2022年高中数学直线和圆知识点总结 3.pdf

1直线和圆一 直线1斜率与倾斜角：tank，0,)（1）0,)2时，0k； （2）2时，k不存在；（3）(,)2时，0k（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到；当倾斜角从90增加到180时，斜率从增加到02直线方程（1）点斜式：)(00 xxkyy（2）斜截式：ykxb（3）两点式：121121xxxxyyyy（4）截距式：1xyab（5）一般式：0CByAx3距离公式（1）点111(,)P x y，222(,)Pxy之间的距离：22122121()()PPxxyy（2）点00(,)P xy到直线0AxByC的距离：0022|AxByCdAB（3）平行线间的距离：10AxByC与20AxByC的距离：1222|CCdAB4位置关系（1）截距式：ykxb形式重合：1212kkbb相交：12kk平行：1212kkbb垂直：121kk（2）一般式：0AxByC形式重合：1221A BA B且1221ACA C且1212B CC B平行：1221A BA B且1221ACA C且1212B CC B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页1垂直：12120A AB B相交：1221A BA B5直线系1112220A xB yCA xB yC（）表示过两直线1111:0lA xB yC和2222:0lA xB yC交点的所有直线方程（不含2l）二圆1圆的方程（1）标准形式：222()()xaybR（0R）（2）一般式：220 xyDxEyF（2240DEF）（3）参数方程：00cossinxxryyr（是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y,22(,)B xy为直径的圆的方程是：()()()()0ABABxxxxyyyy2位置关系（1）点00(,)P xy和圆222()()xaybR的位置关系：当22200()()xaybR时，点00(,)P xy在圆222()()xaybR内部当22200()()xaybR时，点00(,)P xy在圆222()()xaybR上当22200()()xaybR时，点00(,)P xy在圆222()()xaybR外（2）直线0AxByC和圆222()()xaybR的位置关系：判断圆心( , )O a b到直线0AxByC的距离22|AaBbCdAB与半径R的大小关系当dR时，直线和圆相交（有两个交点）；当dR时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当dR时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页13圆和圆的位置关系判断圆心距12dOO与两圆半径之和12RR，半径之差12RR（12RR）的大小关系当12dRR时，两圆相离，有4 条公切线；当12dRR时，两圆外切，有3 条公切线；当1212RRdRR时，两圆相交，有2 条公切线；当12dRR时，两圆内切，有1 条公切线；当120dRR时，两圆内含，没有公切线；4当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式：222lRd例 1 若圆x2y21 与直线ykx2 没有公共点，则实数k的取值范围是 _解析：由题意知21k21，解得3k3. 答案： ( 3，3) 例2 已知两圆C1：x2y22x10y 24 0，C2：x2y22x2y 8 0，则两圆公共弦所在的直线方程是_解析：两圆相减即得x2y40. 答案：x2y 40 例 3 设直线xmy 10 与圆 (x1)2(y2)24 相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是_解析：由题意得，圆心(1,2) 到直线xmy10 的距离d43 1，即|1 2m1|1m21，解得m33. 答案：33例 4 若a，b，c是直角三角形ABC三边的长 (c为斜边 )，则圆C：x2y24 被直线l：axbyc0 所截得的弦长为 _解析：由题意可知圆C：x2y24 被直线l：axbyc0 所截得的弦长为2 4ca2b22，由于a2b2c2，所以所求弦长为23. 答案： 23 例 5 已知M：x2 (y2)2 1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页1(1) 若|AB| 423，求 |MQ| 及直线MQ的方程；(2) 求证：直线AB恒过定点解： (1) 设直线MQ交AB于点P，则 |AP| 223，又 |AM| 1，APMQ，AMAQ，得 |MP| 128913，又 |MQ| |MA|2|MP|， |MQ| 3. 设Q(x,0)，而点M(0,2) ，由x2223，得x5，则Q点的坐标为 (5，0) 或(5，0)从而直线MQ的方程为2x5y250 或 2x5y250. (2) 证明：设点Q(q,0) ，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq) y(y2)0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx2y30，所以直线AB恒过定点0，32. 例 6 过点 ( 1， 2)的直线l被圆x2y22x2y10 截得的弦长为2，则直线l的斜率为 _解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21， 其圆心为 (1,1) ，半径r1. 由弦长为2得弦心距为22. 设直线方程为y2k(x 1)， 即kxyk 20， 则|2k3|k2122， 化简得 7k224k17 0， 得k1 或k177. 答案： 1 或177例 7 圆x22xy230 的圆心到直线x3y30 的距离为 _解析：圆心 (1,0)，d|1 3|131. 答案： 1 例 8 圆心在原点且与直线xy20 相切的圆的方程为_ 解析：设圆的方程为x2y2a2(a0) |2|11a，a2，x2y22. 答案：x2y22 例 9 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为 _圆C的方程为x2y2DxF0，则265DF0，10DF 0，解得D 4，F 6.圆C的方程为x2y24x 60. 答案 (1)C (2)x2y24x60 例 10 (1) 与曲线C：x2y22x2y0 相内切，同时又与直线l：y2x相切的半径最小的圆的半径是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页1 (2)已知实数x，y满足 (x2)2(y 1)21 则 2xy的最大值为 _，最小值为 _解析： (1) 依题意，曲线C表示的是以点C( 1， 1) 为圆心，2为半径的圆，圆心C( 1，1) 到直线y2x即xy20 的距离等于| 11 2|222，易知所求圆的半径等于2222322. (2) 令b2xy，则b为直线 2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线 2xyb与圆相切时，b取得最值 由|2 21b|51. 