2022年高中数学竞赛平面几何讲座第3讲--点共线、线共点 .pdf

第 1 页 共 10 页第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、 线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是： 通过邻补角关系证明三点共线； 证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例 1 如图，设线段 AB 的中点为 C， 以 AC和 CB 为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证： H，C，K 三点共线。证连 AK，DG，HB。由题意， ADECKG，知四边形 AKGD 是平行四边形，于是AKDG。同样可证 AKHB。四边形 AHBK 是平行四边形，其对角线AB，KH 互相平分。而C 是 AB 中点，线段 KH 过 C 点，故 K，C，H 三点共线。例 2如下列图，菱形 ABCD 中，A=120，O 为ABC 外接圆， M 为其上一点，连接 MC 交 AB 于 E，AM 交 CB 延长线于 F。求证： D，E，F 三点共线。证如图，连 AC，DF，DE。因为 M 在O 上，则AMC=60=ABC=ACB，有AMCACF，得OAFDMCBEABCDEFHKG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页第 2 页 共 10 页CDCFCACFMAMC。又因为 AMC=BAC，所以 AMCEAC，得AEADAEACMAMC。所以AEADCDCF，又 BAD=BCD=120，知 CFDADE。所以 ADE=DFB。因为 ADBC，所以 ADF=DFB=ADE，于是 F，E，D 三点共线。例 3四边形 ABCD 内接于圆，其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P，AD 与 BC 的延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线QE 和 QF，切点分别为 E，F。求证： P，E，F 三点共线。证如图。连接 PQ，并在 PQ 上取一点 M，使得 B，C，M，P 四点共圆，连 CM，PF。设 PF 与圆的另一交点为E ，并作 QG 丄 PF，垂足为 G。易如QE2=QMQP=QCQBPMC=ABC=PDQ。从而 C，D，Q，M 四点共圆，于是PMPQ=PCPD由，得PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB，即 PQ2=QCQB+PCPD。易知 PDPC=PE PF，又 QF2=QCQB，有PE PF+QF2=PDPC+QCAB=PQ2，即 PE PF=PQ2-QF2。又PQ2QF2=PG2GF2=(PG+GF)(PGGF) =PF(PGGF)，从而 PE =PGGF=PGGE ，即 GF=GE ，故 E 与 E 重合。所以 P，E，F 三点共线。例 4以圆 O 外一点 P，引圆的两条切线PA，PB，A，B 为切点。割线 PCD 交圆 O 于 C，D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。假设 F 为 CD 中点，求证： A，F，E 三点共线。证如图，连 AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，CE(E )ABDFPMQG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页第 3 页 共 10 页延长 FC 交 BE 于 G。易如 OA 丄 AP，OB 丄 BP，OF 丄 CP，所以 P，A，F，O，B五点共圆，有 AFP=AOP=POB= PFB。又因 CDBE，所以有PFB=FBE，EFD=FEB，而 FOG 为 BE的垂直平分线，故EF=FB，FEB=EBF，所以 AFP=EFD，A，F，E 三点共线。2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理 (如三角形的 3 条高线交于一点 )，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例 5以ABC 的两边 AB，AC 向外作正方形 ABDE，ACFG。ABC 的高为 AH。求证： AH，BF，CD 交于一点。证如图。延长 HA 到 M，使 AM=BC。连 CM，BM。设 CM 与 BF 交于点 K。在ACM 和BCF 中，AC=CF，AM=BC，MAC+HAC=180，HAC+HCA=90，并且 BCF=90+HCA，因此 BCF+HAC=180MAC=BCF。从而 MACBCF，ACM=CFB。所以 MKF=KCF+KFC=KCF+MCF=90，即 BF 丄 MC。同理 CD 丄 MB。AH，BF，CD 为MBC 的 3 条高线，故 AH，BF，CDAPBDFCOEGMEDBHCFKGA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页第 4 页 共 10 页三线交于一点。例 6设 P 为ABC 内一点， APBACB=APCABC。又设 D，E 分别是APB 及APC 的内心。证明： AP，BD，CE 交于一点。证如图，过 P 向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。连 RS ，ST，RT，设 BD 交 AP于 M，CE交 AP 于 N。易知 P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T 分别四点共圆，则APBACB=PAC+PBC=PRS +PRT =SRT 。同理， APCABC=RST ，由条件知 SRT =RST ，所以 RT=ST。