2022年高考数学一模试卷 .pdf

湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 .1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x30 ，B=x|y=ln（1x） ，则图中阴影部分的集合为（）Ax| 1x1Bx|1 x 3Cx|x 3Dx|x 1 2复数 z=的虚部为（）A2B 2C2iD 2i 3已知 a，bR，则“ a 0，b0”是“a2+b22ab”的（）A既不充分也不要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D充分必要条件4已知，满足 ?（ 2） =3，且 |=1 ， = （1， 1），则与的夹角为（）A B C D5ABC中 A，B， C的对边分别是a，b，c，面积 S=，则 C的大小是（）A30B45C90D1356数列 an中，满足an+2=2an+1an，且 a1， a4031是函数 f （x）=x34x2+6x1 的极值点，则log2a2016的值是（）A3B4C5D 2 7如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A10+B10+C 6+2+D6+ 8已知集合A=x|x=a0+a13+a232+a333，其中 ak0 ，1，2 （k=0，1，2， 3），且 a30则 A中所有元素之和等于（）A3240B3120C 2997D 2889 9已知函数f （x）=（ a） sinx+ （a+1）cosx ，将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意xR，都有 g（x）|g （） | 成立，则a 的值为（）A 1B1C 2D2 10如图，已知点，正方形ABCD 内接于圆O ：x2+y2=1，M 、N分别为边AB 、BC的中点当正方形ABCD 绕圆心 O旋转时，的取值范围为（）A 2，2B C 1， 1D 11已知函数f（ x）=，若函数g（x）=f （ x）+x+a 在 R上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（）A 1，+） B（ 1，+） C（， 0）D（， 1 12已知函数f（ x）在 R上可导，其导函数为f （ x），若 f （ x）满足 0，y=关于直线x=1 对称，则不等式 f （0）的解集是（）A（ 1，2）B（ 1，2） C（ 1，0）（ 1，2）D（， 0）（ 1，+）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 25 分.13若双曲线C ： mx2y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l ：y= 3x1 垂直，则双曲线C的焦距为14已知点A（ 5，0）， B（ 1， 3），若圆 x2+y2=r2（r 0）上恰有两点M ， N，使得 MAB和NAB的面积均为5，则 r 的取值范围是15约束条件，若使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页16设 A为曲线 M上任意一点，B为曲线 N上任意一点，若|AB| 的最小值存在且为d，则称 d 为曲线 M ， N之间的距离（1）若曲线M ：y=ex（e 为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线 M ，N之间的距离为；（2）若曲线M ：y2+1=x，曲线 N：x2+1+y=0，则曲线M ，N之间的距离为三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某驾校为了保证学员科目二考试的通过率，要求学员在参加正式考试（下面简称正考）之前必须参加预备考试（下面简称预考），且在预考过程中评分标准得以细化，预考成绩合格者才能参加正考现将10 名学员的预考成绩绘制成茎叶图如图所示：规定预考成绩85 分以上为合格，不低于90 分为优秀若上述数据的中位数为85.5 ，平均数为83（1）求 m ，n 的值，指出该组数据的众数，并根据平均数以及参加正考的成绩标准对该驾校学员的学习情况作简单评价；（2）若在上述可以参加正考的学员中随机抽取2 人，求其中恰有1 人成绩优秀的概率18ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c向量 =（ cosA，cosB）与向量 =（ a，2c b）共线（）求角A的大小；（）设等比数列an 中， a1cosA=1，a4=16，记 bn=log2an?log2an+1，求 的前 n 项和 Sn19如图， ABC A1B1C1是地面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ ，设C1P=C1A1（0 1）（1）证明： PQ A1B1；（2）是否存在，使得平面CPQ 截面 APQB ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由20给定椭圆C ： =1 （ ab0），称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为（）求椭圆C的方程和其“准圆”方程（）点P是椭圆 C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线 