2022年高中数学必修1集合与函数2.1函数定值域知识点 2.pdf

高中数学必修1 集合与函数 2.1 函数定值域知识点 +例题 +练习题1. 函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有的数 f(x)和它对应，那么就称f ： AB为从集合A到集合 B的一个函数。记作：。其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的。注意：（ 1）“ y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ”；（2）函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x。2. 构成函数的三要素：、和 : （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型： 指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型： 指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型： 解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。（2） 求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法 （将函数转化为二次函数）；判别式法 （将函数转化为二次方程）；不等式法 （运用不等式的各种性质）。3. 两个函数的相等：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的和都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4. 区间：（ 1）区间的分类：开区间：、闭区间：、半开半闭区间：；（ 2）无穷区间：；（3）区间的数轴表示。5. 映射的概念 : 一般地，设 A、B是两个，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有的元素y 与之对应，那么就称对应f ： AB为从集合A到集合 B的一个映射。记作“f ：AB”。函数是建立在两个的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（ 1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与B到 A 的映射是截然不同的. 其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页【例 1】 求下列函数的定义域：(1)422xxy；(2)301) 1(xxxy；(3)xxy732. 【例 2】 判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？(1)f(x)=(x1)0；g(x)=1 (2)f(x)=x； g(x)=2x(3)f(x)=x2；f(x)=(x+1)2 (4)f(x)=|x|；g(x)=2x(5)f(x)=x2,g(x-2)=(x-2)2,g(t)=t2 【例 3】 给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射; xxxf23)(是函数 ; 函数 y=2x(x N)的图象是一条直线; xxxf2)(与 g(x)=x是同一函数 . 其中正确的有 _个. 【例 4】 设集合 A和集合 B都是实数集R，映射 f ：AB 把集合 A中的元素x 映射到集合B中的元素 x3x 1，则在映射f 下，象 1 的原象所组成的集合是( ) A.1B.0,1， 1C.0D.0， 1， 2 【例 5】 若 f(x) 满足 f(a ? b)=f(a)+f(b)，且 f(2)=p ，f(3)=q ，则 f(72) 等于 () A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【例 6】 已知函数 f(x)=221xx. (1) 求 f(2) 与 f(21) ，f(3)与 f(31) ；(2) 由(1) 中求得的结果，你能发现f(x) 与 f(x1) 有什么关系？证明你的发现. 【例 7】 已知函数213)(xxxf的定义域为集合A、B=x|xa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页(1) 求集合 A；(2) 若 A? B，求实数a 的取值范围 . 【例 8】 根据下列条件，求下列各函数的定义域：(1) 已知函数y=f(x 2) 的定义域为 1,4，求函数y=f(x)的定义域；(2) 已知函数y=f(2x)的定义域为 0,1，求函数 y=f(x 1) 的定义域；(3) 已知函数y=f(x)的定义域为 0,1，求 g(x)=f(xa) f(x a) 的定义域 . 【例 9】 求下列函数的值域：(1)y=2x 1，x1,2,3,4,5；(2)y=x 1；(3)y=x24x6，x1,5；(4)y=x 12x；(5)y=123xx. 【例 10】求122xxxxy的值域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页1. 设集合 M=x| 2x2， N= y|0 y2，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( ) 2. 已知映射f ：AB，即对任意aA，f ：a|a|. 其中，集合A=3， 2， 1,2,3,4，集合 B中的元素都是A中元素在映射f 下的对应元素，则集合B中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3. 