2022年高中数学不等式归纳讲解 .pdf

第三章 不等式定义： 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1 不等式的最基本性质对称性： 如果 xy，那么 yx；如果 yx，那么 xy；传递性： 如果 xy，yz；那么 xz；加法性质；如果 xy，而 z 为任意实数，那么xzyz；乘法性质：如果 xy，z0，那么 xzyz；如果 xy，z0，那么 xzyz;符号法则3-2 不等式的同解原理不等式 FxGx与不等式Gx Fx同解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页如果不等式Fx Gx的定义域被解析式Hx 的定义域所包含，那么不等式Fx Gx与不等式Fx Hx Gx Hx同解。如果不等式Fx Gx 的定义域被解析式Hx的定义域所包含，并且Hx 0，那么不等式F(x)Gx与不等式HxFxH x Gx 同解；如果Hx0，那么不等式Fx Gx与不等式H (x)Fx HxGx同解。不等式 FxGx 0 与不等式0)x(G0)x(F或0)x(G0)x(F同解不等式解集表示方式F(x)0的解集为 x 大于大的或x 小于小的F(x)2 x；(2)|2x2x6|3x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页形如|( )f x|( )g x型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|( )f x|( )g x( )g x( )f x( )g x( )f x( )g x或( )f x( )g x3、两个绝对值不等式解不等式 1|x1|5.形如|( )f x|( )g x|型不等式1此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|( )f x|( )g x|22( )( )fxgx( )( )( )( )f xg xf xg x0 2所谓零点分段法 ，是指：假设数1x，2x，nx分别使含有|x1x|，|x2x|，|xnx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，nx为相应绝对值的零点，零点1x，2x，nx将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零， 得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式， 最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法， 这种方法主要表达了化归、 分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题不等式 |x+3|-|2x-1|2x+1 的解集为。解：|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式34422mmmxx解题 原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时，)3(232mmxmmx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页333mxmx或当03m即3m时，0|6| xx6 当03m即3m时，xR 方法归纳：形如|( )f x|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：当a0 时，|( )f x|aa( )f xa( )f xa或( )f x a；当a=0 时，|( )f x|a( )f x 0 当a0 时，|( )f x|a( )f x有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题假设不等式 |x4|+|3 x|0时，先求不等式 |x4|+|3 x|a有解时a的取值范围。令x4=0 得x=4 ，令 3x=0 得x=3 当x4 时，原不等式化为x4+x3a，即 2x71 当 3x4 时，原不等式化为4x+x31 当x3 时，原不等式化为4x+3 xa即 72x1 综合可知，当a1 时，原不等式有解，从而当01 时，|x4|+|3x|x4|+|3 x|x4+3 x|=1 当a1 时，|x4|+|3 x|a有解从而当a1 时，原不等式解集为空集。方法总结：1一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2 fxa有解minafx；fxa解集 为 空集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有 解minafx；fxa解 集 为 空 集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有 解maxafx；fxa解 集 为 空 集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。fxa有 解maxafx；fxa解 集 为 空 集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。6、绝对值三参数不等式问题已知函数2( )( , ,)f xaxbxc a b cR，当 1,1x时|( )| 1f x，求证：(1)| 1b；(2)若2( )( , ,)g xbxaxc a b cR， 则 当 1,1x时 ， 求 证 ：|( )|2g x。思路此题中所给条件并不足以确定参数a,b,c 的值，但应该注精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页意到：所要求的结论不是( )bg x或确实定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用1f、(0)f、1f来表示ba,c。因为由已知条件得|( 1)| 1f，|(0) | 1f，|(1)| 1f。解题 证明： (1)由11,111 2fabc fabcbff，从而有11|(1)( 1)(|(1)|( 1)|), |(1)| 1,|( 1) | 1,221|(|(1)|( 1) |)1.2bffffffbff(2)由111,111 ,11 ,(0),22fabc fabcbffacffcf从而111 (0)2afff将 以 上 三 式 代 入2( )( , ,)g xbxaxc a b cR， 并 整 理 得22222211|( ) | |(0)(1)(1)(1)( 1)(1) |2211|(0)(1)|(1)(1)|( 1)(1) |2211|(0) |1|(1)|1|( 1) |1|221111|1|1|1| 1(1)(1)222222g xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx收获1 二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2此题变形技巧性强， 同时运用公式| |abab，| |abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页及已知条件进行适当的放大。 