l1，l2，使得 l1，l2与椭圆 C都只有一个交点，且 l1，l2分别交其“准圆”于点M ，N当 P为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；求证： |MN| 为定值21已知函数f（ x）=alnx+x2（a 为实常数）（1）当 a=4 时，求函数f （x）在 1 ，e上的最大值及相应的x 值；（2）当 x1 ，e时，讨论方程f （x）=0 根的个数（3）若 a0，且对任意的x1，x21 ，e，都有，求实数a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-1 ：几何证明选讲 22如图所示， PA为圆 O的切线， A为切点， PO交圆 O于 B、C两点， PA=3 ，PB=1 ，BAC的角平分线与BC和圆 O分别交于点D和 E（I ）求证 PA ?DC=PC ?DB ；（）求 AD?AE的值 选修 4-4 ：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=4cos（ 0），以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页（2）过点 P（ 2，0）作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C相交于 A、 B两点，证明 |PA| ?|PB| 为定值，并求倾斜角 的取值范围 选修 4-5 ：不等式选讲 24已知函数f（ x）=|x a| ，其中 a1（1）当 a=3 时，求不等式f （x）4 |x 4| 的解集；（2）若函数h（x）=f （2x+a） 2f （x）的图象与x、y 轴围成的三角形面积大于a+4，求 a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页2016 年湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 .1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x30 ，B=x|y=ln（1x） ，则图中阴影部分的集合为（）Ax| 1x1Bx|1 x 3Cx|x 3Dx|x 1 【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（?RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可【解答】解： A=x|x22x30=x| 1x3，B=x|y=ln（1x）=x|1 x0=x|x1 ，则?UB=x|x 1，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（?UB），A（?UB）=x|1 x 3 ，故选： B2复数 z=的虚部为（）A2B 2C2iD 2i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案【解答】解： z=，复数 z=的虚部为 2故选： B3已知 a，bR，则“ a 0，b0”是“a2+b22ab”的（）A既不充分也不要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D充分必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a2+b22ab?（ab）20，即可判断出结论【解答】解： a2+b22ab?（ ab）20，因此“ a 0， b0”是“a2+b22ab”的充分不必要条件故选： B4已知，满足?（ 2）=3，且 |=1 ， = （1，1），则与的夹角为（）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出 |= ，再由向量的平方即为模的平方，及向量的数量积的定义，即可得到夹角【解答】解：由 =（1，1），则 |= ，由?（ 2）=3，得 2=3，即有 12| ?| ?cos =3，即有 cos =，由 0，解得， =，故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5ABC中 A，B， C的对边分别是a，b，c，面积 S=，则 C的大小是（）A30B45C90D135【考点】余弦定理【分析】已知等式左边利用三角形面积公式化简，右边利用余弦定理化简，整理求出【解答】解： ABC中， S=absinC，a2+b2c2=2abcosC，且 S=，absinC=abcosC，即 tanC=1，则 C=45 故选： B6数列 an中，满足an+2=2an+1an，且 a1， a4031是函数 f （x）=x34x2+6x1 的极值点，则log2a2016的值是（）A3B4C5D 2 【考点】利用导数研究函数的极值；数列递推式【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出【解答】解：f （ x）=x28x+6，a1、a4031是函数 f （x）的极值点，a1、a4031是方程 x28x+6=0 的两实数根，则a1+a4031=8而 an为等差数列，a1+a4031=2a2016，即 a2016=4，从而 log2a2016=log24=2故选： D 7如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A10+B10+C 