2022年高中数学函数值域求法教案新人教A版 .pdf

学习必备欢迎下载函 数 值 域 求 法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数 y = x1的值域解： x 0 ，x10 显然函数的值域是： （ - ， 0 ）（ 0 ，+） 。例 2 求函数 y = 3 -x的值域。解：x0 - x 0 3- x3 故函数的值域是： -， 3 2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 1、求函数y=2x-2x+5 ， x-1 ，2 的值域。解： 将函数配方得：y=（ x-1 ）2+4， x -1 ，2 ， 由二次函数的性质可知：当 x = 1时， ym in = 4 当 x = - 1，时maxy = 8 故函数的值域是： 4 ，8 例 2、求函数13432xxy的值域。解：713421342113426421xxxxy =31134212x，所以27y，故所求函数值域为72，+。例 3、求22log26log62log222222xxxy。解：所以当41x时，y有最小值 -2 。故所求函数值域为-2 ，+） 。 3 、判别式法2例 1 求函数 y = 2211xxx的值域。解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )2x+（y - 1 ）x= 0 （1）当 y1 时， xR , = (-1)2-4(y-1)(y-1) 0 解得：21 y23（2）当 y=1，时，x = 0,而 1 21, 23 故函数的值域为21，23 例 2 求函数 y=x+)2(xx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载解： 两边平方整理得：22x-2 （y+1） x+y2=0 （1）xR，=4（y+1）2-8y 0 解得： 1-2y1+2但此时的函数的定义域由x（2-x ） 0，得： 0 x 2。由 0，仅保证关于x 的方程： 22x-2 （ y+1）x+y2=0 在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0 ，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为21，23 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0 x 2，y=x+)2(xx0，ymin=0， y=1+2 代入方程（ 1） ，解得：1x=2222240 ，2 ，即当1x=222224时，原函数的值域为： 0 ， 1+2 。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 1 求函数 y=6543xx值域。解：由原函数式可得：x = 3564yy则其反函数为：y =3564xy其定义域为：x 53故所求函数的值域为： （- ，53） 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 1 求函数 y = 11xxee的值域。解： 由原函数式可得：xe=11yyxe0，11yy0 解得： - 1 y1。故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例 2 求函数 y = 3sincosxx的值域。解： 由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载可化为：12y sinx（x+） =3y 即 sinx（x+）=132yyxR， sinx （x+） -1 ，1 。即 -1 132yy1 解得： -42y42故函数的值域为-42，42 。 6 、函数单调性法例 1 求函数 y = 25xlog31x（2x10）的值域解： 令 y1=25x，2y= log31x，则 y1，2y在 2 ， 10 上都是增函数。所以 y= y1 +2y在 2 ，10 上是增函数。当 x = 2 时， ymin = 32+log312=81当 x = 10 时，m axy = 52+log39=33。故所求函数的值域为：81，33 。例 2 求函数 y= 1x-1x的值域。解： 原函数可化为： y= 112xx令 y1 = 1x，2y= 1x，显然 y1，2y在1 ，+）上为无上界的增函数，所以y= y1 +2y在 1 ，+）上也为无上界的增函数。所以当 x = 1时， y=y1 +2y有最小值2，原函数有最大值22= 2。显然 y0，故原函数的值域为( 0 , 2 。 7 、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 1、求函数xxy21的值域。解：由021x，得21x。令021ttx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载得212tx，于是11212122ttty，因为0t，所以21y。故所求函数值域为- ，12 。例 2、求函数221xxxy的值域。解：设2sinx，则42sin22212cos1212sin21sincossin2y。所以221221y，故所求函数值域为221221，。例 3 求函数 y = x + 1x的值域。解： 令 x-1=t ， （ t 0）则 x=2t+1 y=2t+t+1=2)21(t+43，又 t 0，由二次函数的性质可知当 t=0 时， ymin= 1 ， 当 t 0 时， y +。故函数的值域为 1 ，+） 。例 4 求函数 y =x+2+2) 1(1x的值域解： 因 1-2)1(x0 ，即2)1(x 1 故可令 x+1=cos， 0 ， 。y=cos+1+B2cos1=sin +cos+1 =2sin （+/ 4 ）+1 0， 0 +/4 5/4 - 22sin （+/4 ） 1 0 2sin （+/4 ）+11+2。故所求函数的值域为0 ，1+2 。例 5 求函数 y=12243xxxx的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载解： 原函数可变形为：y=-21212xx2211xx可令 x=tg ，则有212xx=sin2 ，2211xx=cos2y=-21sin2 cos2 = -41sin4 当 = k /2- /8 时，maxy=41。当 = k /2+ /8 时， ymin= -41而此时 tg 有意义。故所求函数的值域为-41，41 。例 6 求函数 y=（ sinx+1 ） （cosx+1） ，x- /12 /2 的值域。解： y=（ sinx+1 ） （cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t，则 sinxcosx=21（2t-1 ） y = 21（2t-1 ）+t+1= 212)1(t由 t=sinx+cosx=2sin （ x+/4 ）且 x- /12 ， /2 可得：22t 2当 t=2时，m axy=23+2，当 t=22时， y=43+22故所求函数的值域为43+22，23+2 。例 7 求函数 y=x+4+25x的值域解： 由 5-x 0 ，可得 x5故可令 x =5 cos ，0 ， y=5 cos+4+5 sin =10 sin （+/4 ）+ 4 0 ， /4 +/4 5/4 当 = /4 时，maxy=4+10 ，当 =时， ymin=4-5 。