注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(或)2(；五、点到直线的距离公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页- 4 - 1. 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200|BACByAxd；2. 两平行线0:11CByAxl，0:22CByAxl的距离为：2221|BACCd；六、直线系：（1）设直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去2l） ；如：011kxykxy，即也就是过01y与0 x的交点)1 ,0(除去0 x的直线方程。直线5)12()1(:mymxml恒过一个定点。注意：推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为：0)()(21xfxf；（2）与0:CByAxl平行的直线为01CByAx；（3）与0:CByAxl垂直的直线为01CAyBx；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用21/ ll由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1 (P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5 ,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页- 5 - 直线关于直线对称： （设ba,关于l对称）、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la /，则lb /，且ba,与l的距离相等。、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。八、简单的线性规划：（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl， 若 点P在 直 线l上 ， 则000CByAx； 若 点P在 直 线l的 上 方 ， 则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页- 6 - 当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为；第二部分：圆与方程2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M 在圆 C 内22020)()(rbyax M 在圆 C 上22020)()rbyax（ M 在圆 C 外22020)()(rbyax2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：（ 1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种， d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd； （3）0相交rd。2.5 两圆的位置关系x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页- 7 - 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd； （2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr； （4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r； （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆222ryx的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx上 一 点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 2.7圆的弦长问题： 1.半弦2L、 半径 r、 弦心距 d构成直角三角形， 满足勾股定理：2222dRL2.弦长公式（设而不求） ：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a|F1F2|=2c ；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页- 8 - 2标准方程：222cab焦点在x 轴上：12222byax（ab0） ； 焦点 F（ c，0）焦点在y 轴上：12222bxay（ ab0） ； 焦点 F（0, c）注意：在两种标准方程中，总有ab0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：221xymn或者),0, 0(122nmnmnymx二椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222byax（ ab0） 横坐标 -a xa , 纵坐标 -bxb （2）椭圆12222bxay（ab0） 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a x a 2.对称性椭圆关于x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4 离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作 e（10e） ，22221()beaace 越接近于 0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页- 9 - （0 e1）的点的轨迹为椭圆。 （edPF |）焦点在x 轴上：12222byax（ab0）准线方程：cax2焦点在y 轴上：12222bxay（ab0）准线方程：cay2小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、 （共四个量） ，特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6. 几何性质（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：caMFca（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22（ 3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221bSFMF其中21MFF7 直线与椭圆的位置关系：(1) 判断方法 : 联立直线方程与椭圆方程消y( 或 x) 得到关于x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000联立012222CByAxbyax消 y 得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页- 10 - 222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaACaxxBbCaACxaxBbAa联立012222CByAxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa(2) 弦 中 点 问 题 : 斜 率 为k 的 直 线l与椭 圆), 0,0( 12222nmnmnymx交于 两点),(),(2211yxByxA、）（00, yxM是 AB的中点，则：0022yxmnkAB(3) 弦长公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第四部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨 迹 叫 双 曲 线 。 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。xyP1F2FxyxyP1F2Fxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页- 11 - 范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a, 虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)F c1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率eace(1) 重要结论（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：MFca（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22（ 3 ） 焦 点 三 角 形 （ 双 曲 线 上 的 任 意 一 点 与 两 焦 点 够 成 的 三 角 形 ）：2cot2tan2221bbSFMF准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22渐近线方程xabyyabx共 渐 近 线的 双 曲 线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）xyP1F2FxyPxyP1F2FxyP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页- 12 - 直 线 和 双曲 线 的 位置（1）判断方法 : 联立直线方程与双曲线方程消y( 或 x) 得到关于x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000联立012222CByAxbyax消 y 得：222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaACaxxBbCaACxaxBbAa联立012222CByAxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa(4) 弦 中 点 问 题 : 斜 率 为k 的 直 线l与双 曲线)0, 0(12222nmnymx交 于两 点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是 AB的中点，则：0022yxmnkAB弦长公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半 实轴 长=半虚轴长；（2）其标准方程为Cyx22其中 C0；（3）离心率2e；（4） 渐近线 ：两条渐近线y=x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 ；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线 之间的线段，必被P所平分；7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页- 13 - 第五部分：抛物线知识点总结图象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线l的距离 范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1 准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yypx y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页- 14 - 焦点弦AB的几条性质11(,)A x y22(,)B xy( 以焦点在 x 轴正半轴为例) 以AB为直径的圆必与准线l相切 , 以 MN为直径的圆与AB相切与点F，即FNMFcos12cos1221ppxBFppxAF若AB的倾斜角为，则)(2sin2221通径pppxxAB2124px x212y ypapSpBFAFAOBsin22112参数方程)(222为参数tptyptx1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p联立方程法：ox 22,B xyFy11,A x yM N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页- 15 - pxybkxy220)(2222bxpkbxk设 交 点 坐 标 为),(11yxA,),(22yxB， 则 有0, 以 及2121,xxxx， 还 可 进 一 步 求 出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 xxx，2210yyy点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222pxy将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线 段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页- 16 - 弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页