2022年高中数学椭圆经典例题详解-2 .pdf
椭圆标准方程典型例题例 1 已知椭圆06322mymx的一个焦点为0，2求m的值 分析： 把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值解： 方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m又2c，所以2262m，5m适合故5m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b或2a和2b的值，即可求得椭圆的标准方程解： 当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax由椭圆过点03 ，P，知10922ba又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay由椭圆过点03 ，P，知10922ba又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy例 3 ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析：1由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解2由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程解：1 以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx， 由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx2设yxA，yxG，则013610022yyx由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆除去x轴上两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页例 4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解： 设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx例 5 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积用a、b、表示 分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积解： 如图，设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b例 6 已知动圆P过定点03，A， 且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析： 关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解： 如下图，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03 ，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx说明： 此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页的一种重要思想方法例 7 已知椭圆1222yx，1求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；3过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；4椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx1将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求2将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx 椭圆内部分3将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx 椭圆内部分4由得：2222212221yyxx，将平方并整理得212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：224424212212yyyxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页再将212121xxyy代入式得：221242212212xxyxxx，即12122yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆1422yx及直线mxy1当m为何值时，直线与椭圆有公共点？2假设直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程解： 1把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m2设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由 1得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明： 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，假设能合理运用韦达定理即根与系数的关系，可大大简化运算过程例 9 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程分析： 椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，此题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点即两焦点的距离之和最小，只须利用对称就可解决解： 如下图，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为 9，6 ，直线2FF的方程为032yx解方程组09032yxyx得交点M的坐标为 5，4 此时21MFMF最小所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx例10已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围 解： 由,35,03,05kkkk得53k，且4k满足条件的k的取值范围是53k，且4k说明： 此题易出现如下错解：由, 03, 05kk得53k，故k的取值范围是53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆例11已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围分析： 依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围解： 方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1因此0sin且1tan从而)43,2(说明： (1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易无视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例 12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和) 1,32(B两点的椭圆方程分析： 由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解： 设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得, 11)32(, 1)2()3(2222nmnm即, 112, 143nmnm所以151m，51n故所求的椭圆方程为151522yx例13知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页分析： 此题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点 )求轨迹方程或轨迹解： 设点M的坐标为),(yx，点P的坐标为),(00yx，则20 xx，0yy因为),(00yxP在圆122yx上，所以12020yx将xx20，yy0代入方程12020yx得1422yx所以点M的轨迹是一个椭圆1422yx说明： 此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0 x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0 x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握例 14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆， 过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长分析： 可以利用弦长公式4)(1 (1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1 (1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB例 15椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，则ONO为坐标原点的值为A4B2C8D23解 ： 如 下 图 ， 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为2F， 由 椭 圆 第 一 定 义 得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为A说明： (1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数大于21FF的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例 16 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称分析： 假设设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围解： (法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx。13821nxx于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn点M在直线mxy4上，mnn1344解得mn413将式代入式得048169261322mmxxA，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22mm解得1313213132m(法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mmA，B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，13)3(4)(22mm解得1313213132m(法 3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yxA，B在椭圆上， 1342121yx，1342222yx两式相减得0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy。又M点在直线l上，mxy004。由，得M点的坐标为)3,(mm以下同解法2. 说明： 涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦AB的中点),(00yxM在椭圆内部，满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式例 17 在面积为1 的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程解： 以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP则.1,21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43, 13412252222baba得.3,41522ba所求椭圆方程为1315422yx例 18 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程分析： 此题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8) 14(222kxkkxk设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是的两根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082yx方法二： 设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB)2,4(P为AB中点，821xx，421yy又A，B在椭圆上，3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直线方程为082yx方法三： 设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxBA、B在椭圆上，36422yx。36)4(4)8(22yx从而A，B在方程的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为082yx说明： 直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求” 的方法是处理此类问题的有效方法假设已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082yx所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