6+2+D6+ 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD 底面PAD ，BA 底面PAD ，PA AD ，PA=AD=CD=2， AB=1 即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD 底面PAD ，BA 底面 PAD ，PA AD ， PA=AD=CD=2，AB=1 PC=2 ，PB=，BC= SPBC=该几何体的表面积S=+ =6+故选： C8已知集合A=x|x=a0+a13+a232+a333，其中 ak0 ，1，2 （k=0，1，2， 3），且 a30则 A中所有元素之和等于（）A3240B3120C 2997D 2889 【考点】数列的求和；集合的确定性、互异性、无序性【分析】由题意可知a0， a1，a2各有 3 种取法（均可取0，1，2）， a3有 2 种取法，利用数列求和即可求得 A中所有元素之和【解答】解：由题意可知，a0，a1，a2各有 3 种取法（均可取0，1，2）， a3有 2 种取法，由分步计数原理可得共有3332 种方法，当 a0取 0， 1，2 时， a1，a2各有 3 种取法， a3有 2 种取法，共有332=18 种方法，即集合 A中含有 a0项的所有数的和为（0+1+2）18；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页同理可得集合A中含有 a1项的所有数的和为（ 30+31+32）18；集合 A中含有 a2项的所有数的和为（320+321+322）18；集合 A中含有 a3项的所有数的和为（331+332）27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）18+（30+31+32）18+（320+321+322）18 +（331+332）27=18（ 3+9+27）+8127=702+2187 =2889故选 D9已知函数f （x）=（ a） sinx+ （a+1）cosx ，将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意xR，都有 g（x）|g （） | 成立，则a 的值为（）A 1B1C 2D2 【考点】函数 y=Asin （x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用【分析】由三角函数中的恒等变换应用化简可得f （x）的解析式，根据平移变换可得g（x）解析式，由题意 g（x）图象关于直线对称，从而解得a 的值【解答】解： =将 f （x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的解析式为：g（x）=f （x） =asinx+2cosx ，由题意得g（x）图象关于直线对称，故选： D10如图，已知点，正方形ABCD 内接于圆O ：x2+y2=1，M 、N分别为边AB 、BC的中点当正方形ABCD 绕圆心 O旋转时，的取值范围为（）A 2，2B C 1， 1D 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】由已知，将转化为，得到=cosPON ，结合角的范围求余弦值是范围【解答】解： = cosPONPONR，cosPON 1，1，的取值范围为 1，1故选 C11已知函数f（ x）=，若函数g（x）=f （ x）+x+a 在 R上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（）A 1，+） B（ 1，+） C（， 0）D（， 1 【考点】函数零点的判定定理【分析】g（x）=0 可化为 f （x）=xa，从而作出函数的图象求解【解答】解： g（ x）=0 可化为 f （x）= xa，当 x 1，0）时， x+10 ，1），故把图象在 0 ，1）上的部分向左平移1 个单位得到f （ x）在 1，0）上的图象，再把 f （x）在 1，0）上的图象每次向左平移1 个单位连续平移就得到f （x）在 R上的图象，再作出 y=xa 的图象；如下图，由图象可得a1，a 1，故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页12已知函数f（ x）在 R上可导，其导函数为f （ x），若 f （ x）满足 0，y=关于直线x=1 对称，则不等式 f （0）的解集是（）A（ 1，2）B（ 1，2） C（ 1，0）（ 1，2）D（， 0）（ 1，+）【考点】导数的运算；其他不等式的解法【分析】令 g（x），求出导函数，当x1 时，f （ x） f（x） 0 则 g（ x） 0，判定出g（x）在（ 1，+）上单增；据y=关于直线x=1 对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，解出x 即可【解答】解：令 g（x）， 0，当 x1 时，f （ x） f（ x） 0 则 g（ x） 0，g（ x）在（ 1，+）上单增；当 x1 时，f （ x） f（ x） 0 则 g（ x） 0，g（ x）在（，1）上单减；g（ 0）=f （ 0），不等式 f （0）即为不等式g（x2x） g（0），y=关于直线x=1 对称，0 x2x2，解得 1x 0或 1x2 故选 