要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。例 题 2 已知 函 数 f(x)=21x，a,bR， 且ba， 求证|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要证|11|22baba，考察左边，是否能产生 |a-b| 。证明： |f(a)-f(b)|=|11|11|222222babababababa|babababa其中|122aaa，同理|,|12bb|111122baba回忆： 1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。 此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页2、此题的背景知识与解析几何有关。函数21xy是双曲线，122xy的上支，而|2121xxyy即|)()(|babfaf ，则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。学过有关知识后， 很显然这一斜率的范围是在 -1 ，1之间。2 1已知不等式 |x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a 的取值范围；2已知不等式 |x-3|+|x+1|a有解，求 a 的取值范围。分析： “有解”即“解集非空” ，可见 1 2两小题的答案集合互为补集全集为R当然可以用 |x-3|+|x+1|=) 1(22)31(4)3(22xxxxx这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式” ：|a|-|b| |ab|a|+|b| 知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页这样 |x-3|+|x+1|4 。解略回忆：此题是“绝对值不等式性质定理” 即“三角形不等式”的一个应用。发展题：1已知不等式 |x-3|+|x+1|a的解集非空，求a 的取值范围。2 已知不等式 |x-3|+|x+1| a 的解集非空，求 a 的取值范围。3已知 f(x)的定义域为 0,1 ，且 f(0)=f(1) ，如果对于任意不同的 x1,x20,1 ，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|21分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x) 的结构 带 来 困 难 ， 事 实 上， 可 用 的 条 件 只 有f(0)=f(1) ， 与|f(x1)-f(x2)|x1-x2|两个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页首先，假设|x1-x2|21，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2| 21即|f(x1)-f(x2)|21呢？考虑到 0 |x1-x2| 1，则 1-|x1-x2|21，看来要证明的是 |f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|21成立！证明：不妨设 x1x2，则 0 x1x21 1 当 |x1-x2| 21时 ， 则 有 |f(x1)-f(x2)|x1-x2| 21即|f(x1)-f(x2)|21时，即 x2-x121时，0 x2-x1 1 必有 1-|x1-x2|21即 1- x2+x121也可写成 |1- x2|+|x1|21(*) 另一方面 |f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)| |f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 则由 *式知 |f(x1)-f(x2)|21成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页综上所述，当 x1,x20,1 时都有 |f(x1)-f(x2)|0化为 (x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0的根为： x1=2 ，x2=1 ，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如： -1 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。第四步：观察不等号，如果不等号为“ ”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“0的根。在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号威“ ”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即： -1x2 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页奇透偶不透即假设有两个解都是同一个数字这个数字要按照两个数字穿 如 x-1)=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。解题步骤：1首项系数化为“正”2移项通分，不等号右侧化为“0”3因式分解，化为几个一次因式积的形式4数轴标根。例 2、解不等式：22320712xxxx解略点评： “或”标根时，分子实心，分母空心。例 3、解不等式：22911721xxxx点评： 1、不能随便去分母系数非正， 小于等于右侧非 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页2、移项通分，必须保证右侧为“0”3、注意重根问题例 4、解不等式：22560(0)32xxxx点评： 1、不能随便约去因式2、重根空实心，以分母为准例 5、解不等式：2121332xxxx点评：不等式左右不能随便乘除因式。例 6、解不等式：22331xxx二次三项式，a0,0，恒正也可利用配方法判定二次三项式的正负分子， 分母有公因式不等号左右有公因式不能十字相乘分解因式；无法分解因式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页点评：练习：解不等式：1、302xx首相系数化为正，空实心2、2113xx移项通分，右侧化为03、2232023xxxx因式分解十字相乘法分解因式受阻 0 0 求根公式法分解因式恒正或恒负精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页4、22102xxx求根公式法因式分解5、3221603xxxx恒正式，重根问题6、2309x xx不能随便约分7、101xx取交集例 7、解不等式：112a xx含参分类讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页