2022年整式的乘除和因式分解 .pdf

整式的乘除一、知识点睛：在本章所有的知识中，幂的运算性质是最基础的，它是单项式乘除法、多项式乘除法以及使用乘法公式运算的必备知识；其中，单项式乘除法又是多项式乘除法运算的知识基础. 它们之间的关系可有下面的知识结构图来表示：三、基础知识学习本章包括幂的运算性质、单项式乘除法、 多项式乘除法、 乘法公式四部分内容. 其中，乘法公式是重点. 1、幂的运算性质包括：（1）同底数幂的乘法：aman=am+n(m,n 为正整数 )；（2）幂的乘方： (am)n=amn(m,n 为正整数 )；（3）积的乘方： (ab)n=an bn(n 为正整数 )；（4）同底数幂的除法：aman=am-n(a0, m,n 为正整数，并且mn). 2、单项式乘除法主要指两种运算：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式除以单项式. 3、多项式乘除法学习了三种运算：（1）单项式与多项式相乘；（2）多项式与多项式相乘；（3）多项式除以单项式. 4、本章中介绍了两种（三个）乘法公式：（1）平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2；（2）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2. 五、 典型例题：例 1下列计算错误的是( ) Aa2a4=a8 B.2a3a=2a2 C.(a3)2=a6 D.(a1)2=2a1 . 例 2在下列计算中, 正确的是（）A.（ab2）3=ab6 B. （3xy）3=9x3y3 C.（2a2）2=4a4 D. （2）2=41例 3用小数表示 3 10-2，结果为 ( ) A.-0.03 B.-0.003 C.0.03 D.0.003 例 4.将2013,2,61这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页A.0216123 B.1610223C.2302161D.0223161例 5. 计算 x2y3(xy)2的结果是 ( ) Axy B x C y D. xy2 例 6. 若 aa3=1,则 a 等于（）A.1，0； B.1，3；C.1，-1； D.1，-1，3. 例 7.下列计算正确的是（）A.xxxxxx41281324232 B.3322yxyxyxC.21611414aaa D.222422yxyxyx例 8.下列各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x y)2=(yx)2B.(x+6)(x 6)=x26 C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x2)+x(2 x)=(x 2)(x 6) 例 9. 观察下列各式（ x1） （x1）=x21，（x-1 ） （x2xl ）=x3l （xl ） （x3x2xl ）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x1） （xnxn-1 x1） . 例 10. 请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是例 11.多项式142x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）. 例 12.计算：(1)(a2b)(3a7b)；(2)(16x2y3z+8x3y2z)8x2y2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页变式练习 : 一. 选择题：1.下列计算正确的是( ) A.(-x)(-x) (-x)2=(-x)4=-x4 B.-x (-x)2x2=-x x2x2=-x4C.(-x)2(-x)3 (-x)4=x9 D.(-x) (-x)3 (-x)5x = -x102. 下列各式中，计算过程正确的是( ) Ax3十 x3=x3+3=x6 B. x3x32x3x6Cxx3x5= x0+3+5=x8Dx2( x)3=x2+33.(-m2n3)6(-m2n3)2= （ ) A.m8n12B.m6n9C.-m8n12D.-m6n9 4. 下列各数 (- 2)0，-(-2) ，(-2)2，(-2)3中，负数的个数为 ( ) A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个5. 下列关系式中，正确的是 ( ) A.(a b)2=a2-b2 B.(a+b)(a - b)= a2-b2C.(a+b)2= a2+b2D.(a+b)2= a2-2ab+b26.2323232)1()3(32nmnm( ) A.4m10n10B.-12m13n12C.-12m13n10D.12 m13n127. 下列计算正确的是( ) A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b28.(-x-y)2= ( ) A.x2+2xy+y2 B.-x2-2xy-2y2 C.x2-2xy+y2 D.-x2+2xy-y29.计算结果是 x2+7x-18 的是 ( ) A.(x-1)(x+18) B.(x+2)(x+9) C.(x-3)(x+6) D.(x-2)(x+9)10. 若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2, 则m=( ) A.9b2 B.3b2 C.3b D.3b 二. 填空题：11. 计算 :4233)221nmnm（=_.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页12. 计算 : (-1.2 102)2(5 103)3(2 104)2=_.13. 计算 :(-x)2(-x)3+2x(-x)4-(-x) x4=_.14. 计算 :-(y3)2(x2y4)3(-x)7=_. 15. 计算 :2a(a2-3a-4)-a(2a2+6a-1) =_. 16. 计算 :4131121xx=_.17. 计算： (x+4)(x-4)-(x-4)2=_. 18. 计算： (x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16) =_. 19. 计算 :533233213221abccbacab=_. 20. 计算 : (-2a2bc)2-4a5b3c2 (2ab)2=_. 三.解答题：21. 计算 : -(a2)32(ab2)3(-2ab) 22. 计算 :abcbaba721)3()2(2233223. 计算 :(2a2-3a+1) (-2a)-(4a3-3a2+2a) 2a 24. 