2022年高二数学数学归纳法证明不等式学案新人教A版 .pdf

4.1.2 数学归纳法证明不等式 (2) 学习目标： 1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景 ：关于正整数n的命题 ( 相当于多米诺骨牌), 我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证 n 取时命题 ( 即nn时命题成立)(归纳奠基）；20. 假设当时命题成立，证明当n=k1 时命题 ( 归纳递推）.30. 由 10、20知，对于一切 nn的自然数 n 命题！( 结论）要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.数学归纳法的应用：例 1. 求证：23mem，其中1m，且mN例 2 已知数列na的各项为正，且111,(4),2nnnaaaanN. （1）证明12,nnaanN; （2）求数列na的通项公式na.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页例 3 ( 06 湖南）已知函数( )sinf xxx, 数列na满足 : 1101,(),1,2,3,nnaaf an证明 : ( ) 101nnaa; () 3116nnaa.例 4 （09 山东）等比数列na的前 n 项和为nS, 已知对任意的nN, 点( ,)nn S均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数 )的图像上 . （1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记22 ( l o g1 ) ()nnbanNw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明：对任意的nN，不等式1212111 1nnbbbnbbb成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页选修4-5练习 4.1.2数学归纳法证明不等式（2）姓名1、正数 a、b、c 成等差数列，当n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn.2、正数 a、b、c 成等比数列，当n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn.3、若 n 为大于 1的自然数，求证：1111312224nnn. 4、 （05 辽宁）已知函数3( )(1)1xf xxx, 设数列na满足111,()nnaaf a，nb满足*12|3 |,()nnnnbaSbbbnN（）用数学归纳法证明1(31)2nnnb；（）证明23.3nS.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页5、 （05 湖北）已知不等式nnn其中,log21131212为大于 2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足,4, 3,2,),0(111nannaabbannn证明 : ,5,4,3,log222nnbban6、 (09 广 东 ）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn从点( 1,0)P向曲线nC引斜率(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy（1）求数列nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112 sin1nnnnnxxxxxxxy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页参考答案 : 1. 关于正整数n的命题 ( 相当于多米诺骨牌), 我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证 n 取第一个值时命题成立( 即nn时命题成立)(归纳奠基）；20. 假设当 n=k 时命题成立，证明当n=k1 时命题也成立( 归纳递推）.30. 由 10、20知，对于一切 nn的自然数 n 命题都成立！(结论）要诀: 递推基础 不可少 , 归纳假设 要用到 , 结论写明 莫忘掉 .例 1. 求证：23mem，其中1m，且mN分析：此题是2004 年广东高考数学试卷第21 题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明（1）当 m=2 时，44232e，不等式成立（2）假设*(2,)mk kkN时，有23kek，则2(1)22236kkeeek ek，2k，63(1)330kkk，即63(1)kk从而2(1)63(1)kekk，即1mk时，亦有23mem由（ 1）和（ 2）知，对1,mmN都成立证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明220122223(1 1)332(21)123(1211)21230mmmmmemmCCCmmmmmmmmmm当1m，且mN时，23mem例 2（2005 年江西第21 题第（ 1）小题，本小题满分12 分）已知数列na,:的各项都是正数且满足0111,(4),.2nnnaaaanN（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an. 分析 ：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解： （1）方法一用数学归纳法证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页1 当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa210aa，命题正确 . 2 假设 n=k 时有.21kkaa则111111,(4)(4)22kkkkkknkaaaaaa时11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa又2111(4)4(2) 2.22kkkkaaaa1kn时命题也正确. 由 1 、2 知，对一切nN 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1 当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa2010aa；2 假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaa2,nnba令则21222221 222121111111()( )( )222222nnnnnnnbbbbb又 bn=1，所以211(),2nnb21122()2nnnab即本题也可先求出第（2）问，即数列na的通项公式2112()2nna，然后利用函数211( )2()2xf x的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页例 3（06 年湖南卷 . 理 .19 本小题满分14 分）已知函数( )sinf xxx,数列 na满足 :1101,(),1,2,3,.nnaaf an证明 :()101nnaa;()3116nnaa. 证明 : （I） 先用数学归纳法证明01na， 1,2,3, (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii). 假设当 n=k 时结论成立 ,即01ka.因为 0 x0 成立 .于是31()0,sin06nnnng aaaa即故3116nnaa点评： 不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识.例 4解(1) :因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数的图像上 .所以得nnSbr,当1n时,11aSbr, 当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb, 又因为 na为等比数列 ,所以1r,公比为b,1(1)nnabb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1222(log1)2(log21)2nnnban则1212nnbnbn, 所以12121113 5 721 2 4 62nnbbbnbbbnw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 721 12 4 62nnbbbnnbbbn成立 . 当1n时,左边 =32,右边 =2,因为322,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即12121113 5 721 12 4 62kkbbbkkbbbk成立 .