C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 25 分.13若双曲线C ： mx2y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l ：y= 3x1 垂直，则双曲线C的焦距为【考点】双曲线的简单性质【分析】运用两直线垂直的条件，即斜率之积为1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到 m的方程，解得m ，再求 c，即可得到焦距【解答】解：由于双曲线的一条渐近线与直线l ：y=3x 1垂直，则该条渐近线的斜率为，双曲线 C：mx2y2=1 的渐近线方程为y=x，则有 =，即有 m= 即双曲线方程为y2=1则 c=，即有焦距为2故答案为： 214已知点A（ 5，0）， B（ 1， 3），若圆 x2+y2=r2（r 0）上恰有两点M ， N，使得 MAB和NAB的面积均为5，则 r 的取值范围是（1，5）【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求得 |AB|=5 ，根据题意可得两点M ，N到直线 AB的距离为2求出 AB的方程为3x+4y+15=0，当圆上只有一个点到直线AB的距离为2 时，求得r 的值；当圆上只有3 个点到直线AB的距离为2时，求得 r 的值，从而求得满足条件的r 的取值范围【解答】解：由题意可得|AB|=5 ，根据 MAB和NAB的面积均为5，可得两点M ，N到直线 AB的距离为2由于 AB的方程为 = ，即 3x+4y+15=0 若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（ 0，0）到直线AB的距离 =r+2 ，解得 r=1若圆上只有3 个点到直线AB的距离为2，则有圆心（ 0，0）到直线AB的距离 =r 2，解得 r=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页故答案为：（1，5）15约束条件，若使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是1，【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，根据使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个可得a 的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由 z=ax+y，得 y= ax+z，当 a0 时， a0，要使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个，则，a=；当 a0 时， a0，要使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个，则a=1，a= 1实数 a 的取值为 1，故答案为：1，16设 A为曲线 M上任意一点，B为曲线 N上任意一点，若|AB| 的最小值存在且为d，则称 d 为曲线 M ， N之间的距离（1）若曲线M ：y=ex（e 为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线 M ，N之间的距离为；（2）若曲线M ：y2+1=x，曲线 N：x2+1+y=0，则曲线M ，N之间的距离为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式【分析】（1）设与直线N：y=x 平行且与曲线M ：y=ex相切的直线方程为y=x+t ，切点 P（x0，y0）利用导数的几何意义可得切点P（0，1），代入 y=x+t ，解得 t=1 可得切线方程为y=x+1即可得出曲线M ，N之间的距离（2）由曲线M ：y2+1=x，曲线 N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=x 对称设与直线：y=x 平行，且与曲线N：x2+1+y=0 相切于点p（ x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出【解答】解：（ 1）设与直线N：y=x 平行且与曲线M ：y=ex相切的直线方程为y=x+t ，切点 P（x0，y0）y=ex，x0=0y0=1切点 P（0，1），1=0+t，解得t=1 切线方程为y=x+1曲线 M ，N之间的距离 =（2）由曲线M ：y2+1=x，曲线 N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=x 对称设与直线： y=x 平行，且与曲线N：x2+1+y=0 相切于点p（x， y），由曲线 N：x2+1+y=0，y= 2x，令 2x=1，解得 x=， y=切点 P到直线 y=x 的距离 d=曲线 M ，N之间的距离为故答案为：，三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某驾校为了保证学员科目二考试的通过率，要求学员在参加正式考试（下面简称正考）之前必须参加预备考试（下面简称预考），且在预考过程中评分标准得以细化，预考成绩合格者才能参加正考现将10 名学员的预考成绩绘制成茎叶图如图所示：规定预考成绩85 分以上为合格，不低于90 分为优秀若上述数据的中位数为85.5 ，平均数为83（1）求 m ，n 