计算 :(x+3)(x+4)-(x-1)(x+2) 25. 计算 :(2x2+3x-1)(x+2)-(x+2)(x+1) 26. 计算： a4-(a-b)(a+b)(a2-b2) 27. 计算： (2a+b-c)(2a+b+c) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页28. 用乘法公式计算：8713811429. 计算 : 2a(-4ab2)3+4ab(-2a)2+12ab2(ab2)3 (-4a2b)30. 计算： (2m4n3+16m3n-8m2n5) (-2m2n) (-mn)331.解方程 :2x(x-1)-x(3x+2)=-x(x+2)-12; 四. 拓展题：1. 若x2n=5, 求(3x3n)2-4(x2)2n的值 . 2. 已知 4x=23x-1，求 x的值。3. 已知 a2n=3,a3m=5,求a6n-9m的值。4. 已知 a+b=5,ab=6, 求a2+b2,a4+b4的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页因式分解一.提公因式法1. 提取公因式探讨： 例.14abx8ab2x+2ax=_变式练习：把下列各式分解因式：（1）ababba26422（2）6（ab）212（ab）（ 3）x(x+y)2x(x+y)(x y) （ 4）a（xy） b（yx）+c（xy）; (5)5 （m n）2+2（n m ）3 (6)x43x2+x2.运用公式法：公式：a2b2=（a+b） （ab） a22ab+b2=（ab）2a2+2ab+b2=（a+b）2因式分解的方法分析顺序：先提公因式再用公式二、典型例题：1. 下列多项式分解因式 : x-x52. 分解因式 : 936362xx3. 分解因式 : 222121baba4. 分解因式 :b2-(a-b+c)2 5. 分解因式 : a2(a-2b)2-9(x+y)2 三、变式练习 : 1. 若 x2+2(m-3)x+16 是完全平方式，则m的值等于 ( ) A.3 B.-5 C.7. D.7 或-1 2. 若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则 n 的值是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.22006+322005522007的值不能被下列哪个数整除 ( ) A3 B5 C22006 D220054. 分解因式： 4x2-9y2= 5.若 4a4ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页6.已知 x3y=3，则223231yxyx7. 已知 x=12，求 2x2x24+4的值8.因式分解 : (1).cbcba33)(22(2).)1(4)(2yxyx9.先分解因式，再求值：655222bababa，其中92,96 ba。10.已知 x2y2=63，x+y=9，求 x 与 y 的值11. 已知多项式 ( a2+ka+25)b2，在给定 k 的值的条件下可以因式分解（1）写出常数 k 可能给定的值；（2）针对其中一个给定的k 值，写出因式分解的过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页12. 阅读题先阅读理解：(1). 计算后填空：21 xx；13 xx；(2). 归纳、猜想后填空：xxbxax2(3). 运用 (2) 的猜想结论，直接写出计算结果：mxx2(4). 根据你的理解，分解下列因式：1032xx分解因式：).22)(22()2()2(4)44(4222222244xxxxxxxxxx仿照这种方法把多项式644x分解因式。先阅读： x2+2x-3解：原式 x2+2x+1-1-3 (x2+2x+1)-4 (x+1)2-4 (x+1+2)(x+1-2) (x+3)(x-1) ：再分解因式 : 在实数范围内分解因式： 4a2+4a-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页整式的乘法与因式分解课后练习一、选择题1下列计算中正确的是()Ab2 b32b5Ba4 aa4Ca2 a4a8D(a2)3 a62(xa)(x2axa2)的计算结果是()Ax3 2ax2a3Bx3a3Cx3 2a2xa3Dx32ax22a2a33下面是某同学在一次 测验中的计算摘录，其中正确的个数有()3x3 (2x2) 6x5； 4a3b (2a2b) 2a； (a3)2a5； ( a)3 (a) a2. A1 个B2 个C3 个D4 个4已知被除式是x32x21，商式是x，余式是 1，则除式是 ()Ax2 3x1 Bx22xCx21 Dx23x1 5下列各式是完全平方式的是()Ax2 x14B1 x2Cxxy1 Dx22x1 6把多项式ax2ax2a 分解因式，下列结果正确的是()Aa(x2)(x1) Ba(x2)(x1) Ca(x1)2D(ax 2)(ax1) 7如 (xm)与(x3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ()A 3 B3 C0 D1 8若 3x15,3y5，则 3xy等于 ()A5 B3 C15 D10 二、填空题9计算 (3x2y) (213xy)_. 10计算：22()()33mnmn_. 11计算：223()32xy_. 12计算： (a2)3(a3)2a2 a4 2a9 a3_. 13当 x_时， (x4)01. 14若多项式x2axb 分解因式的结果为(x1)(x2)，则 ab 的值为 _15分解因式m3 4m = . 16. 因式分解：mmxmx242217.若|a2|b22b 10，则 a_，b_. 18已知 a1a3，则 a221a的值是 _三、解答题19计算：(1)(ab2)2 ( a3b)3 (5ab)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页(2)x2(x2)(x2)(x1x)2；(3)( xy)2(xy)2 (2xy)(4)2()abc(5)计算：9199100101020把下列各式因式分解：(1)3x12x3；(2)2a312a218a；(3)9a2(x y)4b2(yx)；(4)(xy)22(xy)1. 21先化简，再求值2(x3)(x2)(3a)(3a)，其中， a 2， x1. 22已知： a，b，c 为 ABC 的三边长，且 2a22b22c22ab2ac 2bc，试判断 ABC 的形状，并证明你的结论23已知 n 为整数，试证明22)1()5(nn的值一定能被12 整除.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页