解得b 55，所以 2xy的最大值为55，最小值为55. 答案： (1)322(2)5 5 55 例 11 已知x，y满足x2y21，则y2x1的最小值为 _解析：y2x1表示圆上的点P(x，y) 与点Q(1,2) 连线的斜率，所以y2x1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)即kxy2k0. 由|2 k|k2 11 得k34，结合图形可知，y2x134，故最小值为34. 答案：34例 12 已知两点A( 2,0) ，B(0,2) ，点C是圆x2y22x0 上任意一点，则ABC面积的最小值是_解析：lAB：xy20，圆心 (1,0) 到l的距离d32，则AB边上的高的最小值为321. 故ABC面积的最小值是122232 132. 答案： 32 例 13 平面直角坐标系xoy 中，直线10 xy截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆 O 的方程；（2）若直线l与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当 DE 长最小时，求直线l的方程；（3）设 M，P 是圆 O 上任意两点，点M 关于 x 轴的对称点为N，若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点（ m，）和（ n，） ，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解：因为 O 点到直线10 xy的距离为12，所以圆 O 的半径为2216()()222，故圆 O 的方程为222xy设直线 l 的方程为1(0,0)xyabab，即0bxayab，由直线 l 与圆 O 相切，得222abab，即221112ab，2222222112()()8DEababab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页1当且仅当2ab时取等号，此时直线l 的方程为20 xy设11(,)M xy，22(,)P xy，则11(,)N xy，22112xy，22222xy，直线MP与x轴交点122121(,0)x yx yyy，122121x yx ymyy，直线 NP 与x轴交点122121(,0)x yx yyy，122121x yx ynyy，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x yx yx yx yxyxyyyyymnyyyyyyyyg，故mn为定值 2例 14 圆 x2+y2=8 内一点 P（ 1，2） ，过点 P 的直线 l 的倾斜角为，直线 l 交圆于 A、B 两点 . （ 1）当=43时,求 AB 的长；（ 2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线l 的方程 . 解 :（1）当=43时， kAB=1，直线 AB 的方程为y2=（ x+1） ，即 xy1=0. 故圆心（ 0，0）到 AB 的距离 d=2100=22，从而弦长 |AB|=2218=30. （2）设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=2，y1+y2=4. 由,8,822222121yxyx两式相减得（x1+x2） （x1x2）+（y1+y2） （y1y2） =0，即 2（x1x2）+4（y1 y2） =0，kAB=212121xxyy. 直线 l 的方程为y2=21（x1） ，即 x2y5=0. 例 15 已知半径为5 的动圆 C 的圆心在直线l:xy+10=0 上. (1)若动圆 C 过点 (5,0),求圆 C 的方程 ; (2)是否存在正实数r,使得动圆C 中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来 ;若不存在 ,请说明理由 . 解 : (1)依题意 ,可设动圆 C 的方程为 (xa)2+(yb)2=25, 其中圆心 (a,b)满足 ab+10=0. 又动圆过点(5,0),(5 a)2+(0b)2=25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页1解方程组25)0()5(01022baba, 可得010ba或55ba, 故所求圆C 的方程为 (x+10)2+y2=25 或(x+5)2+(y5)2=25. (2)圆 O 的圆心 (0,0)到直线 l 的距离 d=1110=52. 当 r 满足 r+5 d时，动圆C 中不存在与圆O： x2+y2=r2相外切的圆；当 r 满足 r+5 d时， r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O： x2+y2=r2相外切；当 r 满足 r+5=d,即 r=525 时，动圆 C 中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切 . 题目1自点( 1,4)A作圆22(2)(3)1xy的切线 l ，则切线 l 的方程为2求与圆522yx外切于点)2 , 1(P，且半径为52的圆的方程 . 3若点P 在直线 l1：xy 30 上，过点P 的直线 l2与曲线C：(x5)2y216 相切于点M，则 PM 的最小值4设 O 为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0 上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0 对称，又满足OPOQ=0. （1）求 m 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页1（2）求直线PQ 的方程 . 5已知圆 C：x2+y22x+4y-4=0,问是否存在斜率是1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦 AB，以 AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 6. 已知曲线 C：x2+y24ax2ay 2020a=0. （1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当 a2 时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C 与 x 轴相切，求a 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页