的值，指出该组数据的众数，并根据平均数以及参加正考的成绩标准对该驾校学员的学习情况作简单评价；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页（2）若在上述可以参加正考的学员中随机抽取2 人，求其中恰有1 人成绩优秀的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（1）由已知条件参加茎叶图得到80+=85.5 ， =83 ，由此能求出m ，n 的值和该组数据的众数，并能对参加正考的成绩标准对该驾校学员的学习情况作简单评价（2）可以参加正考的学员有5 人，其中成绩优秀的有2 人，求出在5 名可以参加正考的学员中随机抽取2 人，基本事件总数和其中恰有1 人成绩优秀包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出恰有1 人成绩优秀的概率【解答】解：（ 1）依题意， 80+=85.5 ，解得 m=6 ，由已知得 =83，解得 n=3，由茎叶图得该数据的众数是88，由于平均数为83，而预考成绩85 分以上才能参加正考，根据样本估计总体的思想，得到该驾校预考成绩并不理想，要想参加正考，必须付出加倍努力（2）可以参加正考的学员有5 人，其中成绩优秀的有2 人，在 5 名可以参加正考的学员中随机抽取2 人，基本事件总数n=10，其中恰有1 人成绩优秀包含的基本事件个数m=6 ，恰有 1 人成绩优秀的概率p=18ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c向量 =（ cosA，cosB）与向量 =（ a，2c b）共线（）求角A的大小；（）设等比数列an 中， a1cosA=1，a4=16，记 bn=log2an?log2an+1，求 的前 n 项和 Sn【考点】等比数列的性质；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（）根据向量平行得出cosA（2cb）=acosB，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A（）由题意可得等比数列的公比q，进而可得数列an 的通项公式；根据bn=log2an可得数列 bn 的通项，裂项法求 的前 n 项和 Sn【解答】解：（）向量=（cosA，cosB）与向量 =（a，2cb）共线，cosA（ 2c b）=acosB，cosA（ 2sinC sinB ）=sinAcosB ，2cosAsinC=sin （ A+B ），2cosAsinC=sinC，cosA=，A（0，），A=；（）a1cosA=1，a1=2，a4=16，公比 q=2，an=2n，bn=log2an?log2an+1=n（n+1），=，Sn=1+ =1=19如图， ABC A1B1C1是地面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ ，设C1P=C1A1（0 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页（1）证明： PQ A1B1；（2）是否存在，使得平面CPQ 截面 APQB ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质【分析】（1）由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，由两个平面平行的性质定理可得PQ AB ，由此能证明PQ A1B1（2）假设存在这样的 满足题设，分别取AB的中点 D，PQ的中点 E，连接 DE ，由已知得 CED 为二面角 APQ C的平面角，连接C1E并延长，交A1B1于 F，若平面CPQ 截面 APQB ，则 CE2+DE2=CD2，由此能求出【解答】（1）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面 APQB 上底面A1B1C1=PQ ，截面 APQB 下底面ABC=AB ，由两个平面平行的性质定理可得PQ AB ，PQ A1B1（2）解：假设存在这样的 满足题设，分别取 AB的中点 D，PQ的中点 E ，连接 DE ，由（ 1）及正三棱柱的性质可知CPQ 为等腰三角形，APQB为等腰梯形，CE PQ ，DE PQ ，CED为二面角APQ C的平面角，连接 C1E并延长，交A1B1于 F，由（ 1）得， = =， EF=，在 RtCC1E中，在RtDFE中， DE2=，若平面 CPQ 截面APQB ，则 CED=90 ，CE2+DE2=CD2，将以上数据代入整理，得 323，解得20给定椭圆C ： =1 （ ab0），称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为（）求椭圆C的方程和其“准圆”方程（）点P是椭圆 C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线 l1，l2，使得 l1，l2与椭圆 C都只有一个交点，且 l1，l2分别交其“准圆”于点M ，N当 P为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；求证： |MN| 为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II ）（ 1）由准圆x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2 