2022年高二理科数学圆锥曲线单元测试 .pdf

学习必备欢迎下载高二年单元考试试卷（圆锥曲线）一、选择题（60 分）1已知双曲线222:1016xyCaa的一个焦点为5,0，则双曲线C的渐近线方程为（）A. 4312xyB. 4410 xyC. 1690 xyD. 430 xy2平面直角坐标系中，已知O为坐标原点， 点A、B的坐标分别为(1,1)、3,3. 若动点P满足OPOAOB，其中、R，且1，则点P的轨迹方程为A. 0 xyB. 0 xyC. 230 xyD. 22125xy3抛物线22(0)ypx p上横坐标为6 的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（）A. 4B. 8C. 16D. 324椭圆221mxy的离心率是32，则它的长轴长是（）A. 1 B. 1 或 2 C. 2 D. 2 或 4 5 设 经 过 点2, 1的 等 轴 双 曲 线 的 焦 点 为12,F F， 此 双 曲 线 上 一 点N满 足12NFNF，则12NF F的面积为（）A. 2B. 3C. 2D. 36抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点3,1M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（）A. 43B. 43C. 43D. 1697已知点12,F F是椭圆2222xy的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PFPF的最小值是（）A. 2B. 2 2C. 0D. 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载8椭圆22221xyab（0ab）上存在一点满足F2，F为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（）A. 10,2B. 20,2C. 1,12D. 2,129把离心率512e的曲线2222:10,0 xyCabab称之为黄金双曲线若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O，则圆O与黄金双曲线C（）A. 无交点B. 有 1 个交点C. 有 2 个交点D. 有 4 个交点10已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是( ）A B C D 11设直线1yk x与抛物线24yx相交于、两点，抛物线的焦点为F，若F2 F，则k的值为（）A. 2 33B. 2 23C. 3 22D. 3 3212已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（）A. B. C. 2D. 3二、填空题 (20 分) 13已知 是抛物线的焦点，是 上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_14抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点， 若为等边三角形，则_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载15已知椭圆离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为 _ 16设椭圆2222x:1(ab0)yCab的左右焦点为12,FF，过2F作x轴的垂线与C相交 于,A B两 点 ，1F B与y轴 相 交 于D， 若1ADF B， 则 椭 圆C的 离 心 率 等于 .三、解答题17（10 分） 设命题p：方程221231xykk表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点2,1 ,P且与抛物线24yx有两个不同的公共点若pq是真命题， 求k的取值范围18（12 分） （1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。（ 2）已知双曲线过点4,3, 且渐近线方程为12yx, 求该双曲线的标准方程。19（12 分） 已知双曲线C：22221xyab的离心率为3，点 (3， 0)是双曲线的一个顶点。(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l，直线l与双曲线交于不同的A， B两点，求 AB的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载20（12 分） 过抛物线2:20C xpy p的焦点F作直线l与抛物线C交于,A B两点，当点A的纵坐标为1 时，2AF.（ 1）求抛物线C的方程；（ 2）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MAMB，并说明理由 . 21（12 分） 已知椭圆C过点31,2A，两个焦点为1,0 , 1,0.（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）,E F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点 . 22（12 分） 已知椭圆C的离心率为32，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且312ABFS（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）已知直线l：ykxm被圆O：224xy所截得的弦长为2 3，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求MON面积的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载参考答案1D 【解析】 由题得 c=5, 则22169ac，即 a=3, 所以双曲线的渐近线方程为43yx，即430 xy，故选 D2C 【解析】设,P x y , 则3 ,3,26xyyxxy因此123026xyyxxy, 选 C.3B 【解析】横坐标为6 的点到焦点的距离是10，该点到准线的距离为10，抛物线的准线方程为，故选 B4D 【解析】把椭圆221mxy方程转化为：22111xym分两种情况：11m时椭圆的离心率32则：11314mm解得： m=14进一步得长轴长为 