2022年常微分方程第三章测试卷及答案 .pdf

多练出技巧巧思出硕果常微分方程第三章测试卷班级姓名学号得分一、填空题（ 30 分）1，则称函数为在 R 上关于y 满足利普希兹条件。2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间hxx0内的误差估计式为3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(yxy的解是唯一的，记为),(00yxxy,则成立关系式在解的存在范围内。4， 若函数),(yxf以及yf都在区域 G 内连续，则方程的解),(00yxxy作为00,yxx的函数在它的存在范围内的。5，若函数),(yxf在区域 G 内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，则 方 程 的解),(00yxxy作 为00,yxx的 函 数 在它 的 存 在 范围 内的。6, 微分方程的奇解是指二、解答题（ 50 分）1，求曲线0sincospayax的奇解。这里a是参数，p为固定常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果2，求21yy的奇解1y3，求初值问题22yxdxdy及0)1(y；1, 11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果4，讨论212ydxdy分别过点（ 0，0） ， （3,2ln）的解的存在区间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果5，利用克莱洛方程求pxpy1的奇解，dxdyp三、证明题（ 20 分）假设函数),(yxf于),(00yx的邻域内是y的不增函数，试证方程),(yxfdxdy满足条件00)(yxy的解于0 xx一侧最多只有一个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果常微分方程第三章测试卷一1， 若 存 在 常 数L0 。 使 得 不 等 式2121),(),(yyLyxfyxf， 对 于 所 有Ryxyx),(),(21都成立2，1)!1()()(nNnhnMLxx。3，),(00yxxy4， 连续可微的。5,连续的6, 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；二1 解：由0sincospayax0cossinayax得到222pyx故所求奇解为222pyx2 解：易解得其通解为：)sin(cxy又21yyyf令yf则有1y3 解：1, 1 ba, 4),(yxfM a xM41),(MbaM i nhLyyf22故1)!1()()(nNnhnMLxx=241精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果;4211631893)(7432xxxxx4解：显然212y在整个平面上是连续又yyf，所以),(yxf212y满足局部利普希兹条件，从而满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件。易知方程的解为xxcecey11及1y1、 过（ 0，0）的解为xxeey11),(x，xxeey11有意义，又由解的唯一性知：xxeey11与1y不相交，故此方程解的存在区间为),(2、 过（3,2ln）的解为：xxeey11当yx,0故方程的解向左只能延拓到0 x。又xxeey11与1y不相交故方程的解的存在区间为),0(。5，解：由pxpy1与012px可得：xy42三，证明：假设满足条件00)(yxy的解于0 xx有两个)(1xy，)(2xy则)(01xy=0y)(02xy=0y令)(x=)(1xy-)(2xy0)(x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果)(1xy与)(2xy为连续函数。不妨假设在,(10 xx上)(1xy)(2xy于是,(, 0)(10 xxxx0),(),()()()(2121yxfyxfdxxdydxxdydxxd又0)(x故在 10, xx上0)(x矛盾，因此命题成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页