只有一个公共点，求得k从而得 l1，l2方程（2）分两种情况当l1，l2中有一条无斜率和当l1，l2都有斜率处理【解答】解：（ I ）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4（II ）（ 1）因为准圆x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为P（0，2），设过点 P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（ 1+3k2）x2+12kx+9=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页因为椭圆与y=kx+2 只有一个公共点，所以 =144k249（ 1+3k2）=0，解得 k=1所以 l1，l2方程为 y=x+2，y=x+2（2）当 l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为 l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当 l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或 y=1），即 l2为 y=1（或 y=1），显然直线 l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直当 l1，l2都有斜率时，设点P（ x0，y0），其中 x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t （xx0）+y0，则，消去y 得到 x2+3（tx+ （y0tx0）23=0，即（ 1+3t2）x2+6t（ y0 tx0）x+3（y0tx0）23=0，=6t （ y0tx0）24?（1+3t2）3 （y0tx0）23=0，经过化简得到：（3x02）t2+2x0y0t+1 y02=0，因为 x02+y02=4，所以有（ 3x02）t2+2x0y0t+ （x023） =0，设 l1，l2的斜率分别为t1， t2，因为 l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以 t1，t2满足上述方程（3x02） t2+2x0y0t+ （x023）=0，所以 t1?t2=1，即 l1， l2垂直综合知：因为l1，l2经过点 P（x0，y0），又分别交其准圆于点M ，N，且 l1，l2垂直，所以线段MN为准圆 x2+y2=4 的直径，所以 |MN|=421已知函数f（ x）=alnx+x2（a 为实常数）（1）当 a=4 时，求函数f （x）在 1 ，e上的最大值及相应的x 值；（2）当 x1 ，e时，讨论方程f （x）=0 根的个数（3）若 a0，且对任意的x1，x21 ，e，都有，求实数a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明【分析】（1）把 a=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义1 ，e分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在1 ，e上的最大值及相应的x 值；（2）把原函数f （x）=alnx+x2求导，分a0 和 a0 讨论打哦函数的单调性，特别是当a0 时，求出函数 f （x）在 1 ，e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x1 ，e时，方程f （ x）=0 根的个数；（3） a0 判出函数f （x） =alnx+x2在1 ，e上为增函数，在规定x1x2后把转化为f （x2）+f （ x1）+，构造辅助函数G （x）=f （x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0 恒成立，分离a 后利用函数单调性求a 的范围【解答】解：（ 1）当 a=4 时， f （x）=4lnx+x2，函数的定义域为（0，+）当 x时，f （ x）0，所以函数f （x）在上为减函数，在上为增函数，由 f （1） =4ln1+12=1，f （e）= 4lne+e2=e24，所以函数f （x）在 1 ， e上的最大值为e24，相应的x 值为 e；（2）由 f （x）=alnx+x2，得若 a0，则在 1 ，e上 f （ x） 0，函数 f （x）=alnx+x2在1 ，e上为增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页由 f （1） =10 知，方程f （x）=0 的根的个数是0；若 a0，由 f （ x）=0，得 x=（舍），或x=若，即 2a 0， f （x）=alnx+x2在 1 ，e上为增函数，由 f （1） =10 知，方程f （x）=0 的根的个数是0；若，即 a 2e2，f （x）=alnx+x2在1 ，e上为减函数，由 f （1） =1，f（ e）=alne+e2=e2+a e2 0，所以方程f （x）=0 在1 ，e上有 1 个实数根；若，即 2e2a 2，f （x）在上为减函数，在上为增函数，由 f （1） =10， f （e）=e2+a=当，即 2e a 2 时，方程f （x）=0在1 ，e上的根的个数是0当 