2022年高中数学常用公式及知识点北师大版~及选修 .pdf

必修1集合1.集合的基本运算；2. .集合的包含关系:；3. 识记重要结论：ABAAB;ABAAB; UUUABCCAC B;UUUABCCAC B4对常用集合的元素的认识2340Ax xx中的元素是方程2340 xx的解，A即方程的解集；260Bx xx中的元素是不等式260 xx的解，B即不等式的解集；221,05Cy yxxx中的元素是函数221,05yxxx的函数值，C即函数的值域；22log21Dx yxx中的元素是函数22log21yxx的自变量，D即函数的定义域；,23Mx yyx中的元素可看成是关于, x y的方程的解集，也可看成以方程23yx的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。5. 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 6. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地 , 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内 , 等价于0)()(21kfkf, 或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 7. 闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两 端 点 处 取 得 ， 具 体 如 下 ： (1)当a0时 ， 若qpabx,2， 则m i nma x()() ,()m a x() ,()2bfxffxfpfqa；qpabx,2，max( )max( ),( )f xf pf q，min( )min(),( )f xf pf q. (2) 当 a0 和 x0 和 x0)或向右 (0)或向下 (b0)移 b单位yfxb图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页12. 分数指数幂： (1)mnmnaa（0,am nN，且1n） ; (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 13 根式的性质： （ 1）()nnaa; （ 2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.14有理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sR;(2)()(0, ,)rsrsaaar sR; (3)()(0,0,)rrraba babrR. 15. 指数式与对数式的互化式：logbaNbaN (0,1,0)aaN.16. 对数的换底公式：logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 17对数有关性质：logab的符号有口诀“同正异负”记忆；log1aa；log 10a；对数恒等式：log0,1,0aNaN aaNloglogmaabmb；设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0.对于0a的情形 , 需要单独检验. ；18. 对数函数log0,1ayx aa的图像和性质分析：a的符号1a01a图像y x o 1 1 x y o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页定义域0,值域,单调性在(0,+ )上是增函数在(0,+ ) 上是减函数过定点1, 0函数值的分布情况01x时，0y；1x时，0y01x时，0y；1x时 ，0y指数函数0,1xyaaa的图像和性质分析：a的符号1a01a图像定义域,值域0,单调性在,上是增函数在,上是减函数过定点0,1函数值的分布情况0 x时，1y；0 x时，01y0 x时，01y；0 x时，1y19. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp. 必修2立 体 几 何 初 步1. 常用公理和定理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行定理 ：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行o x 1 y 1 y x o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2. 三余弦定理（最小角定理: 立平斜公式）设 AB与平面 所成的角为1,AC 是内的任一条直线，且 AC与 AB的射影 AB/所成的角为2，AB/与 AC所成的角为则12coscoscos. 如右图。3. 面积射影定理: . (平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 如图。4. 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为、 、，因此有222coscoscos1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为、 、，则有222coscoscos2。 （线线面 12）5棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等， 对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比）6球的半径是R，则其体积343VR, 其表面积24SR；球的半径（R） ，截面圆半径（r） ，球心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关系：22rRd，它们是计算球的关键所在，如图.7. 球的组合体(1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2) 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.8柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高） ;13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 解 析 几 何 初 步1.斜率公式ABCBcosSSRPdrOOABCB图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页2121yykxx（111(,)P x y、22212(,),Pxyxx）tan2；直线ykxb的一个方向向量为1,k2.直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb，则有121212|,llkkbb; 12121llk k.(2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；（3）直线l:0AxByC中，若0,0AB,则l垂直于y轴；若0,0AB,则l垂直于x轴。