已知函数f(x 1) 的定义域为 ( 2， 1) ，则函数f(x)的定义域为 ( ) A.(-1.5， -1)B.(1,0)C.(3， 2)D.(-2，-1.5) 4. 函数 f(x)=1x5，则 f(3)=( ) A. 3B.4C. 1D.6 5. 设11)(22xxxf，则)21()2(ff=( ) A.1B. 1C.0.6D. 0.6 6. 已知 f(x)=x21，则 ff(1)=( ) A.2B.3C.4D.5 7. 已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)等于 ( ) A.1B.2C.3D.4 8. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文( 加密 ) ，接收方由密文明文(解密 ) ，已知加密规则为：明文a，b，c，d 对应密文a 2b,2b c,2c 3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7 9. 函数 y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=(x a)2(b x) B.f(x)=(xa)2(x b) C.f(x)= (x a)2(x b) D.f(x)=(xa)2(x b) 10. 函数222yxx的定义域是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页11. 函数222xxxy的定义域是12. 函数2)3(220 xxxy的定义域是13. 已知元素 (x ，y) 在映射 f 下的原象是 (x+y ，x-y) ，则 (1 ，2) 在 f 下的象是 _. 14. 函数 y=x22x 的定义域为 0,1,2,3，那么其值域为_. 15. 设xxf11)(，则 ff(x)=_. 16. 函数 f(x)=x22x5 定义域为 A，值域为B，则集合A与 B的关系是 . 17. 如图，函数 f(x) 的图象是曲线OAB ， 其中点 O， A， B的坐标分别为 (0,0) ， (1,2)， (3,1) ， 则)3(1(ff的值等于 _. 18. 已知函数416)(xxxf. (1) 求函数 f(x)的定义域；(2) 求 f( 1),f(12)的值 . 19. 已知函数221)(xxxf. (1) 求 f(2)与 f(0.5)，f(3) 与 f(31). (2) 由(1) 中求得结果，你能发现f(x)与 f(x1) 有什么关系？并证明你的发现. (3) 求 f(1)f(2) f(3) , f(2017)f(21) f(31) , f(20171). 20. 求函数3274222xxxxy的值域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页1. 函数符号y=f(x)表示 ( ) A.y 等于 f 与 x 的乘积 B.f(x)一定是一个式子C.y 是 x 的函数 D. 对于不同的x，y 也不同2. 下列各组中，集合P与 M不能建立映射的是( ) A.P=0 ， M= ?B.P=1,2,3,4,5，M=2,4,6,8 C.P= 有理数 ，M=数轴上的点 D.P= 平面上的点 ，M=有序实数对 解析 : 选项 A中， M= ?，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射. 3. 已知集合A=1,2 ，m，B=4,7,13，若 f ：xy =3x1 是从集合A到集合 B的映射，则m的值为( ) A.22 B.8 C.7 D.4 4. 设集合 A=x|0 x2， B=y|1 y2，在图中能表示从集合A到集合 B的映射的是 ( ) 5. 已知函数f(x)= 1，则 f(2)的值为 ( ) A. 2 B. 1 C.0 D.不确定6. 下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是 ( ) 7. 函数 y=1122xx的定义域是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页A.(-1,1) B.(- ,-1) (1,+ )C.(0,1) D.-1,1 8. 若函数 g(x 2)=2x 3，则 g(3) 的值是 ( ) A.9B.7C.5D.3 9. 函数xxxxf23)32(2)(0的定义域是 ( ) A.-3,1.5B.-3,-1.5) (-1.5,1.5)C.-3,1.5)D.-3,-1.5)(-1.5,1.5 10. 已知 f(x 1) 的定义域为 3,3 ，则 f(x)的定义域为 _. 11. 已知函数f(x)对任意实数a,b, 都有 f(ab)=f(a)+f(b)成立 . (1) 求 f(0),f(1)的值 ; (2) 若 f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数 ), 求 f(36) 的值 . 12. 在体育测试时， 初三的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）. 如果这个男同学出手处A点的坐标是（ 0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 米， 15=3.873 ）知识点参考答案1. 答案为：对应关系f，唯一确定；y=f(x)，x A ；定义域；值域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页2. 答案为：定义域、对应关系和值域；3. 答案为：定义域，对应法则；4. 答案为： ();(,)；(- ,+ ); 5. 答案为：非空的集合；唯一确定；非空数集间；例题参考答案例 1.