a=2e 时，方程f （ x）=0 在1 ，e上的根的个数是1当 e2a 2e 时， f （ e）=a+e20，方程 f （x）=0 在1 ，e上的根的个数是2当 2e2a e2时， f （e）=a+e20，方程 f （x）=0 在 1 ，e上的根的个数是1；（3）若 a0，由（ 2）知函数f （x）=alnx+x2在1 ， e上为增函数，不妨设 x1x2，则变为 f （x2）+f （ x1） +，由此说明函数G（x）=f （x）+在 1 ，e单调递减，所以G （x） =0 对 x1 ，e恒成立，即a 对 x1 ，e恒成立，而在 1 ，e单调递减，所以a所以，满足a0，且对任意的x1，x21 ， e，都有成立的实数a 的取值范围不存在请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-1 ：几何证明选讲 22如图所示， PA为圆 O的切线， A为切点， PO交圆 O于 B、C两点， PA=3 ，PB=1 ，BAC的角平分线与BC和圆 O分别交于点D和 E（I ）求证 PA ?DC=PC ?DB ；（）求 AD?AE的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由已知条件推导出 PAB PCA ，AD是BAC的角平分线，由此能够证明PA ?DC=PC ?DB （2）由切割线定理求出PC=40 ，BC=30 ，由已知条件条件推导出ACE ADB ，由此能求出AD ?AE的值【解答】证明：（） AP 为圆 O的切线， PAB= ACP ，又P 为公共角， PAB PCA ，=，AD是BAC的角平分线， PA?DC=PC ?DB （2）解： PA 为圆 O的切线， BC是过点 O的割线，PA2=PB?PC ，PC=9 ， BC=8，又 CAB=90 ， AC2+AB2=BC2=64，又由（）知=，连接 EC ，则 CAE= E AB ，ACE ADB ， =，AD?AE=AB ?AC= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页 选修 4-4 ：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=4cos（ 0），以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）过点 P（ 2，0）作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C相交于 A、 B两点，证明 |PA| ?|PB| 为定值，并求倾斜角 的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由曲线C的极坐标方程是=4cos（ 0），可得2=4cos，化为 x2+y2=4x，由于，可得y=sin 0，因此曲线C表示的上半圆（2）过点 P（ 2，0）作倾斜角为 的直线 l 方程为： y=（x+2）tan 利用直线l 与半圆相切的性质和点到直线的距离公式可得：圆心C（2， 0）到直线l 的距离 d=r， =2，化为由于曲线C表示的是上半圆，取，可得因此当直线l 与曲线 C相交于 A、B两点时，可得 的取值范围再利用割线定理可得|PA| ?|PB|=|PO|（|PO|+2r ）即可得出【解答】解：（ 1）曲线 C的极坐标方程是=4cos（ 0），2=4cos，化为 x2+y2=4x，即（ x 2）2+y2=4，由于， y=sin 0，因此曲线C表示的上半圆（2）过点 P（ 2，0）作倾斜角为 的直线 l 方程为： y=（x+2）tan 当直线 l 与半圆相切时，圆心C（2，0）到直线l 的距离 d=r ， =2，化为曲线 C表示的是上半圆，因此取，因此当直线l 与曲线 C相交于 A、B两点时，由割线定理可得|PA| ?|PB|=|PO| ?（ |PO|+2r ）=2（ 2+4）=12 选修 4-5 ：不等式选讲 24已知函数f（ x）=|x a| ，其中 a1（1）当 a=3 时，求不等式f （x）4 |x 4| 的解集；（2）若函数h（x）=f （2x+a） 2f （x）的图象与x、y 轴围成的三角形面积大于a+4，求 a 的取值范围【考点】分段函数的应用【分析】（1）写成分段函数的形式，对x 讨论，结合一次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）记 h（x）=f （2x+a） 2f （x），运用分段形式，求得h（x），由三角形的面积公式可得a22a80，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（ 1）当 a=3 时， f （x）+|x 4|= ，当 x3 时，由 f （x）4 |x 4| 得， 72x4，解得x；当 3x 4 时， f （ x）4 |x 4| 无解；当 x4 时， f （x）4 |x 4| 得， 2x74，解得xf （ x）4 |x 4| 的解集为 x|x 或x（2）记 h（x）=f （2x+a） 2f （x），则 h（x） =，所以 S=?2a?a+4，即为 a22a80，（ a1），解得 a4即有 a 的取值范围为（4，+）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页2016 年 7 月 21 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页