4四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程(1) 定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx),其 中k是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点000(,)Pxy的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数(2) 共点直线系方程： 经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC的交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC( 除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ，是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0， B0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量5.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 6. 圆的三种方程（ 1 ） 圆 的 标 准 方 程222()()xaybr；（ 2 ） 圆 的 一 般 方 程220 xyDxEyF(224DEF0).（3 ）圆的直径式方程1212()() ()()0 x xx xy yy y( 圆的直径的端点是11( , )A x y、22( ,)B x y). 7. 点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 有谁垂（吹）谁一般两点斜截距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页8. 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 :0相离rd;0相切rd;0相交rd. 其中22BACBbAad. 9. 两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 10. 圆 的 切 线 方 程 ： 已 知 圆222xyr 过 圆 上 的000(,)Pxy点 的 切 线 方 程 为200 x xy yr; 11. 空间直角坐标系中点的坐标及距离公式：3. 设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则2222212121ABABOBOAxxyyzz. 必修三 统计1.抽样方法主要有：简单随机抽样( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样， 主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：或者kknnNN2. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类 别共同点各自特点联系适 用范 围简 单随 机抽 样（ 1）抽样过程中 每 个 个体 被 抽 到的 可 能 性相等（ 2）每次抽出个 体 后 不再 将 它 放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将 总 体 均 分 成 几 部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系 统抽 样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分 层抽 样每部分抽取的个体数样本容量该部分的个体总数总体中的个体数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页3. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地， 样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 4.用样本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。（ 如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数； 如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数）众数：一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例如： 1， 2，3，3，4 的众数是3。但是， 如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。例如： 1， 2，2，3，3，4 的众数是2 和 3。还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。例如： 1， 2，3，4，5 没有众数。样本平均数：123.nxxxxxn；样本方差：222221231.nsxxxxxxxxn；样本数据x1,x2, , xn的标准差222121()()() nSxxxxxxn5. 回归直线? ybxa必过样本平均点,x y，其中b为斜率，如0b，则变量x每增加1 个单位时，变量y平均减少1 个单位；线性回归方程方程为? ybxa系数公式: 1221niiiniix ynx ybxnx, aybx。 算法初步1. 画出计算2222246100的程序框图，如图； 对图，若输入12，则执行程序后输出y 的值为 :_ 开始S1=0,i=1 11ssii1 输出 y 结束N 输入 y Y y=4x x1 N Y 图开始s=0 i=2 s=s+i2 i=i+2 i=100 输出 s 结束是否图nmA试验的基本事件总数包含的基本事件数事件开始S=0,k=1 11ssk kk11 输出 s 结束是否图1ii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页必修4 三角函数1终边相同的角的集合：2,kkZ; 角度与弧度的换算：180180,1,1180radradrad；弧长与扇形的面积公式：弧长lr，扇形面积21122Slrr. 常见三角不等式 若(0,)2x， 则sintanxxx； 若(0,)2x， 则1sincos2xx； | sin|cos| 1xx. 2. 常用三角函数不等式及相关等式的解集：sincosxx的x集合是322,44xkxkkZ；sincosxx的x集合是,4x xkkZ；sincosxx的x集合是322,44xkxkkZ。sincosxx的x集合是3,44xkxkkZ；sincosxx的x集合是3,44x xkorxkkZ；sincosxx的x集合是,44xkxkkZ。3. 对于“sincos,sincos,sincos”三个式子， 已知其中任意一个式子的值，可求出其余二式的值。三角函数的诱导公式: “奇变偶不变，符号看象限，”形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边的符号；00000002702709090)-1801800000000903903901901)-902902,)270sin(,)270sin(,)90sin(,)90sin(,)-180sin(,)180sin(0000000sinsincos注意：总共两套诱导公式（一套是函数名不变；另一套是函数名必须改变）； 对于余弦函数和正切函数的诱导公式规律记忆同正弦Oy225 角终边45 角终边x半个月亮爬上来O135 角终边45 角终边yx所谓伊人在水一方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页4. 