411m时椭圆的离心率32，则：长轴长为 2故选： D点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论.5D 【 解 析 】 设 等 轴 双 曲 线 方 程 为22xy ,因 为 过 点2 , 1, 所 以2121221323 ,26N FN FF F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载从而22212121212|2|12|212NFNFNFNFF FNFNF121212124212632NF NFNFNFSNFNF, 选 D.6A 【解析】令y=1, 代入24yx，得14x，即114A （， ）, 由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为1041314k，故选 A【答案】 A 【解析】椭圆2222xy， 即为2212xy， 则椭圆的2,1ab， 则由OP为12PF F的中线，即有1212POPFPF， 则122PFPFPO， 可设,P x y， 则2212xy，即 有2222211122xxPOxyx， 当0 x时 ， 取 得 最 小 值1， 则12PFPF的最小值为2，故选 A.8C 【解析】设,P x y，则由F2得2,00 xc yxa yxcxay，因为22221xyab，所以2222,210aba cxaxa aeec或10112ee，选 C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不等式，再根据, ,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于, ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9D 【 解 析 】 由 题 意 知512ca， 所 以2262 5511142bcaa， 因 为25112ba，所以1ba，所以ba，所以圆O与黄金双曲线C的左右两支各有2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载个交点，即圆O与黄金双曲线C由 4 个交点，故选D.10 A 【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和 同号时，抛物线开口向左，方程表示椭圆，无符合条件的选项，当和 异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，故选A.11 B 【 解 析 】 设1122,Mx yN xy， 因 为F2 F， 所 以 由 抛 物 线 定 义 得22121211221212,24,44,xxyyyx yxxx11112 22,2 213yxykx，选 B.12 A 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：,，设,则，在中根据余弦定理可得到化简得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载该式可变成：,故选点睛：本题综合性较强， 难度较大， 运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。13 【解析】如图所示， 不妨设点 M位于第一象限， 设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故点睛 :抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化14【解析】由抛物线可知焦点，准线，由于为等边三角形，设AB与 y 轴交于M,FM=P,即，填。【点睛】对于圆锥曲线要先定位，再定量， 本题的抛物线焦点是在y 轴正半径。 所以求出抛物线的焦精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方程组算出B点坐， 再由等边三角形，可解的P,15【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为16， 故 边 长 为4，在 椭 圆上，椭圆方程为：故答案为：1633【解析】试题分析： 连接1AF，ABOD ，O为21FF的中点， D为1BF的中点， 又1ADF B，ABAF1. 21AF2AF. 设nAF2， 则n2AF1，n3FF21， 33n3n3AFAFFFace2121.考点：椭圆离心率.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载【方法点晴】 本题考查的是椭圆的几何性质（离心率问题） ，属于中档题 . 本题的切入点就在原点O上，利用平行关系，推出D点也是中点，从而思路豁然开朗. 解析几何的中心思想就是数形结合，善于抓图像的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题. 离心率问题是重点题型，主要思路就是想方设法去建立ca、的等或者不等的关系即可.17【解析】 试题分析：（1）命题 p 中式子要表示双曲线，只需，对于命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线21ykxk与抛物线方程组方程组，只需，解出两个不等式（组）中k 的范围，再求出交集。试题解析：命题真，则，解得或，命题为真，由题意，设直线的方程为，即，联立方程组，整理得，要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足，解得且若是真命题，则所以的取值范围为18 （1）（2）2214xy【解析】试题分析： （1）由已知，先确定的值，进而求出，可得椭圆的标准方程（ 2）由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点代入双曲线方程，可求出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载，即得双曲线的标准方程试题解析：（ 1）由椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，得，即（ 2）试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为2214xy，代入点4,3得1，所以双曲线方程为2214xy考点：双曲线方程及性质19 （1）22136xy（2）16 35【解析】试题分析： （1）由椭圆过点 (3，0) 得 a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l 方程，再与双曲线联立方程组，消y 得关于 x 的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB的长试题解析：（1）因为双曲线C：22221xyab的离心率为3，点 (3， 0) 是双曲线的一个顶点，所以3,3,6acb，即22136xy（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l：333yx与双曲线联立方程组消y得212956270,35xxxx，由弦长公式解得12113ABxx16 35点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 . 