2022年高考数学：函数应用题 .pdf
专题 9.1：函数应用题【拓展探究】探究 1：以分式函数为载体的函数应用题1. 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量x(万件 )间的关系为：10,623xcxpxcc 为常数，且0c6. 已知每生产1 件合格产品盈利3 元，每出现1 件次品亏损1.5 元.1将日盈利额y(万元 )表示为日产量x(万件 )的函数；2为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率次品数产品总数 100%) 【解】1假设cx0，则)6(293623)6(3xxxxxxxxy，假设cx，则03223)32(3xxxy，0)6(2)29(32xxxycxcx02当cx0，则222)6()9)(3( 3)6() 1)(29()6)(49(23xxxxxxxxy假设30c，则0y，函数在c,0上为增函数，)6(2)29(3,2maxcccycx假设63c，在)3, 0(上为增函数，在), 3(c上为减函数，当3x时，29max)3(fy. 综上，假设30c，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；假设63c，则当日产量为3 万件时，日盈利额最大. 2. 近年来，某企业每年消耗电费约24 万元 , 为了节能减排 , 决定安装一个可使用15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位 : 万元 )与太阳能电池板的面积(单位 : 平方米 )成正比 , 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C单位：万元与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位 :平方米 )之间的函数关系是( )(0,20100kC xxkx为常数 ). 记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15 年共将消耗的电费之和. 1试解释(0)C的实际意义 , 并建立 F 关于x的函数关系式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2当x为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？【解】1(0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0 时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由(0)24100kC,得2400k，所以24001800150.50.5 ,0201005Fxx xxx；2因为18000.5(5)0.252 18000.50.2559.755Fxx. 当且仅当18000.5(5)5xx，55x时取等号，所以当x为 55 平方米时 , F 取得最小值为59.75 万元 . 探究 2：以分段函数为载体的函数应用题1. 在等边ABC中,AB=6cm， 长为 1cm 的线段DE两端点,D E都在边AB上，且由点A向点B运动运动前点D与点A重合 ，FDAB,点F在边AC或边BC上；GEAB,点G在边AC或边BC上，设ADxcm. 1假设ADF面积为1( )Sf x,由,DE EG GF FD围成的平面图形面积为2( )Sg x，分别求出函数( ),( )f xg x的表达式；2假设四边形DEGF为矩形时0 xx，求当0 xx时, 设( )( )( )f xF xg x，求函数( )F x的取值范围. 解： 1 当03x时， F 在边 AC 上，0tan603FDxx，23( )2f xx；当35x时， F 在边 BC 上，0(6) tan603(6)FDxx, 3( )(6)2f xxx，23,032( )3(6),352xxf xxxx 当02x时， F、G 都在边 AC 上，0tan603FDxx，3(1)EGx33(1)3( )1322xxg xx；当23x时， F 在边 AC 上， G 在边 BC 上,3FDx, 3(5)EGx5 3( )2g x；当35x时， F、G 都在边 BC 上 ,3(6)FDx, 3(5)EGx11( )332g xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页33,0225 3( ),2321133,352xxg xxxx. 2052x 当532x时，259( ),( )545xF xF x 当35x时，2226533( ),( )40211211xxxxF xFxxx518( ),5,1045F x的取值范围为2. 如图， 长方体物体E在雨中沿面P面积为S的垂直方向作匀速移动，速度为 v v0 ，雨速沿E移动方向的分速度为c cR，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分： 1P或P的平行面只有一个面淋雨的淋雨量，假设其值与vc S成正比，比例系数为1； 2其他面的淋雨量之和，其值为12. 记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离100d，面积23SS=32. 1写出y的表达式；2设 0 v10,0 c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少 . 探究 3：以二次函数为载体的函数应用题1. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运发动通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内 ，D 为这段抛物线的最高点现在运发动的滑行轨迹所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页在平面上建立如下列图的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点 B(2，0)，单位：米1求助跑道所在的抛物线方程；2假设助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运发动安全和空中姿态优美，要求运发动的飞行距离在4 米到 6 米之间包括4 米和 6 米 ，试求运发动飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？注：飞行距离指点C 与点 E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值24yOxEDCBA【解】1设助跑道所在的抛物线方程为2000( )f xa xb xc，依题意：00000004,420,931,cabcabc解得，01a，04b，04c，助跑道所在的抛物线方程为2( )44fxxx2设飞行轨迹所在抛物线为2( )g xaxbxc0a ，依题意：(3)(3),(3)(3),fgfg得931,62,abcab解得26 ,95,baca22311( )(26 )95()1ag xaxa xaa xaa，令( )1g x得，22311()axaa，0a，31123axaaa，当31axa时，( )g x有最大值为11a，则运发动的飞行距离2233daa，飞行过程中距离平台最大高度1111haa，依题意，246a，得123a，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 米到 3 米之间2. 某单位有职工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x (xN)名职工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500 xa万元 (a0)，剩下的职工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页1假设要保证剩余职工创造的年总利润不低于原来1000 名职工创造的年总利润，则最多调整出多少名职工从事第三产业？2在 1的条件下，假设调整出的职工创造出的年总利润始终不高于剩余职工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解】1由题意，得10(1000 x)(10.2x %)101000 ，即2x500 x0 ，又 x0，所以 0 x 500 即最多调整 500 名职工从事第三产业2从事第三产业的职工创造的年总利润为310500 xax万元，从事原来产业的职工的年总利润为110(1000) 1500 xx万元，则310500 xax110(1000) 1500 xx，所以ax23500 x 1000 2x x21500 x，所以 ax22500 x1000 x，即 a2500 x1000 x1 恒成立因为2500 x1000 x210002500 xx4，当且仅当2500 x1000 x，即 x500 时等号成立，所以a5 ，又a0，所以 0a5 所以 a 的取值范围为(0，5【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