又 RT=PBsinB，ST=PCsinC，所以 PBsinB=PCsinC，那么ACPCABPB。由角平分线定理知MPAMPBABPCACNPAN。故 M，N 重合，即 AP，BD，CE 交于一点。例 7O1与O2外切于 P 点，QR 为两圆的公切线，其中Q，R 分别为O1，O2上的切点，过 Q 且垂直于 QO2的直线与过 R且垂直于 RO1的直线交于点 I，IN 垂直于 O1O2，垂足为 N，IN 与 QR 交于点 M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。证如图，设 RO1与 QO2交于点 O，ABCTRSMNDEPO1O2NPIQRMO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页第 5 页 共 10 页连 MO，PO。因为 O1QM=O1NM=90，所以 Q，O1，N，M 四点共圆，有 QMI=QO1O2。而IQO2=90=RQO1，所以 IQM=O2QO1，故QIMQO2O1，得MIOOQMQO211同理可证MIOORMRO212。因此21ROQOMRQM因为 QO1RO2，所以有211ROQOOROO由，得 MOQO1。 又由于 O1P=O1Q，PO2=RO2，所以21211POPOROQOOROO，即 OPRO2。从而 MOQO1RO2OP，故 M，O，P 三点共线，所以PM，RO1，QO2三条直线相交于同一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1(塞瓦(Ceva)定理 ):设 P，Q，R 分别是 ABC 的 BC，CA，AB 边上的点。假设AP，BQ，CR相交于一点 M，则1RBARQACQPCBP。证如图，由三角形面积的性质，有BMCAMCSSRBAR, AMCAMBSSPCBP, AMBBMCSSQACQ. 以上三式相乘，得1RBARQACQPCBP. 定理 2 (定理 1 的逆定理 ): ABCPMQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页第 6 页 共 10 页设 P，Q，R 分别是 ABC 的 BC，CA，AB 上的点。假设1RBARQACQPCBP，则 AP，BQ，CR交于一点。证如图，设 AP 与 BQ 交于 M，连 CM，交 AB 于 R 。由定理 1 有1BRARQACQPCBP. 而1RBARQACQPCBP，所以RBARBRAR. 于是 R 与 R 重合，故 AP，BQ，CR交于一点。定理 3 (梅涅劳斯 (Menelaus)定理):一条不经过 ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于 P，Q，R，则1RBARQACQPCBP证如图，由三角形面积的性质，有BRPARPSSRBAR, CPRBRPSSPCBP, ARPCRPSSQACQ. 将以上三式相乘，得1RBARQACQPCBP. 定理 4 (定理 3 的逆定理 ):设 P，Q，R 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或它们延长线上的3 点。假设1RBARQACQPCBP，则 P，Q，R三点共线。定理 4 与定理 2 的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。例 8如图，在四边形ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证： GAC=EAC。ARQBCPHCADBGIJEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页第 7 页 共 10 页证如图，连接 BD 交 AC 于 H，过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过点 C 作 AD 的平行线交 AE的延长线于 J。对BCD 用塞瓦定理，可得1ECDEHDBHGBCG因为 AH 是 BAD 的角平分线，由角平分线定理知ADABHDBH。代入式得1ECDEADABGBCG因为 CIAB，CJAD，则ABCIGBCG，CJADECDE。代入式得1CJADADABABCI. 从而 CI=CJ。又由于ACI=180 BAC=180 DAC=ACJ，所以 ACIACJ，故 IAC=JAC，即GAC=EAC. 例 9ABCD 是一个平行四边形， E 是 AB 上的一点， F 为 CD 上的一点。 AF 交ED 于 G，EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC 于 M。求证： DL=BM. 证如图，设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线交于点 I。在ECD 与FAB 中分别使用梅涅劳斯定理，得1HECHICDIGDEG，1JABJHBFHGFAG. 因为 ABCD，所以GFAGGDEG，HBFHHECH. 从而JABJICDI，即CICICDAJAJAB，故 CI=AJ. 而LADLAJDICIBJMCBM，且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。例 10在直线 l 的一侧画一个半圆T，C，D 是 T 上的两点， T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段 AC 和 BD 的交点， F 是 l 上的点， EF 垂直 l。求证： EF 平分 CFD。证如图，设 AD 与 BC相交于点 P，用 O 表示半圆 T 的圆心。过 P 作 PH 丄l 于 H，连 OD，OC，OP。GAEBJLDFC IMH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页第 8 页 共 10 页由题意知 RtOADRtPAH，于是有DOHPADAH. 类似地， RtOCBRtPHB，则有COHPBCBH. 