2022年高中数学必修一知识点总结 2.pdf

学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y （3）元素的无序性 :集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：a,b,c 和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写字母表示集合： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二、集合间的基本关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集。记作：BA（或B）注意：BA有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2“相等”关系： A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或BA) 或若集合 AB，存在 x B 且 xA，则称集合 A 是集合 B 的真子集。如果AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交 集 记 作AB （读作A 交 B ） ，即 AB=x|xA，且xB由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作： AB（读作A 并 B），即 AB =x|xA，或 xB) 全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集， 记作：U 设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作ACS，CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性质A A=A A =A B=BA A BA A BB AUA=A AU =A AUB=BUA AUBAUBB (CuA)(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A B) AU(CuA)=U A (CuA)= S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载四：函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=f(x) ，xA（1）其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域2函数的三要素：定义域、值域、对应法则3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标 (x，y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C上 . (2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x) 2）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x) 3）函数 y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x) 五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法：表达式相同 （与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备 ) 4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示六：1值域: 先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法： 针对分式的类型，把Y 关于 X 的函数关系式化成X 关于 Y的函数关系式，由X 的范围类似求Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型， 根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。七1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、g的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：2映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数八函数的单调性 (局部性质 )及最值1、增减函数（1）设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间 . （2）如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 1任取 x1，x2D，且 x11， 且nN*当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时， a 的 n 次方根用符号表示。当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的 n 次方根用符号表示，负的n 的次方根用符号表示。正的n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann式子叫做根式，这里n 叫做根指数， a叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载)1,0(*nNnmaaanmnm，)1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。十二：指数函数的性质及其特点（1）1、指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：（1）（2）（3）（4）（5）十三：指数函数的性质及其特点（1）指数函数的图象和性质图像特征图像特征a1 a1 0a1 向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图像关于原点和 Y 轴不对称非奇非偶函数函数图像都在 X 轴的上方函数的值域为 R+函数图象都过定点（ 0，1）a0=1 自左向右看图像逐渐上升。自左向右看图像逐渐上升。增函数减函数在第一象限内图像纵坐标都大于 1。在第一象限内图像纵坐标都大于 1。x0，ax1 x0， ax 1 在第二象限内图像纵坐标都小于 1。在第二象限内图像纵坐标都大于 1。x0，ax 1 x1 图像上升的趋势愈来愈陡。图像上升的趋势愈来愈陡。函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度极快。函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载a1 0a1 时，若 X1X2 ,则有 f(X1)1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点 （1， 0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页