三角函数的周期公式函数sin()yAx，xR及函数cos()yAx，xR(A, ,为常数，且A0， 0) 的周期2T；函数tan()yAx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0， 0) 的周期T. 5. 类正弦函数y= Asin(wx+)的图像的变换：两种办法殊途同归。 类 正 弦 函 数0y = A s i n ( w x +)bA的 参 数 计 算 ： 振 幅m a xm i n2yyA，maxmin2yyb。注意 ：对于类余弦函数cosyAx也有以上相应的结论。7.正弦函数和余弦函数的图像和性质函数y= sinxcosy=x图像-11y=sinx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx-11y=cosx-22 3 /2 /2-3 /2- /2oyx定R coscoscossinsinsin作 y=sinx （长度为2 的某闭区间）的图像得 y=sin(x+ )的图像得 y=sinx 的图像得 y=sin( x+)的图像得 y=sin( x+)的图像得y= Asin(wx+)的图象， 先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿 x 轴平移 | 个单位（左加右减）横坐标伸长或缩短到原来的倍横坐标伸长或缩短到原来的倍沿 x 轴平移|个单位（左加右减）纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页义域值域1,1最值2,2xkkZ时，max1y2,2xkkZ时，min1y2,xkkZ时，max1y21,xkkZ时，min1y单调性2,222xkkkZ32,222xkkkZ2, 21xkkkZ时，减函数21,2,xkkkZ时，增函数奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期为2对称性对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ8.正切函数的图像和性质函数tanyx图像2.521.510.50.511.522.543211234xy3? 2 = 4.713? 2 = 4.712 = 1.572 = 1.57f x = tanxO定义域2xkkZ时， 增函数时，减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页值域R 单调性,22xkkkZ奇偶性奇函数周期性最小正周期为对称性对称中心：(,0)2kkZ 平 面 向 量1. 向量的加减法的代数结构：ABBCACOBOAAB2. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 （不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ）3向量平行与垂直的坐标表示设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则ab (0b)12210 x yx y；ab12120 x xy y. 4.a与 b 的数量积 ( 或内积 ) ：ab=|a| b|cos 其几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积5. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy；(2) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy；(3) 设 A11(,)xy，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy；(4) 设 a=( ,),x yR， 则a=(,)xy； (5) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy， 则 a b=1212x xy y. 6. 两向量的夹角公式：121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y, b=22(,)xy).7. 平面两点间的距离公式：,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 8. 线段的定比分公式：设111(,)P xy，222(,)P xy，( ,)P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. 中点的向量形式：平面内，设线段AB的中点为C，O为直线AB外任意一点，则有2OAOBOC;时，增函数尾首接首尾联首首接尾尾联指向被减向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页设此时1122,A xyB xy，则中点,C x y的坐标公式：121222xxxyyy9. 三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y)、33C(x ,y),则 ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 10.三角形四“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. 三 角 恒 等 变 换1. 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=cossin推论：222211costan11tancos；2211os,tan11tancosc（正负号取决于所在的象限）2. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan；22sin()sin()sinsin(正弦平方差公式); sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b所在的象限来决定,且tanba ). 3. 二倍角公式：sin2sincos；2222cos2cossin2cos112sin；万能公式：22tantan21tan；221tancos21tan；22tansin 21tan4. 半角公式（降幂公式） ：辅助直角三角形2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页21coscos22；21cossin22；21costan21cossin1costan21cossin必修5 数列1. 自然数和公式：1122n nn；222121126n nnn；223331124nnn常见的拆项公式：11111n nnn；1111212122121nnnn；1111122112n nnn nnn；11ababab；12nnnaSSn.