由 CO=DO，有BCBHADAH，从而1DAPDCPBCHBAH. 由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC，BD，PH 相交于一点，即E 在 PH上，点 H 与 F 重合。因ODP=OCP=90，所以 O，D，C，P 四点共圆，直径为 OP. 又PFC=90，从而推得点 F 也在这个圆上，因此DFP=DOP=COP=CFP，所以 EF 平分 CFD。例 11如图，四边形 ABCD 内接于圆， AB，DC 延长线交于 E，AD、BC 延长线交于 F，P 为圆上任意一点， PE，PF 分别交圆于 R，S. 假设对角线 AC 与BD 相交于 T. 求证： R，T，S三点共线。先证两个引理。引理 1: A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，假设A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有1111111111111AFFEEDDCCBBA. 如图，设 A1D1，B1E1，C1F1交于点 O，根据圆内接多边形的性质易知 OA1B1OE1D1，OB1C1OF1E1，OC1D1OA1F1，从而有ODOBEDBA111111，OBOFCBFE111111，OFODAFDC111111. DlABO F(H)ECPEBRCTAPSDFBFAE1OCD11111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页第 9 页 共 10 页将上面三式相乘即得1111111111111AFFEEDDCCBBA，引理 2：圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1，假设满足1111111111111AFFEEDDCCBBA则其三条对角线 A1D1，B1E1，C1F1交于一点。该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。例 11 之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由EBREPA， FDSFPA，知EPEBPABR,FDFPDSPA. 两式相乘，得FDEPFPEBDSBR. 又由 ECR EPD，FPD FAS，知EPECPDCR，FAFPASPD. 两式相乘，得FAEPFPECASCR由，得FDECFAEBCRDSASBR. 故ABSADSCDRCBRCEDCFDAFBAEB. 对EAD 应用梅涅劳斯定理，有1CEDCFDAFBAEB由，得1ABSADSCDRCBR. 由引理 2 知 BD，RS ，AC 交于一点，所以 R，T，S三点共线。练习A 组1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和 MP，向另两边延长线引垂线MR，MT。证明：PR与 QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页第 10 页 共 10 页2. 在ABC 的 BC 边上任取一点 P，作 PDAC，PEAB，PD，PE 和以 AB，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D，E。求证： D，A，E三点共线。3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D，E，又和 ABC 的外接圆相切于 F。求证： ABC 的内心 G 和 D，E 在一条直线上。4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形，把 ABC 绕点 C 旋转某一角度变成 A B C 。证明：线段 A D, BC 和 B C 的中点在一条直线上。5. 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P。设三角形 ABP，BCP，CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是O1，O2，O3，O4。求证：OP，O1O3，O2O4三直线交于一点。6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4 条垂线交于一点。7. ABC 为锐角三角形， AH 为 BC 边上的高，以AH 为直径的圆分别交AB，AC 于 M，N；M，N 与 A 不同。过 A 作直线 lA垂直于 MN。类似地作出直线lB与 lC。证明：直线 lA，lB，lC共点。8. 以ABC 的边 BC，CA，AB 向外作正方形， A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB 的对边的中点。求证：直线AA1，BB1，CC1相交于一点。9. 过ABC 的三边中点 D，E，F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF，FD，DE 交于 I，L，M。求证： I，L，M 在一条直线上。B 组10. 设 A1，B1，C1是直线 l1上的任意三点， A2，B2，C2是另一条直线l2上的任意三点， A1B2和 B1A2交于 L，A1C2和 A2C1交于 M，B1C2和 B2C1交于 N。求证： L，M，N 三点共线。11. 在ABC，A B C 中，连接 AA ，BB ，CC ，使这 3 条直线交于一点S。求证： AB 与 A B 、BC 与 B C 、CA 与 C A 的交点 F，D，E 在同一条直线上(笛沙格定理 )。12. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P，Q，R，则这三点在一条直线上 (帕斯卡定理 )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页