2022年高三数学文科函数的周期性知识精讲人教版 .pdf
高三数学文科函数的周期性知识精讲一. 本周教学内容：函数的周期性（一）概念对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，)()(xfTxf都成立，则把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。注：（1）周期函数的周期T 未必是正数未必有正周期如：0,(,sinxxy，显然2T是函数的一个周期，故xysin，0,(x是周期函数，假设)(xf有一个正周期T，当)0 ,( Tx时，0,(Tx，故)(Txf无意义，所以0 ,(,sinxxy不存在正周期。（2）若 T 是周期函数的周期，T未必是函数的一个周期，但若)(xf是定义在R 上的周期函数，则成立。如0,(,sinxxy，2是函数的一个周期，而2不是周期。（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期如为无理数为有理数xxxD, 0, 1)(任一有理数是)(xf的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期。（4）周期函数的周期不止一个事实上，如果T 是周期函数)(xf的周期，用数学归纳法易证nT（*Nn）也是)(xf的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。（5）周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。（ 6 ） 周 期 函 数 的 定 义 域 内 的 点 不 一 定 是 连 续 的 ， 可 能 是 有 间 断 的 ， 如 函 数),(1Znnxy是周期函数，定义域是整数集。（7）两个周期函数的和未必是周期函数如xxxf2sincos)(，假设)(xf是以 T 为周期的周期函数则xxTxTx2sincos)(2sin)cos(，对任Rx恒成立令Txx,0代入上式，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页12sincos12sincos)(2sin)cos(0sin0cos0sin0cos2sincosTTTTTTTT)(22)(202sin1cosZnnTZmmTTT0T0nm于是nm42矛盾，故)(xf非周期函数（二）性质1. 设)(xf是以 T 为周期的函数，证明（1）对任意正整数n，nT也是)(xf的周期（2）)(xf有最小正周期T，则)(xf的所有周期都是T 的整数倍注： 若)(xf是定义在R 上的周期函数，则（1）中Zn证：（1）)()1() 1()(xfTnxfTTnxfnTxf（2）设t是)(xf的任意一个周期，且Tt，则存在Nn，使rnTt（Tr0）若0r，则)()()()(rxfrnTxftxfxf，即r也是)(xf正周期，而Tr与 T 的最小性矛盾，故nTtr,02.（1）若)(xf是数集 A 上的周期函数，则)(1xf是数集,0)(|Axxfx上的周期函数（2）若)(xf有最小正周期T，则 T 也是函数)(1xf的最小正周期证：（1）设 T 为)(xf周期，则任Ax，ATx，且0)(xf有)()(xfTxf从而)(1)(1xfTxf，即 T 是)(1xf的周期。（2） 由 （1） 知 T 也是)(1xf的正周期， 假设 T 不是)(1xf的最小正周期， 则存在),0(TT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页是)(1xf的周期，即)()()(1)(1xfTxfxfTxf即T也是)(xf的周期， 且为正数， 这与 T 是)(xf的最小正周期矛盾，所以 T 也是)(1xf的最小正周期3. 函数)(xf以 T 为最小正周期函数)0)()(abaxfxF以aT为最小正周期证（充分性）设aT是)(xF的最小正周期，令tbax，则)()(abtFtf)()(abxFxf)()()()()(xfabxFaTabxFabTxFTxf假设 T 不是)(xf的最小正周期，若存在TT0是)(xf的周期，则)()()()()(xFbaxfbTaxfbaTxafaTxF即aT是函数)(xF的周期与已知aT是)(xF最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充分性证明，略。4.（ 1）设)(ufy是定义在数集A 上的函数，)(xu是数集B 上的周期函数，且)(BA，则复合函数)(xfy为 B 上的周期函数。