涉及中点弦问题往往利用点差法20 （1）2:4Cxy； （2）存在点6,9 ,6,9MM.【解析】【试题分析】 （1）运用抛物线的定义建立方程122p求出2p； （2）借助题设条件MAMB建立方程1020160 xxxx，再运用根与系数的关系得到方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载2004120 xkx，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在：解： （1）由抛物线的定义可得1222pp，故抛物线方程为24xy；（ 2）假设存在满足题设条件的点00,Mxy，则设直线:+1AB ykx代入24xy可得2440 xkx，设1122,A x yB xy，则12124,4xxkxx。因为10102020,MAxxyyM Bxxyy，则由MAMB可得：102010200 xxxxyyyy，即102011016xxxxxxxx，也即1020160 xxxx，所以2004120 xkx，由于判别式2164816 430k，此时002,6xx，则存在点2,1 ,6,9MM，即存在点00,Mxy满足题设。21 (1) 22143xy；(2) 证明见解析 .【解析】试题分析：(1) 由题意得到 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论 .试题解析：（1）由题意可得：224,3ab，则椭圆C的方程为22143xy（2）设1122,E x yF xy，直线EF方程为ykxb，22143xyykxb，得：2223484120kxkbxb由韦达定理：122834kbxxk，212241234bx xk，由题意可知12123322211yyxx，即12123322211kxbkxbxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载122121331121122kxbxkxbxxx即12121221202kx xbkxxb222412182212034234bkbkbkbkk221224128123402kbbkkbbk22824274640bkkbbk22824274640bkkbbk22846424270kkbkk284629230kkbkk4292230bkbk924kb或32bk当924kb时，直线EF方程9192424kykxkx恒过定点19,24当32bk时，直线EF方程33122ykxkk x恒过定点31,2与A点重合，不合题意舍去，综上所述，直线EF恒过定点19,24.点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或 y)建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系， 并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时， 务必考虑全面， 不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形22 （1）2214xy（2）当3t，即22k时，MON面积取到最大值1【解析】 试题分析： 利用离心率可以得出,a c的关系， 化为,a b的关系， 再利用ABF的面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载积列出, ,a b c的方程， 借助222abc解出,a b，写出椭圆方程， 联立方程组， 化为关于x的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长MN，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.试题解析：（ 1）由题意，椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为22221(0)xyabab，则22222234cabeaa，所以224ab，即2ab，可得3cb，1131222ABFSAFOBac b，21332311222bb bb，1b，2a，所以椭圆C的方程为2214xy（2）由题意知，圆心O到直线l的距离为1，即211mk，所以221mk由221,4,xyykxm消去y，得222148410kxkmxm，22216 41480kmk，所以0k，设11,Mx y，22,N xy，则122814kmxxk，21224414mx xk，所以22121MNkxx22121214kxxx x22222844141414kmmkkk22224 41141kmkk222224 314 314141kkkkkk，所以MON的面积为MONS2222 3111241kkMNk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载令2411tk，则2211313114442239ttStt，所以当3t，即22k时，MON面积取到最大值1【点睛】求椭圆的标准方程一边采用待定系数法，即列出两个关于, ,a b c的方程，再借助222abc，解方程组求出,a b；最值和范围问题、定点定值问题、存在性问题时直线与圆锥曲线位置关系中常见的考题，也是高考高频考点，本题为最值问题，先设出直线与曲线的焦点坐标，设而不求，联立方程组，利用根与系数关系，表示弦长和面积，最后求最值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页