则当1nk时,左边 =11212111113 5 721 23 2 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk所以当1nk时,不等式也成立 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式 ,以及已知nS求na的基本题型 , 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 练习: 1、 试证明：不论正数a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n 1,nN*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn2bn. 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0 恒成立 (a、b、c 为正数 )，从而ak+1+ck+1ak c+ck a. 2.证明： (1)设 a、b、c 为等比数列， a=bq,c=bq 0 且 q 1)an+cn=nnbq+bnqn=bn(1nq+qn)2bn(2)设 a、b、c 为等差数列，则2b=a+c 猜想2nnac (2ac)n(n 2 且 nN*) 下面用数学归纳法证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2，222()22acac设 n=k 时成立，即() ,22kkkacac则当 n=k+1 时，11124kkac(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 14(ak+1+ck+1+ak c+ck a)= 14(ak+ck)(a+c)(2ac)k (2ac)=(2ac)k+1根据、可知不等式对n1,nN*都成立3、 若 n 为大于 1 的自然数，求证：2413212111nnn. 证明： (1)当 n=2 时，2413127221121(2)假设当 n=k 时成立，即2413212111kkk2413) 1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当所以：对于nN*，且 n1 时，有2413212111nnn4、（05 年辽宁卷 .19 本小题满分12 分）已知函数3( )(1)1xf xxx设数列na满足111,()nnaaf a，nb满足*12|3 |,()nnnnbaSbbb nN（）用数学归纳法证明1( 31)2nnnb；（）证明2 3.3nS分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力（）证明：当.1121)(,0 xxfx时因为a1=1， 所以*).(1Nnan下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1nnnb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页（ 1）当 n=1 时， b1=13，不等式成立，（ 2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1kkkb那么kkkkaaab1|3|)13(|3|11.2)13(2131kkkb所以，当n=k+1 时，不等也成立。根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任意n N*都成立。（）证明：由（ ）知，.2)13(1nnnb所以12212) 13(2)13() 13(nnnnbbbS2131)213(1)13(n.33221311)13(故对任意.332,nSNn）5、（05 年湖北卷 .理 22.本小题满分14 分）已知不等式nnn其中,log21131212为大于2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足, 4, 3, 2,),0(111nannaabbannn（）证明,5 ,4 ,3,log222nnbban（）猜测数列na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；分析： 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （）证法 1：当,111,0,211111nanaanaannaannnnnnnn时即,1111naann于是有.111,3111,211112312naaaaaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n 3 时有，.log211121naan.log22.2log2log2111,2221nbbabnbnbabann证法 2：设nnf13121)(，首先利用数学归纳法证不等式.,5 ,4,3,)(1nbnfban（i ）当 n=3 时，由.)3(11223313333112223bfbaaaaaa知不等式成立. （ii ）假设当n=k（k 3）时，不等式成立，即,)(1bkfbak则1)(1)1(11)1(1) 1() 1(1bbkfkkakkakakakkkk,) 1(1)11)(1)() 1()1() 1(bkfbbkkfbbbkfkkbk即当 n=k+1 时，不等式也成立. 由（ i ） 、 （ii ）知，.,5 ,4,3,)(1nbnfban又由已知不等式得.,5 ,4 ,3,log22log21122nnbbbnban（ ）有极限，且.0limnna（ ）,51log2,log2log22222nnnbb令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页则有,10242,10loglog1022nnn故取 N=1024，可使当nN时，都有.51na6、 解 ： （ 1） 设 直 线nl：)1(xkyn，联立0222ynxx得0)22()1 (2222nnnkxnkxk，则0)1 (4)22(2222nnnkknk，12nnkn（12nn舍去）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22222)1(1nnkkxnnn， 即1nnxn， 112)1(nnnxkynnn（ 2） 证 明 ： 121111111nnnnnxxnnw.w.w.k.s.5.u.c.o. m 12112125331212432112531nnnnnxxxxnnnnxxxxxx1112531由于nnnnxxnyx11121， 可令函数xxxfsin2)(， 则xxfc o s21)(，令0)(xf，得22cosx，给定区间)4,0(，则有0)(xf，则函数)(xf在)4,0(上单调递减，0)0()(fxf，即xxsin2在)4,0(恒成立，又4311210n，则有121sin2121nn，即nnnnyxxxs i n211.w.w.w.k.s.57、 已知数列 bn是等差数列，b1=1,b1+b2+ +b10=145. (1)求数列 bn 的通项公式bn; (2)设数列 an 的通项 an=loga(1+1nb)(其中 a0 且 a 1) 记 Sn是数列 an的前 n 项和，试比较 Sn与13logabn+1的大小，并证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页(1) 解：设数列 bn的公差为d, 由题意得311452)110(10101111dbdbb, bn=3n2 (2) 证明：由bn=3n2 知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+ +loga(1+231n) =loga(1+1)(1+41) (1+ 231n) 而31logabn+1=loga313n, 于是，比较Sn与31logabn+1的大小比较 (1+1)(1+41) (1+231n) 与313n的大小 . 取n=1，有 (1+1)=33311348取n=2，有 (1+1)(1+33312378)41推测： (1+1)(1+41) (1+231n) 313n (*) 当n=1 时，已验证 (*) 式成立 . 假设n=k(k 1) 时(*) 式成立，即 (1+1)(1+41) (1+231k) 313k则当n=k+1 时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3kkkk3131323kkk333222333331)1( 343)23(13130)13(49)13() 13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk31)1(3)1311)(2311()411)(11(kkk从而, 即当n=k+1 时， (*) 式成立由 知， (*) 式对任意正整数n都成立 . 于 是 ， 当a 1 时 ， Sn31logabn+1, 当0 a 1 时 ， Sn31logabn+1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页