2022年高中物理弹簧类模型中的最值问题 2.pdf

弹簧类模型一、最大、最小拉力问题例 1. 一个劲度系数为k600N/m的轻弹簧， 两端分别连接着质量均为m 15kg 的物体A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图 1 所示， 现加一竖直向上的外力F 在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s ，B物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g10m/s2） 。求此过程中所加外力的最大和最小值。图 1 解析：开始时弹簧弹力恰等于A的重力，弹簧压缩量lmgkm025.，0.5s 末 B物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B的重力，llm. 0 25，故对 A物体有2122lat，代入数据得ams42/。刚开始时F 为最小且FmaNNmin15460，B物体刚要离开地面时，F为最大且有Fmgmgmamax，解得FmgmaNmax2360。二、最大高度问题例 2. 如图 2 所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x0。 一物体从钢板正上方距离为30 x的 A处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连， 它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为 m时，它们恰能回到O点，若物体质量为2m仍从 A处自由下落，则物块与钢板回到O点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页图 2 解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设v0表示物块与钢板碰撞时的速度，则：vgx006物块与钢板碰撞后一起以v1速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量守恒，即：mvmv012刚碰完时弹簧的弹性势能为Ep，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为0，根据机械能守恒有：Em vmgxp1222120()设v2表示质量为2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有：2302mvmv碰撞后，当它们回到O点时具有一定速度v，由机械能守恒定律得：Em vmgxm vp12331232202()()当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时两者分离，分离后，物块以v 竖直上升，其上升的最大高度：hvg22解 式可得hx02。三、最大速度、最小速度问题例 3. 如图 3 所示，一个劲度系数为k 的轻弹簧竖直立于水平地面上， 下端固定于地面，上端与一质量为m的平板 B相连而处于静止状态。今有另一质量为m的物块 A从 B的正上方h 高处自由下落， 与 B发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页图 3 解析： A下落到与B碰前的速度v1为：vgh12 A、B碰后的共同速度v2为：mvmm v12() B静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为x0，且：mgkx0 A、B 一起向下运动到最大速度v 时的位移为x，此时A、 B 的加速度为0，即有：20mgk xx()由机械能守恒得：2122122222mgxm vm vEp()()Em vp1222()解 得：vmgkgh214例 4. 在光滑水平面内，有A、B两个质量相等的木块，mmkgAB2，中间用轻质弹簧相连。现对B 施一水平恒力F，如图 4 所示，经过一段时间，A、B的速度等于5m/s时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J，当 A、B恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A的最小速度。图 4 解析：当撤除恒力F 后， A做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时，加速度等于零， A的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度最小，根据动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页量守恒得：2mvmvmvAB根据机械能守恒得：100121222mvmvAB由以上两式解得木块A的最小速度v0。四、最大转速和最小转速问题例 5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为k 的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体 A ，物体 A与盘面间最大静摩擦力为Ffm，弹簧原长为L，现将弹簧伸长L后置于旋转的桌面上，如图5 所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多少？图 5 解析：当转速n 较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即：k LFmnLLfm() ()212nk LFm LLfm112()当转速 n 较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即：k LFmnLLfm() ()222nk LFm LLfm212()所以圆盘转速n 的最大值和最小值分别为：12k LFm LLfm()和12k LFm LLfm()。五、最大加速度问题例 6. 两木块 A、B质量分别为m 、M ，用劲度系数为k 的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6 所示，用外力将木块A 压下一段距离静止，释放后A 做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求木块A的最大加速度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页图 6 解析：撤去外力后，A以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当A运动到平衡位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，此时A的加速度最大，设为am。对 A：由牛顿第二定律有k xxmgmam()0对 B：k xxMg()0所以aMm gmm()，方向向下。六、最大振幅例 7. 如图 7 所示，小车质量为M ，木块质量为m ，它们之间静摩擦力最大值为Ff，轻质弹簧劲度系数为k， 振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？图 7 解析：在最大位移处，M 和 m 相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体有：kAMm a()对 m有：Fmaf所以由解得：AFMmkmf()。七、最大势能问题例 8. 如图 8 所示，质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L0，一个质量为m的小木块从板的右端以初速度v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为，求在木块压缩弹簧过程中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页图 8 解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能Epm，设 m在 M上运动时，摩擦力做的总功产生内能为2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即：mvmm v02()由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：12123022mvm vEEpm()由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有：121232022mvm vE()由求得：Emvpm1602从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页