数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn1(2)nnnSSan（注：该公式对任意数列都适用）12nnSaaa（注：该公式对任意数列都适用）2. 等差数列的通项公式：一般式：*1(1)()naand nN；推广形式：()nmaanm d；nmaandm前n项和形式1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）前n 项和公式为：1()2nnn aas1(1)2n nnad(1)2nn nnad211()22dnad n. 数列na为等差数列1nnaad（*nN，d为常数）2112=2,*nnnnaaannNaanbAnBn 常用性质： 若 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；特别地： 若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p 成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,aaa456,aaa789aaa，）仍是等差数列；na为等差数列，nS为其前n项和，则232,mmmmmSSSSS，43mmSS， 也成等差数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页,0pqpqaq apa则；1+2+3+ +n=2) 1(nn3. 等比数列的通项公式：一般形式：1*11()nnnaaa qqnNq；推广形式：nmnmaaq，n mnmaqa（视nm的奇数或偶数等来开方得到q的值）前n项和形式1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项的和公式为：11(1),11,1nnaqqsqna q，或11,11,1nnaa qqqsna q. 数列na为等比数列211111,002,nnnnnnnaq nNqaaannNaaqa1aq0nN*、，nnSA qB 常用性质：若m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；特别地：若,mnpaaa是的等比中项，则有2mnpaaan、m、p 成等比数列 ;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” （如123,aaa456,aaa789aaa，）仍是等比数列；na为等比数列，nS为其前 n项和，则232,mmmmmSSSSS，43mmSS， 也成等比数列（当1q或者1q且m不是偶数时候成立） ；设等比数列nb的前n项积为nT，则kT，232,kkkkTTTT，43kkTT， 成等比数列 解 三 角 形1. 正弦定理 ：2sinsinsinabcRABC.（R为ABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。 ）.2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC2sinsinsinabcRABCsinsinAabB，sinsinCcaA，sinsinBbcC等；2sinsinsinabcRABCsinsinaABb，sinsincCAa，sinsinbBCc等；余弦定理地位相同等号两边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页2222cosabcbcA222cos2bcaAbc; 2222cosbcacaB222cos2acbBac; 2222coscababC222cos2abcCab. 正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系：在ABC中，给定角AB、的正弦或余弦值，则角C的正弦或余弦有解（即存在）coscos0AB2. 三角形内角和定理：在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB3. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、 c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB(3)2222sinsin2sinsin2sinsinABCSRABRACRCB(其中R为ABC的外接圆的半径 ) 4ABCabcSR（R为ABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。 ）12ABCSrabc(其中r为ABC的内切圆的半径， 也能导出内切圆半径的一种算法。顺便说下， 直角三角形中内切圆的半径2abcr，其中ab、为两条直角边，c为斜边。 )ABCSppapbpc(其中2abcp，海伦公式 ) 221(| |)()2OABSOAOBOA OB（注意：此时以坐标原点O为一个顶点的三角形的面积公式） ；设1122,A x yB xy，则122112AOBSx yx y 不等式1. 常用不等式：重要不等式：,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) ；均值不等式：,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) ；三角形不等式：bababa（对于0ab时，当ab同号时右边取等号，当ab异 号 时 左 边 取 等 号 ； 对 于0ab时 ， 易 判 断 等 号 成 立 的 条 件 ）； ababab（对于0ab时，当ab同号时左边取等号，当ab异号时右边取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页等号；对于0ab时，易判断等号成立的条件+）2. 极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 推广形式：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积xy是定值 , 则当|yx最大时 ,|yx最大；当|yx最小时 ,|yx最小. （2） 若和|yx是定值 , 则当|yx最大时 , | xy最小；当|yx最小时 , | xy最大. 3. 一 元 二 次 不 等 式20(0)axbxc或2(0,40)abac， 如 果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根外，异号两根间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。例如：2331150 xxxx，如图从图中易知解集为,33, 11,54. 含有绝对值的不等式，当a 0 时，有22xaxaaxa；22xaxaxa或xa5. 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：| |abab，,a bR；6.0AxByC或0(其中 A、B 不同时为0).所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0C,则用原点0,0O试，结果适合不等式， 表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；若0C，则用点1,0或者0,1试，方法同上。