证明： 设 T 是（x）的周期，则对任意Bx，且BTx，有)()(xTx，从而)()(xfTxf即)(xfy为 B 上周期函数推论：若)(xf是周期函数，则cxfy)(，)(xcfy，nxfy)(（*,NnRc）)(xfy仍为周期函数（2）若 T 是)(xu的最小正周期，则复合函数)(xfy的最小正周期TT0如xxuuufcos)(,)(2复合函数xxf2cos)(为周期函数，且最小正周期0T，而xxcos)(最小正周期2T，TT0（3）若)(ufy是数集 A 上具一一映射的函数，)(xu是数集 B 上具有最小正周期T的函数，则T 也是复合函数)(xfy的最小正周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页证： 由（ 1）T 也是复合函数)(xf的周期，假设T 不是)(xfy的最小正周期，则存在),0(TT为)(xf的周期，即对任Bx，BTx有)()(xfTxf而)(ufy在 A 上具有一一映射，则)()(xTx，即T是函数)(x的周期，这与T 是)(x的最小正周期矛盾得证。（ 4）设)(1xf与)(2xf是数集A 上分别以T1和T2为正周期的函数，且nmTT12（*,Nnm），则它们的和、差、积是A 上以1mT（或2nT）为周期的周期函数证：)()()()()()(211xgxfnTxgxfmTxgmTxf)()()()(11xgxfmTxgmTxf但是，如果1T与2T分别是)(1xf与)(2xf的最小正周期， 那么1T与2T的最小公倍数不一定是)()(21xfxf，)()(21xfxf的最小正周期， 如x2sin与x2cos的最小正周期都是， 显然，最小公倍数是，并不是)1(cossin22xx的最小正周期又如xsin的最小正周期是2，显然2不是xxx2sinsinsin的最小正周期（5）对于定义在R 上的函数)(xf，若总有)()(axfaxf（0a），则)(xf是以a2为一个周期的周期函数，反之，若02a为函数)(xf的一个周期，则必有)()(axfaxf推论：对于定义在R 上的函数)(xf，且0,baRba，若有)()(bxfaxf总成立，则)(xf是以ba为一个周期的周期函数证： （）对)()(axfaxf，令tax，那么ataxatx2,，则有)2()(atftf（数代换，令ax代x代入)()2(xfaxf即得证）【模拟试题】1. 已知为非零常数（1）设)(1)(1)(xfxfxf，求证)(xf是周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页（2）设)(1)(1)(xfxfxf，求证)(xf是周期函数2. 已知)(xf是定义在R 上的函数，且2)1 (),(1)(1)2(fxfxfxf，求)1999(f的值。3. 已知函数)(xf定义域为R，且对于x的任意一个值都有)1()1()(xfxfxf，求证)(xf是周期函数。4. 对任意整数x，) 1()1()(xfxfxf且9)0(f，93)4(f，求)59(f的值。5. 函数)(xf在 R 上有意义， 满足（1）)(xf为偶函数， 且1)0(f，（2）)1()(xfxg为奇函数，试求)2000(f的值。6. 已知定义在R 上的奇函数)(xf满足)2()2(xfxf， 且0)3(f， 则方程0)(xf在区间（ 0， 10）内实根的个数为（）A. 2 B. 3 C. 9 D. 7 7. 定义在 R 上的偶函数)(xf恒有) 1()1(xfxf成立，且当3,2x时xxf)(，则当0, 2x时，)(xf（）A. 4xB. x2C. 13xD. 12x8. 设0a，)(xf是定义在实数集R 上的函数，对一切实数x，有21)(axf2)()(xfxf，求证：)(xf是周期函数。9. 设对于函数)(xf，Rx，有等式)()(xkfTxf，其中，Tk,均为正常数，求证：存在正常数a，使)()(xaxfx，且)(x是以 T 为周期的函数。10. 定义在实数集R 上的函数)(xf，对任意Ryx,，有)()(yxfyxf)()(2yfxf且0)0(f，且若存在常数c，使0)2(cf，试问)(xf是否周期函数，如果是找出它的一个周期，如果不是请说明理由。11. 设)(xf与)(xg是定义在实数集R 上的函数，且满足条件（1）对任何Ryx,都有)()()()()(ygxgyfxfyxf（*）（2）1)0(f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页（3）存在实数0a，使1)(af，试问)(xf是否周期函数12. 已知)(xf是定义在R 上的以 2T 为周期的周期函数，且在,TT上为奇函数（偶函数）试讨论)(xf在 R 上的奇偶性。参考答案 1. 解：（1）)()(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(xfxfxfxfxfxfxfxf)(xf是以2为周期的周期函数（2）)(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(xfxfxfxfxfxfxfxf)()(11)2(1)4(xfxfxfxf)(xf是以4为周期的周期函数注：（1）若)(1)(xfTxf（或)(1)(xfTxf），则)(xf是周期函数，且2T 是其一个周期；（2）若)(Txf)(xf，则)(xf是周期函数，且2T 是其一个周期2. 