2022年高三理科数学小综合专题练习函数与导数 .pdf
2015届高三理科数学小综合专题练习函数与导数一、选择题1集合1 0,0,1,1,2)ABCABCIU ，则 (= AB1 C 0,1,2 D-1,0,1,2 2下列函数中，在R上单调递增的是A13yxB2logyxCyxD0.5xy3函数 f(x)=x2+ax3a9 对任意 xR恒有 f(x) 0，则 f(1)A6 B5 C4 D3 4已知2( )22xf xx，则在下列区间中，( )0fx有实数解的是A （ 3， 2）B （ 1，0）C （2，3）D （4， 5）5设函数2, ,fxaxbxc a b cR，若1x为函数2fx e的一个极值点， 则下列图象不可能为yfx的图象是二、填空题6函数1( )lg(1)1f xxx的定义域是70211x dx. 8已知函数)(xf为偶函数，当,0 x时，1)(xxf，则( )0f x的解集是9定义运算法则如下：1112322,lglgabababab；若1824125M，1225N，则 M N10若函数12)(2xxxf在区间2,aa上的最大值为4，则a的值为 _. 三、解答题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页11已知二次函数2(21)1 2fxxaxa（1）判断命题：“对于任意的aR （ R为实数集），方程1)(xf必有实数根” 的真假，并写出判断过程（2） ，若( )yf x在区间)0 , 1(及)21,0(内各有一个零点求实数a 的范围12 设( )f xxaxbx的 导 数( )fx满 足( ),( )fa fb， 其 中 常 数,a bR. （1）求曲线( )yf x在点( ,( )f处的切线方程；(2) 设( )( )xg xfx e，求函数( )g x的极值 . 13. 设函数 f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2. (1)求 a，b；(2)证明： f(x)1. 14.已知函数f(x)ex ex2x. (1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 g(x)f(2x)4bf(x)，当 x0时， g(x)0，求 b 的最大值；(3)已知 1.414 22 1.414 3，估计 ln 2 的近似值 (精确到 0.001)14. 设函数 f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的导函数(1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，n N，求 gn(x)的表达式；(2)若 f(x)ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设 nN，比较 g(1)g(2) g(n)与 nf(n)的大小，并加以证明2015届高三理科数学小综合专题练习函数与导数参考答案一、选择题：题号1 2 3 4 5 选项C A C B D 二、填空题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页6. ( 1,1)(1,)U；7.4；8.1,1；9. 5；10. 1 或 1 三、解答题：11 解： （1） “对于任意的aR（ R为实数集），方程1)(xf必有实数根”是真命题；依题意：1)(xf有实根，即2(2a 1)2a=0 xx有实根22(21)8(21)0aaaQV对于任意的aR （R为实数集）恒成立即2(2a 1)2a=0 xx必有实根，从而1)(xf必有实根（2）依题意：要使( )yf x在区间)0 , 1(及)21,0(内各有一个零点只须( 1)0(0)01( )02fff（ 9 分）即3401 20304aaa解得：43a2112解： （1）/2( )32fxxaxb则/(1)3223fabab；/3(2)1242fabba；所以323( )312f xxxx，于是有/5(1),(1)32ff故曲线( )yf x在点( ,( )f处的切线方程为：6210 xy(2)由（ 1）知2/2( )(333)( )( 39 )xxg xxxegxxx e，令/12( )00,3gxxx；于是函数( )g x在(,0)上递减，(0,3)上递增，(3,)上递减；所 以 函 数( )g x在0 x处 取 得 极 小 值(0)3g， 在3x处 取 得 极 大 值3(3)15ge. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页13解：当0,0ab时，任意1212,x xR xx，则121212()()(22 )(33 )xxxxf xf xab121222 ,0(22 )0 xxxxaa，121233 ,0(33 )0 xxxxbb，12()()0f xf x，函数( )f x在R上是增函数 . 当0,0ab时，同理函数( )f x在R上是减函数 . (1)( )2230 xxf xfxab21解： (1)函数 f(x)的定义域为 (0， )，f(x)aexln xaxexbx2ex1bxex1. 由题意可得f(1)2，f(1) e，故 a1，b2. (2)证明：由 (1)知， f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e. 设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x，所以当 x 0，1e时， g(x)0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，上单调递增，从而g(x)在(0， )上的最小值为 g1e1e. 设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当 x(0，1)时， h(x)0；当 x(1， )时， h(x)0 时， g(x)h(x)，即 f(x)1. 当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb. 1421 ， ， ，2014 陕西卷 设函数 f(x)ln(1 x)，g(x) xf (x)，x 0，其中 f(x)是 f(x)的导函数(1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，n N，求 gn(x)的表达式；(2)若 f(x)ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设 nN，比较 g(1)g(2) g(n)与 nf(n)的大小，并加以证明21解： 由题设得， g(x)x1 x(x0)(1)由已知， g1(x)x1 x，g2(x)g(g1(x)x1x1x1xx1 2x，g3(x)x13x，可得gn(x)x1nx. 下面用数学归纳法证明当 n1 时， g1(x)x1x，结论成立假设 nk 时结论成立，即gk(x)x1kx. 那么，当nk1 时， gk1(x) g(gk(x)gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（ k1）x，即结论成立由可知，结论对nN成立(2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)ax1x恒成立设 (x)ln(1x)ax1x(x0)，则 (x)11xa（1 x）2x1 a（1 x）2，当 a1 时， (x)0(仅当 x0，a1 时等号成立 )，(x)在0， )上单调递增，又 (0) 0，(x)0 在0， )上恒成立，a1 时， ln(1 x)ax1x恒成立 (仅当 x0 时等号成立 )当 a1 时，对 x(0， a1有 (x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在x0，使 (x)nln( n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于12131n1x1x， x0. 令 x1n，nN，则1n 1lnn1n. 下面用数学归纳法证明当 n1 时，12ln 2，结论成立假设当 nk 时结论成立，即12131k1ln( k 1)那么，当n k1 时，12131k11k2ln( k 1)1k2ln( k1)lnk2k1ln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN成立方法二：上述不等式等价于12131n1x1x， x0. 令 x1n，nN，则 lnn1n1n1. 故有 ln 2ln 112，ln 3ln 213，ln(n 1)ln n1n1，上述各式相加可得ln(n1)12131n1，结论得证方法三：如图，0nxx 1dx 是由曲线yxx1，xn 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页而1223nn1是图中所示各矩形的面积和，1223nn10nxx1dx0n11x1dxnln(n1)，结论得证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