故所求函数的值域为：4-5 ，4+10 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 1 求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。解： 原函数可化简得：y=x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A （ 2 ） ， B（- 8 ）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段 AB上时， y=x-2 +x+8 =AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为：10 ，+）例 2求函数 y=1362xx + 542xx的值域解： 原函数可变形为：y=) 20() 3(22x+) 10()2(22x上式可看成x 轴上的点P（x，0）到两定点A（3， 2） ，B（-2 ， -1 ）的距离之和，由 图 可 知 当 点P 为 线 段 与x轴 的 交 点 时 ，ym in= AB = ) 12()23(22=43 ，故所求函数的值域为43 ，+） 。例 3 求函数 y= 1362xx -542xx的值域解： 将函数变形为：y= )20()3(22x-) 10()2(22x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载上式可看成定点A （3， 2） 到点 P （x， 0 ） 的距离与定点B （-2 ， 1） 到点 P （x， 0） 的距离之差。 即： y=AP - BP 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线AB与 x 轴的交点时，如点P1，则构成 ABP 1，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP1- BP 1 AB = ) 12()23(22= 26即： -26 y26（2）当点 P恰好为直线AB与 x 轴的交点时，有 AP - BP = AB = 26 。综上所述，可知函数的值域为：（ -26 ，-26 。注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B两点坐标分别为： （3 ，2 ） ， （- 2 ，- 1 ） ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B两点坐标分别为： （ 3 ，2 ） ， （2 ， - 1 ） ，在 x 轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式a+b2ab ，a+b+c3abc3（a， b，cR） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 1 求函 y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx ）的值域解： 原函数变形为： y=（xsin2+xcos2）+1/xsin2+1/xcos2 = 1+ xcsc2+xsec2 = 3+xtg2+xctg233xxctgtg22 + 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载 =5 当且仅当 tgx=ctgx ，即当 x=k /4 时（ kz） ，等号成立。故原函数的值域为： 5 ，+） 。例 2 求函数 y=2sinxsin2x的值域解： y=2sinxsinxcosx =4xsin2cosx y2=16xsin4xcos2=8xsin2xsin2（2-2xsin2）8（xsin2+xsin2+2- xsin2）=8 （xsin2+xsin2+2- xsin2）/33=2764当且当xsin2=2-2xsin2，即当xsin2=时，等号成立。由y22764，可得： -938y938故原函数的值域为：-938，938） 。10、利用直线斜率法例 1、求函数3cos2sinxxy的值域。解：令xucos2xvsin则1422vu（ 1） ，原函数成为3uyv（ 2） 。在平面直角坐标系OUV中， （1）表示一椭圆， （2）表示过点P （-3 ，0） 、斜率为y的直线，过 P作椭圆（ 1）的两条切线PM 、PN则y的取值范围即（2）的斜率的取值范围在PM 、PN两斜率之间。为此，以（2）代入（ 1） ，消去v，得043624412222yuyuy =0436414242222yyy，化简得152y，故解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载5555y，所以所求函数的值域为55,55例 2、求函数3sin2cosxxy的值域。解：令3sin xu2cosxv则12322vu（ 1） ，原函数成为yuv（ 2） 。在平面直角坐标系OUV中， （1）表示一个圆， （2）表示过原点O ，斜率为y的直线，过点 O作圆（ 1）的两条切线，则y的取值范围即（2）的斜率的取值范围在两切线斜率之间。为此，以（ 2）代入（ 1） ，消去v，得012322122uyuy =0112432422yy，解得433433y，故所求函数的值域为433433，。11、多种方法综合运用例 1 求函数 y=32xx的值域解： 令 t=2x（ t 0） ，则 x+3=2t+1 （1） 当 t 0时， y=12tt=tt/1121， 当且仅当t=1 ，即 x=-1 时取等号所以 0y21。（2） 当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为：0 ，21 。注：先换元，后用不等式法。例 2 求函数 y=xxxxxx424322121的值域。解： y=xxxx42422121+xxxx42321=)11(222xx+xx21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载令 x=tg2，则)11(222xx=cos2，xx21=21sin，y=cos2+21sin=-sin2+ 21sin+1 =-)41(sin2+1617当 sin=41时，m axy=1617。当 sin=-1 时， ymin=-2 。此时 tg2都存在，故函数的值域为：，1617 。注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。例 3（ 用导数求函数的极值及最值） 、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。解：先求导数，得xxy443/令/y 0 即0443xx解得1,0, 1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X 2 （ 2， 1） 1 （ 1，0）0 （ 0，1）1 （ 1，2）2 y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13 从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。精选学习资料 - 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