解：显然1)(xf，)(1)(1)2(xfxfxf，)(1)(1)(11)(1)(11)2(1)2(1)4(xfxfxfxfxfxfxfxf)()(11)4(1)8(xfxfxfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页)(xf的周期为8 )3(1)43()7()78249()1999(fffff而32121)1(1)1(1)21()3(ffff31)1999(f3. 证明：)1()1()(xfxfxf，Rx)3()1()()2()() 1(xfxfxfxfxfxf0)3()(xfxf以3x代换x有0)6()3(xfxf由和得)6()(xfxf，故)(xf是以 6 为一个周期的周期函数事实上此项为)()(xfTxf则)(xf为以 2T 为周期的推论注： 若)()(21TxfTxf，则)(xf是周期函数，且)(221TT是其一个周期证：)()()()(221221xfTTxfTTxfTTxf用21TTx代x得)()()(22121xfTTxfTTxf4. 解：由)()6() 1()1()(xfxfxfxfxf（如题 3）即 6 是)(xf的周期)6()4()5()596()59(fffff102993)0()4(ff5. 解：)(xf为偶函数)()(xfxf)1()1(xfxf又 )1()(xfxg为奇函数)()(xgxg，即)1()1(xfxf)1() 1(xfxf)()2(xfxf)()4(xfxf即周期为4 1)0()5004()2000(fff6. 解：由)()4()2()2(xfxfxfxf即)(xf是一个周期为4 的周期函数，则0)7()3(ff，又)(xf为 R 上的奇函数，则0)0(f，且0)3()3(fff0)0()4()8(ff，0)3() 1()5()9(ffff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页因此方程0)(xf在)10, 0(x内有根 1，2，3， 4，5，6，7， 8，9 共 9个根，故选C。7. 解：由)()2()1()1(xfxfxfxf即)(xf以 2 为周期当 1,2x时， 3, 24x，4)4()2()(xxfxfxf当 1 ,0 x时，3,22x，2)2()(xxfxf，当0, 1x时， 1 , 0 x，则xxfxf2)()(，合并得13)(xxf，故选 C。8. 证明：2)()(21)2(axfaxfaxf222)()(21)()(2121xfxfxfxf)()()()(41)()(2121222xfxfxfxfxfxf)(2121)()(41212xfxfxf21)()(21)(2xfxfaxf令axt21)(tf即21)(xf)()(21(21)2(xfxfaxf，故)(xf以a2为周期的周期函数9. 分析： 记xaxfx)()(，只要确定常数a使)(x为以 T 为周期的函数由)()()()()()(xakaxakaxkfaTxfTxxTTxxTxTx得1Tak即Tka证：设)()(xfkxTx，则)()(xkxfTx且)()()()()(xxfkxkfKTxfkTxTxTTxTTx即)(x是以 T 为周期的函数，令Tka1即将)()(xaxfx得证10. 解：分别用2cx，2c代换yx,，有)2()2(2)()(cfcxfxfcxf由已知0)2(cf)()(xfcxf)()()2(xfcxfcxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页11. 证：在（ *）中，令xy得)()()()()(xgxgxfxfxxf由)0(f知1)()(22xgxf，在此式中令ax得1)()(22agaf又由（ * ）可知)0()()0()()0()(gxgfxfxfxf)()0()()0()0()(xggxffxfxf)()(xfxf即)(xf是偶函数)()(afaf1)()(22agaf又1)(af0)(2ag即0)( ag在（ * ）中令ay得)()()()()(agxgafxfaxf)(0)(1)(xfxgxf12. 证明：因)(xf定义域为R，易知对任意Zk，kT2是)(xf的周期，任取Rx，则必存在Zkk,，使,2TTkTx，若)(xf在,TT上为奇函数，则)2()2()(kTxfxkTfxf)()2(xfkTxf即)(xf在 R 上为奇函数同理可证：若)(xf在,TT为偶函数，则)(xf在 R 上也是偶函数补充中心对称Th：定义在R 上的函数)(xfy，若总有cxbfxbf2)()(则函数)(xfy关于点（cb,）成中心对称证：设),(nmp为)(xfy上任意一点，它关于点（cb,）的对称点为P（ncmb2 ,2）由)(mfn，又由ctbftf2)2()(，则cmbfmf2)2()(则)2(2mbfcn，故)2(2mbfnc，故p在)(xfy上，反之同理可证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