选修2 - 1 常用逻辑用语1.真值表（表1）非或且真真假真真真假假真假假真真真假对于0a的情形“大射线小线段”“积定和最小和定积最大”大射线小线段“一定二正三相等”-3 -1 1 5 - - - 同真为真同假为假真假相对是 0， （0，1） 、 （1，0）试非 0， （0、0）试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页假假真假假12. 四种命题的相互关系如下图所示13.充要条件（1）若pq，则说p是q的充分条件，同时q是p的必要条件（2）充要条件：若pq，且qp，则p是q的充要条件 . 另外： 如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设Ax p x，Bx q x，若AB，则p是q的充分不必要条件；若BA,则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件。 空间向量与立体几何1. 空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,)aa aa，123(,)bb b b，112233/,()abab ab abR；00212121zzyyxxbaba。夹角：1 12233222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb(规定：ba,0)原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（1n）个小于不小于至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x， 不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q原命题“pq若 则”逆命题“qp若 则”否命题“pq若则”逆否命题“qp若则”互逆互逆互否互否为互逆否互为逆否一个命题一种形式两样说法2.常见结论的否定形式（见表2）交换位置同时否定小充分大必要等充要精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页DClABlPOA模长公式：222123|aa aaaa，222123|bb bbbb2. 若111(,)A xy z，222(,)B xyz，如下图，则212121(,)ABxxyyzz. 3. 直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量 . 4.平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面 的法向量。5. 用向量描述空间线面关系：设空间两条直线21,ll的方向向量分别为21,ee， 两个平面21,的法向量分别为21,nn，则由如下结论空间线面关系平行垂直1l与2l21/ ee21ee1l与111ne11/ ne1与221/ nn21nn6.法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。7.法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线 l 与平面所的角为1，斜线 l 与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。8.利用向量求二面角的大小。方法一： 转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角 -l-的大小为 ， A，Bl，AC ，BD, ACl，BDl 则= 方法二： 先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。ykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)Ojxza3a2a1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页如右图：已知二面角 -l- ，在 内取一点P，过 P 作 PO ，及 PAl,连 AO，则 AOl 成立， PAO 就是二面角的平面角用向量可求出 |PA|及|PO|，然后解三角形PAO 求出 PAO。方法三： 转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图 P 为二面角 -l-内一点，作PA ， PB ，则 APB 与二面角的平面角互补。 圆锥曲线与方程1. 椭圆定义：120212MFMFa 2a | F F |（）；2221111F BOFOB（即222cba，注意11Rt FOB）设P是椭圆上任意一点，且12F PF，则有22212122cos2PFPFPFPFc. 下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形范围|x|a,|y|b |x|b,|y|a 对称性关于 x轴、 y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标0,0ba、，00ba， 、 ，焦点坐标0c，0c，半长轴长半轴椭长为a，短半轴长为b焦距焦距为2cabc、 、关系222abcx y F1 F2 O A1 A2B2B1 PABF1 F2 y x O B1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页（ 1 ） 椭 圆22221(0)xyabab焦 半 径 公 式 ：21()aPFexcae x，)(22xcaePFaex；（2）椭圆的的内外部：点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab；点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab；椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bC. 2. 双曲线定义：1212MF |-| MF= 2a 2a| F F |0， 222111 1AOOBAB（即222cba，注意11Rt AOB，其中11AB、为同一象限内的实顶点、虚顶点，O为坐标原点。 ）设M是双曲线上任意一点，且12F MF，则有22212122cos2MFMFMFMFc设P是双曲线上任意一点，有122PFPFa（当且仅当点P落在顶点时取到等号。 ）下表是其标准方程及几何意义。离心率cea22211bbeoreaa分母较大者的分子是谁，焦点就在谁轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页 (1)双曲 线22221(0,0)xyabab的 焦 半 径 公 式：21| ()|aPFe xc，22| ()|aPFexc; (2) 双曲线的内外部：点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab；点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab; 双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 3. 抛物线022ppxy的焦点弦（过焦点的弦