(1)x 2;(2)x0 ， 2x3，故A=x| 23. 故实数 a 的取值范围为a3. 例 8. 解： (1) y=f(x 2) 中，1x4，3x26，函数y=f(x)中，3x6，故函数 y=f(x)的定义域为 3,6. (2) y=f(2x)中，0 x1，02x2，函数y=f(x 1) 中，0 x12，1x1，函数y=f(x 1) 的定义域为 1,1. (3) 由题意得0 x+a 1,0 x-a 1， -a x 1-a,a x 1+a，以下按a 的取值情况讨论：当 a=0 时，函数的定义域为0,1. a0 时，须 1aa. 才能符合函数定义( 定义域不能为空集). 0a 0.5. 此时函数的定义域为 x|a x1a. a0 时，须 1a a，即 0.5 a0，此时函数的定义域为x| ax1 a. 综上可得： 0.5 a0 时，定义域为x| ax1a,0 a 0.5 时，定义域为 x|a x1a.例 9. 解： (1) y=2x1，且 x1,2,3,4,5， y 3,5,7,9,11.函数的值域为3,5,7,9,11. (2) x0，x11. 函数的值域为1 ，). (3) 配方得 y=(x 2)22， x1,5，由图知2y11. 即函数的值域为2,11. (4) 令 u=2x1，则 u0， x=u212， y=1u22u=12(u 1)212. 函数的值域为12，) . (5)y=3x2x1=315x 1=35x13. 函数的值域为 y|y 3. 例 10. 解：11122xxxxy=1-112xx，而 x2-x+1=(x-0.5)2+0.75 0.75 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页即 0112xx34， - y1. 即122xxxxy的值域为 -31,1. 课堂练习题参考答案1. 答案为： B; 2. 答案为： A; 3. 答案为： B; 解析 : 函数 f(x 1) 的定义域为 ( 2， 1) ， 1x 10，函数f(x)的定义域为 ( 1,0). 4. 答案为： A; 5. 答案为： B; 6. 答案为： D; 7. 答案为： A 8. 答案为： C ；解析：由题目的条件可以得到a2b=14,2b c=9,2c 3d=23,4d=28. 解得 a=6，b=4，c=1， d=7，故选 C. 9. 答案为： A; 10. 答案为： x1；11. 答案为： x1 且 x2. 12. 答案为： x1 且 x2 且 x3；13. 答案为：（ 3，-1 ）；14. 答案为： 1,0,3；15. 答案为)21(21xxxx且. 16. 答案为 B? A; 17. 答案为： 2；18. 解： (1) 根据题意知x10 且 x40， x 4 且 x1，即函数 f(x)的定义域为 4,1) (1， ). (2)f(1) 33.f(12)3811. 19. 解： (1) f(x)=x21x2， f(2)=0.8， f(0.5)=0.2，f(3)=0.9;f(31)=0.1. (2) 由(1) 发现 f(x)f(x1)=1. 证明如下： f(x)f(x1)=1. (3)f(1)=0.5.由(2) 知 f(2)f(0.5)=1，f(3) f(31)=1 ，, ， f(2017) f(20171)=1，原式 =121+1+.+1=20160.5=2016.5. 20. 解：已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7 ，即 2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)=0. 当 y2时，将上式视为关于x 的一元二次方程. xR， 0，即 2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得 -4.5 y2. 当 y=2 时， 32+70， y2. 函数的值域为4.5,2). 课后练习题参考答案1. 答案为： C; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页2. 答案为： A; 3. 答案为： D; 4. 答案为： D; 5. 答案为： B 6. 答案为： D; 7. 答案为： D. 8. 答案为： C 9. 答案为： B ；10. 答案为： 4,2 ；解析： 3x3， 4x12，f(x) 的定义域为 4,2. 11. 解：(1) 令 a=b=0, 得 f(0)=f(0)+f(0),解得 f(0)=0;令 a=1,b=0, 得 f(0)=f(1)+f(0),解得 f(1)=0. (2) 方法一：令a=b=2, 得 f(4)=f(2)+f(2)=2p,令 a=b=3, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2q, 令 a=4,b=9, 得 f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q. 方法二：因为36=2232, 所以 f(36)=f(2232)=f(22)+f(32)=f(2 2)+f(3 3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q. 12. 解：（ 1）设二次函数的解析式为y=a（x-h ）2+k. 由顶点坐标为（6，5）， y=a（x-6 ）2+5. 又 A （0，2）在抛物线上，2=a62+5, 解得 a=-121. y=-121（x-6 ）2+5，即 y=-121x2+x+2. （2）当 y=0，即 -121x2+x+2=0 时，解得x=6215. 又 x=6-215不合题意，舍去. x=6+21513.75 （米） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页